第02讲 排列、组合（复习讲义）（全国通用）（含答案）2026年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）

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01 \l "_Tc25084" 2
\l "_Tc26862" 02体系构建·思维可视 PAGEREF _Tc26862 \h 3
\l "_Tc122" 03核心突破·靶向攻坚 PAGEREF _Tc122 \h 4
\l "_Tc31584" 知能解码 PAGEREF _Tc31584 \h 4
\l "_Tc12799" 知识点1 排列与组合的概念 PAGEREF _Tc12799 \h 4
\l "_Tc5215" 知识点2 排列数与组合数 PAGEREF _Tc5215 \h 4
\l "_Tc9723" 知识点3 排列数、组合数的公式及性质 PAGEREF _Tc9723 \h 4
\l "_Tc9379" 题型破译 PAGEREF _Tc9379 \h 5
\l "_Tc13604" 题型1 排列数与组合数的计数 PAGEREF _Tc13604 \h 5
\l "_Tc10596" 题型2 直接法 PAGEREF _Tc10596 \h 5
\l "_Tc14789" 题型3 间接法 PAGEREF _Tc14789 \h 5
\l "_Tc26094" 题型4 捆绑法与插空法 PAGEREF _Tc26094 \h 6
\l "_Tc7041" 题型5 分组与分配问题 PAGEREF _Tc7041 \h 6
\l "_Tc5842" 题型6 定序问题 PAGEREF _Tc5842 \h 7
\l "_Tc12850" 题型7 相同元素分配问题 PAGEREF _Tc12850 \h 7
\l "_Tc21448" 04真题溯源·考向感知 PAGEREF _Tc21448 \h 8
\l "_Tc211" 05课本典例·高考素材 PAGEREF _Tc211 \h 8
\l "_Tc25045" 知识点1 排列与组合的概念
自主检测从6个不同的甜筒中选出4个送给4位同学，每人1个，不同的送法种数是（ ）．
A．360B．C．24D．
\l "_Tc25045" 知识点2 排列数与组合数
（1）排列数：
从个不同元素中取出取出（）个元素的所有不同排列的个数，叫做从个元素中取出个元素的一个排列数，用符号表示
（2）组合数：
从个不同元素中取出（）个元素的所有不同组合的个数，叫做从个元素中取出个元素的一个组合数，用符号表示
自主检测下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
\l "_Tc25045" 知识点3 排列数、组合数的公式及性质
（1）
（2）
（3）
（4）；
自主检测若，则（ ）
A．5B．6或5C．7D．7或8
题型1 排列数与组合数的计数
例1-1（ ）
A．0B．56C．1D．42
例1-2（多选）已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练1-1】若，则的值为 ．
【变式训练1-2】若，则正整数的值为 .
【变式训练1-3】若，则 .
题型2 直接法
例2-1甲乙丙等人站在一排，且甲不在两端，乙和丙中间恰好有两人，则不同排法共有（ ）
A．24种B．16种C．12种D．8种
例2-2用0，1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 个．
【变式训练2-1】在全国人口普查过程中，甲、乙、丙、丁四位普查员要去A、B、C三个小区进行数据采集，若甲普查员不能去A小区，且每个小区至少去一名普查员，每人只能去一个小区．则不同的安排方法共有（ ）
A．24种B．36种C．6种D．12种
【变式训练2-2】五种不同商品在货架上排成一排，而C，D两种不能连排，则不同的排法共有（ ）种．
A．24B．72C．36D．42
【变式训练2-3】从名同学中选择人分别去三地调研，每个地方安排一人，其中要求地不安排甲同学，则安排方案共有 种．（用数字作答）
题型3 间接法
例3-1某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出二十四节气宣传橱窗，其中“雨水”，“惊蛰”，“谷雨”，“芒种”，“白露”，“寒露”6块知识展板放置在排成一排的六个文化橱窗里，要求“雨水”和“谷雨”两块展板不相邻，且“白露”与“寒露”两块展板不相邻，则不同放置方式的种数为（ ）
A．144B．240C．336D．456
例3-2从八个连续整数中任取三个数，若取出的三个数中任意两个数之差不为1，则这样的取法总数为 ．
【变式训练3-1】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻．则不同排列方式共有（ ）
A．12种B．24种C．48种D．72种
【变式训练3-2】某公司从10名大学生中招聘4名工作人员，甲、乙两人至少有一人入选的不同选法种数为（ ）
A．90种B．140种C．196种D．256种
【变式训练3-3】某班级一天排六节课，上午四节，下午两节．有3节不同的文化课、2节不同的艺术课和1节体育课，要求排出一个课表．上午第一节课和下午最后一节课都是艺术课，有 种排法；上午有艺术课，且体育课不排在上午第一节，有 种排法．
题型4 捆绑法与插空法
例4-1将4辆车停放到5个并排车位上，由于甲车的车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与甲车相邻停放，则不同的停放方法种数为（ ）
A．6B．12C．18D．24
例4-2两名老师和甲、乙等五名学生站成一排，要求甲不站最左边，两名老师相邻，且乙和老师不相邻，则不同的排法共有（ ）
A．774种B．796种C．816种D．834种
【变式训练4-1】6名同学排成一排照相，则其中甲、乙不相邻的不同排法种数为（ ）
A．240B．480C．960D．1920
【变式训练4-2】据典籍《周礼·春官》记载， “宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.若把这五个音阶全部用上，排成一个五音阶音序，则“徵”和“羽”之间恰好有一个音阶的排法种数为 种.(用数字作答)
【变式训练4-3】某校的5名团员利用周日到市养老院参加义务劳动．已知5名团员中有3位女生，2位男生，活动结束后5名团员站成一排拍照留念，若两名男生之间有女生，则排法总数有 种．（用数字作答）
题型5 分组与分配问题
例5-1为了提升数学素养，甲、乙、丙等五名同学打算选修学校开设的数学拓展课程，现有几何画板、数学与生活、趣味数学、数独四门课程可供选修，每名同学均需选修且只能选修其中一门课程，每门课程至少有一名同学选修，则甲不选修几何画板，且数独只能由乙和丙中一人或两人选修的情况的种数为（ ）
A．48B．50C．52D．54
例5-2六本不相同的书发给4个人，每人至少一本，且书全部分完，则所有不同的分配方法种数为 .
【变式训练5-1】某市派4名专家到西部某市2家医院坐诊，每家医院至少派1名专家，且每名专家只去1家医院，则不同的分配方案种数为（ ）
A．20B．18C．16D．14
【变式训练5-2】将6名志愿者安排到4个不同的社区进行创文共建活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，每名志愿者只能到一个社区，则不同排法共有（ ）
A．480种B．1560种C．2640种D．640种
【变式训练5-3】近期，哈尔滨这座“冰城”火了，2024年元旦假期三天接待游客300多万人次，神秘的鄂伦春族再次走进世人的眼帘，这些英雄的后代讲述着英雄的故事，让哈尔滨大放异彩．现安排6名鄂伦春小伙去三个不同的景点宣传鄂伦春族的民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是 ．
【变式训练5-4】《数术记遗》记述了我国古代十余种算法.甲、乙、丙三人拟收集该书中运筹算、九宫算、了知算、成数算和把头算等5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，则不同的分工收集方案有 种.
题型6 定序问题
例6-1现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取3件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ）
A．8400B．11760C．13440D．20160
例6-2重庆外国语学校第34届外语节于2025年5月22日举行，高二某班6名同学参加节目表演，表演完后老师为这6名同学合影留念.合影时4人先到2人后到，为节约时间，先到的4人排好队，后来的2人加入并保持排好队同学的相对顺序不变，这两名同学共有多少种加入方法（ ）
A．10B．20C．60D．30
【变式训练6-1】2025年4月23日是第三十个世界读书日．将2，0，2，5，4，2，3这些数字排成一排组成一个七位数，则不同的七位数有（ ）个．
A．480B．600C．720D．840
【变式训练6-2】高二（1）班5位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，若保持原来5位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（ ）
A．42B．30C．21D．15
【变式训练6-3】某班10名同学一起参加数学竞赛，赛后老师为这10名同学拍合影留念，前排站4人后排站6人，后来老师决定从后排6人中抽出两名同学站到前排，其他同学的相对顺序不变，则共有多少种调整方法（ ）
A．150B．300C．900D．450
题型7 相同元素分配问题
例7-120个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（ ）
A．120B．240C．300D．360
例7-2方程的正整数解的不同组数为 ．（用数字作答）
【变式训练7-1】现有9个三好学生的名额分给甲、乙、丙、丁4个班级，若每个班级至少1个名额，则不同的分配方法有（ ）
A．504种B．126种C．84种D．56种
【变式训练7-2】已知方程，若x，y，z均为正整数，则称为该方程的正整数解.则方程共有（ ）个正整数解.
A．171B．190C．342D．380
【变式训练7-3】某校庆典活动开场舞安排高中三个年级的16名学生共同完成，要求每个年级至少安排1名学生，则名额的分配方案共有（ ）
A．105种B．455种C．120种D．560种
1．（2023·全国甲卷·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120B．60C．30D．20
2．（2023·全国乙卷·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种B．60种C．120种D．240种
3．（2024·上海·高考真题）设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两个不同元素之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 ．
4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
1．如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？（ ）

A．120B．180C．221D．300
2．填空题.
（1）有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 ；
（2）要从5件不同的礼物中选出3件分别送3位同学，不同方法的种数是 ；
（3）5名工人各自在3天中选择1天休息，不同方法的种数是 ；
（4）集合A有m个元素，集合B有n个元素，从两个集合中各取1个元素，不同方法的种数是 .
3．一名同学有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，现要将这些书放在一个单层的书架上.
（1）如果要选其中的6本书放在书架上，那么有多少种不同的放法？
（2）如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，那么有多少种不同的放法？
4．（1）空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作多少个平面？
（2）空间中有10个点，其中任何4个点不共面，过每4个点为顶点作一个四面体，可以作多少个四面体？
5．在一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，在第3题的2个小题中选做1个小题，有多少种不同的选法.
6．从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛.
（1）如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法？
（2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？
（3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？
（4）如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？
7．从含有3件次品的100件产品中，任意抽取5件进行检验.
（1）抽出的产品都是合格品的抽法有多少种？
（2）抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的产品中至少有2件是次品的抽法有多少种？
（4）抽出的产品中至多有2件是次品的抽法有多少种？
考点要求
考察形式
2025年
2024年
2023年
（1）排列与组合的概念
（2）排列数、组合数的公式及性质
单选题
多选题
填空题
解答题
2025年上海卷第9题，5分
2024年上海卷第10题，5分
2023年甲卷（理）第9题，5分
2023年乙卷（理）第7题，5分
2023年全国Ⅰ卷第13题，5分
考情分析：从近三年的全国卷的考查情况来看，本节是高考常考内容，以考查基本概念和基本方法为主，涉及特殊元素与特殊位置、两元索相邻或不相邻、分组、分配等问题，分值为5分．本节内容与生活实际联系紧密，考生可适当留意常见的排列组合现象，如体育赛事排赛、彩票规则等，培养数学应用的思维意识．
复习目标：
（1）理解排列、组合的概念．
（2）能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．
（3）能利用排列组合解决简单的实际问题．
名称
定义
排列
从个不同元素中取出（）个元素
按照一定的顺序排成一列，叫做从个元素中取出个元素的一个排列
组合
作为一组，叫做从个元素中取出个元素的一个组合