专题46 直线与圆、圆与圆的位置关系-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）

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【知识梳理】2
【真题自测】3
【考点突破】11
【考点1】直线与圆的位置关系11
【考点2】圆的切线、弦长问题17
【考点3】圆与圆的位置关系22
【分层检测】27
【基础篇】27
【能力篇】35
【培优篇】39
考试要求：
1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
知识梳理
1.直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x－a）2＋（y－b）2＝r2，,Ax＋By＋C＝0))消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
2.圆与圆的位置关系
已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝req \\al(2,1)，
C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝req \\al(2,2)，
则圆心距d＝|C1C2|＝eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2).
则两圆C1，C2有以下位置关系：
1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2.直线被圆截得的弦长的求法
(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2eq \r(r2－d2).
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(（xM＋xN）2－4xM·xN).
真题自测
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）已知直线与圆交于两点，则AB的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
2．（2024·全国·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则AB的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．
3．（2023·全国·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A．B．4C．D．7
4．（2023·全国·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
二、多选题
5．（2024·全国·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
三、填空题
6．（2023·全国·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
7．（2022·全国·高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
8．（2022·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
参考答案：
1．C
【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，AB的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解.
【详解】因为直线，即，令，
则，所以直线过定点，设，
将圆化为标准式为，
所以圆心，半径，
当时，AB的最小，
此时.
故选：C
2．C
【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.
【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得
，即，令得，
故直线恒过，设，圆化为标准方程得：，
设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，AB最小，
，此时.

故选：C
3．C
【分析】法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.
【详解】法一：令，则，
代入原式化简得，
因为存在实数，则，即，
化简得，解得，
故 的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，
则，
，所以，则，即时，取得最大值，
法三：由可得，
设，则圆心到直线的距离，
解得
故选：C.
4．B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，
因为，则，
可得，
则，
，
即为钝角，
所以；
法二：圆的圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，连接，
可得，则，
因为
且，则，
即，解得，
即为钝角，则，
且为锐角，所以；
方法三：圆的圆心，半径，
若切线斜率不存在，则切线方程为x=0，则圆心到切点的距离，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为，即，
则，整理得，且
设两切线斜率分别为，则，
可得，
所以，即，可得，
则，
且，则，解得.
故选：B.

5．ABD
【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设点坐标进行求解.
【详解】A选项，抛物线的准线为，
的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径，
故准线和相切，A选项正确；
B选项，三点共线时，即，则的纵坐标，
由，得到，故，
此时切线长，B选项正确；
C选项，当时，，此时，故或，
当时，，，，
不满足；
当时，，，，
不满足；
于是不成立，C选项错误；
D选项，方法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义，，这里，
于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题，
，中点，中垂线的斜率为，
于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得，
，即的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个点，使得，D选项正确.
方法二：（设点直接求解）
设，由可得，又，又，
根据两点间的距离公式，，整理得，
，则关于的方程有两个解，
即存在两个这样的点，D选项正确.
故选：ABD
6．（中任意一个皆可以）
【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出．
【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得，
所以，解得：或，
由，所以或，解得：或．
故答案为：（中任意一个皆可以）．
7．
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的距离，
解得或（舍去）．
故答案为：．
8．或或
【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】[方法一]：
显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，
于是，
故①，于是或，
再结合①解得或或，
所以直线方程有三条，分别为，，
填一条即可
[方法二]：
设圆的圆心，半径为，
圆的圆心，半径，
则，因此两圆外切，
由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；
又由方程和相减可得方程，
即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，
直线OC与直线的交点为，
设过该点的直线为，则，解得，
从而该切线的方程为填一条即可
[方法三]：
圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或.
考点突破
【考点1】直线与圆的位置关系
一、单选题
1．（2024·安徽·模拟预测）已知直线，圆，则该动直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不确定
2．（2024·湖北·模拟预测）已知点是直线上的动点，由点向圆引切线，切点分别为且，若满足以上条件的点有且只有一个，则（ ）
A．B．C．2D．
二、多选题
3．（2024·河北衡水·模拟预测）已知，动点满足，则下列结论正确的是（ ）
A．点的轨迹围成的图形面积为
B．的最小值为
C．是的任意两个位置点，则
D．过点的直线与点的轨迹交于点，则的最小值为
4．（23-24高三上·河北廊坊·期中）如图，有一组圆都内切于点，圆，设直线与圆在第二象限的交点为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．圆的圆心都在直线上
B．圆的方程为
C．若圆与轴有交点，则
D．设直线与圆在第二象限的交点为，则
三、填空题
5．（2022·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与圆相交于M，N两点，若，则直线l的斜率为 .
6．（19-20高一下·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直角△中，直角顶点A在直线上，顶点在圆上，则点A横坐标的取值范围是 ．
参考答案：
1．C
【分析】根据题意可得直线表示过定点，且除去的直线，点在圆上，可判断直线与圆相交.
【详解】因为直线，即，
当时，，解得，
所以直线表示过定点，且除去的直线，
将圆的方程化为标准方程为，因为，点在圆上，
所以直线与圆可能相交，可能相切，相切时直线为，不合题意，
所以直线与圆相交.
故选：C.
2．D
【分析】连接，结合圆的切线性质可推得点在以点为圆心，为半径的圆上，再由题意可知该圆与直线相切，利用点到直线的距离公式，即可求得答案.
【详解】连接，则.
又，所以四边形为正方形，，
于是点在以点为圆心，为半径的圆上.
又由满足条件的点有且只有一个，则圆与直线相切，
所以点到直线的距离，解得.
故选：D.
3．ABD
【分析】由得，计算面积可判断A；结合图象可知，当共线的时候取值最小值，可判断B；过A向圆引切线，用两条切线夹角来可判断C；分别用斜率存在和不在两种情况写出过点的直线方程，然后由圆的几何性质求MN，进而结合基本不等式可得MN的最小值，即可判断D.
【详解】由得：，即，
点的轨迹为圆心O0,0，半径的圆.
对于A：面积为，故A正确；
对于B：点B在圆内，由图知，当共线的时候等号成立，
所以最小值为，故B正确，
对于C：因为，，所以过A向圆引切线，切线长等于，则两条切线夹角为，故C不正确.
对于D：斜率不存在时，过点的直线方程为，此时；
斜率存在时，过点的直线方程为，即，
则圆心到该直线的距离，
由圆的几何性质，，
当时，；
当时， ；
当时，，当且仅当即时取等号，
综上所述，的最小值为，故D正确.
故选：ABD.
4．ABD
【分析】求出连心线所在直线方程判断A；求出圆的方程判断B；求出圆的圆心到y轴的距离，结合直线与圆相交判断C；求出点的纵坐标判断D.
【详解】圆的圆心，直线的方程为，即，
由两圆内切连心线必过切点，得圆的圆心都在直线上，即圆的圆心都在直线上，A正确；
显然，设点，则，而，
解得，因此圆的圆心，半径为，
圆的方程为，则圆的方程为，B正确；
圆的圆心到y轴距离为，若圆与轴有交点，则，
解得，而，因此，C错误；
在中，令，得点的纵坐标为，因此，D正确．
故选：ABD
【点睛】结论点睛：直线l：y=kx+b上两点间的距离；
直线l：x=my+t上两点间的距离.
5．
【分析】设，，直线MN的方程为，联立直线与圆的方程，消元列出韦达定理，根据根的判定式，求出的取值范围，根据，即可得到，即可求出；
【详解】解：由题意得，直线的斜率存在，设，，直线MN的方程为，与联立，得，，得，，.因为，所以，则，于是，（由点A及C在y轴上可判断出，同号）
所以，两式消去，得，满足，所以.
故答案为：
6．
【分析】由题意画出图形，画出以原点为圆心，以为半径的圆，结合图形分析推理，点A在这个圆截直线x-y+4=0所得弦上时，满足要求，列出不等式求解即得．
【详解】如图所示，显然直线x-y+4=0与圆相交，
当点A为直线上的定点且在圆外，直线与圆相切时，∠BAC最大，
点A是直线被圆所截弦上的点(除弦的端点外)时，点A对圆上两点所张角在，
点A在直线上从弦端点开始远离圆方向运动时，∠BAC逐渐变小，点A移动到某位置使得直线AB，AC为圆的切线，∠BAC就为直角，再沿着此方向移动，∠BAC将小于直角，则为点A的边界位置，
当点A在处时，为正方形，则，
则点A是以为圆心，为半径的圆截直线x-y+4=0所得弦上的点时符合要求，即直线上的点A在该圆及内部，
，令A(x,x+4)，则，
点A横坐标的取值范围是．
故答案为：
【点睛】(1)直线上的动点与圆的关系类问题，利用数形结合的思想，分析图形的几何特征是解题的关键；
(2)圆相外的定点向圆引的两条切线夹角是该点对圆上两点所张的角中最大的.
反思提升：
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系.
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.
【考点2】圆的切线、弦长问题
一、单选题
1．（23-24高二下·广东茂名·阶段练习）已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·辽宁·模拟预测）过点作圆的切线，A为切点，，则的最大值是（ ）
A．B．C．4D．3
二、多选题
3．（2022·福建泉州·模拟预测）已知点在直线上，点在圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．点到的最大距离为
B．若被圆所截得的弦长最大，则
C．若为圆的切线，则的取值范围为
D．若点也在圆上，则到的距离的最大值为
4．（23-24高二上·湖南常德·期末）已知圆，直线，点在直线上运动，直线，分别与圆切于点，.则下列说法正确的是（ ）
A．最短为
B．最短时，弦所在直线方程为
C．存在点，使得
D．直线过定点为
三、填空题
5．（2022·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于A，B两点，若钝角的面积为，则实数a的值是 ．
6．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，的坐标满足，，已知圆，过作圆的两条切线，切点分别为，当最大时，圆关于点对称的圆的方程为 ．
参考答案：
1．A
【分析】先求出直线所过的定点，数形结合得到当时，直线被圆截得的弦长最小，再由垂径定理得到最小值.
【详解】直线，
令，解得，所以直线恒过定点，
圆的圆心为，半径为，
且，即在圆内，
当时，圆心到直线的距离最大为，
此时，直线被圆截得的弦长最小，最小值为.
故选：A.
2．A
【分析】先根据切线长度求出OP为定值，即，设，两个方程联立，利用求的取值范围.
【详解】由题意：，即.
设，则，代入，得.
因为关于的一元二次方程一定有解，
所以.
故选：A.
3．ABD
【分析】求出圆心到直线距离的最大值，可求得到的最大距离，可判断A选项的正误；将圆心的坐标代入直线的方程，求出的值，可判断B选项的正误；利用圆心到直线的距离等于半径，结合点到直线的距离公式求出的值，可判断C选项的正误；分析可知当直线与圆相切，求出到的距离的最大值，可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，由题意可知，直线过定点，
圆的圆心为原点，半径为，设圆心到直线的距离为.
当时，，
当与直线不垂直时，.
综上所述，，所以，点到的最大距离为，A对；
对于B选项，若被圆所截得的弦长最大，则直线过圆心，可得，所以，B对；
对于C选项，若为圆的切线，则，解得，C错；
对于D选项，若也在圆上，则直线与圆相切或相交，
当直线与圆相切时，到的距离取最大值，D对.
故选：ABD.
4．ABD
【分析】确定当时，最小，即可求得的最小值，判断A；结合A的分析，设出的方程，求出弦心距，利用点到直线的距离公式求出参数，即可判断B；假设存在点，使得，求出此时，和M到直线l的最短距离比较，即可判断C；求出切点弦的方程，结合点在直线上运动，求出所过定点，判断D.
【详解】由题意知，圆的半径为，且，，
故,
即当最小时，最短，当时，最小，
最小值为，故的最小值为，A正确；
当最短时，，故的斜率为-1，
又，故的斜率为1，设其方程为，
由于此时，，故，
所以M到的距离为.
则有，解得或，
由于，结合图形可知二者之间的距离应小于，
当时，和间的距离为，
时，的方程为和间的距离为，
故最短时，弦所在直线方程为，B正确；
假设存在点，使得，则，
此时为等腰直角三角形，则，结合，
则为等腰直角三角形，而，故，
由于M到直线l的最短距离为，故不存在点，使得，C错误；
设，由于直线，分别与圆相切，
故直线，的方程分别为，
将代入，即，
可得的方程为，
由于，即，故
即，由于，故令，
即直线过定点为，D正确，
故选：ABD
【点睛】难点点睛：本题综合考查了直线和圆相切的问题，涉及最值、定点以及切点弦方程问题，综合性较强，难点在于选项D的判断，解答时要注意根据圆的切线方程，推出切点弦方程，进而求解直线过定点问题.
5．/
【分析】由钝角的面积为，求得，得到，进而求得圆心到直线的距离为1，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解．
【详解】解：由圆，即，
可得圆心坐标为，半径为，
因为钝角的面积为，可得，
解得，因为，所以，
可得，
设圆心到直线的距离为，又由圆的弦长公式，可得，解得，
根据点到直线的距离公式，解得．
故答案为：．
6．
【分析】求出点的轨迹，利用切线的性质探讨取最大的等价条件，由此求出点的坐标，再由对称求出圆方程.
【详解】依题意，点的轨迹为直线上，显然，要最大，当且仅当最大，
在中，，而正弦函数在上单调递增，
则只需最大，即圆心到点的距离最小，因此，又圆心，
此时直线的方程为，由解得点，
于是圆心关于点对称的点的坐标为，所以圆关于点对称的圆的方程为．
故答案为：
反思提升：
弦长的两种求法
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.
(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2eq \r(r2－d2).
求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.
【考点3】圆与圆的位置关系
一、单选题
1．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知，，若圆上存在点P满足，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）两圆与的公共弦长为（ ）
A．B．C．D．1
二、多选题
3．（22-23高二上·浙江绍兴·阶段练习）以下四个命题表述正确的是（ ）
A．椭圆上的点到直线的最大距离为
B．已知圆C：，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，AB为切点，直线AB经过定点
C．曲线：与曲线：恰有三条公切线，则m＝4
D．圆上存在4个点到直线l：的距离都等于1
4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知圆，则下列结论正确的有（ ）
A．若圆和圆外离，则
B．若圆和圆外切，则
C．当时，圆和圆有且仅有一条公切线
D．当时，圆和圆相交
三、填空题
5．（2024·浙江丽水·二模）已知圆，若对于任意的，存在一条直线被圆所截得的弦长为定值，则 .
6．（2023·全国·模拟预测）圆与圆的公切线长为 .
参考答案：
1．A
【分析】设点，由，得P的轨迹方程为，再由两圆相交求解．
【详解】设点，则，，
所以，
所以P的轨迹方程为，圆心为，半径为3．
由此可知圆与有公共点，
又圆的圆心为，半径为2，
所以，解得，
即的取值范围是．
故选：A．
2．B
【分析】两圆与圆的方程相减可得公共弦所在的直线方程为，再由点到直线的距离公式能求出两圆的公共弦长．
【详解】两圆的圆心分别为,半径均为1，故圆心距离为,故两圆相交，
圆与圆的公共弦所在的直线方程为：
，即，
圆的圆心到公共弦的距离：
，圆的半径，
公共弦长．
故选：B．
3．ABC
【分析】对于A:斜率为且与椭圆相切的直线到直线的距离为到椭圆的最大值或者最小值.
对于B:根据AB为切点，得出，，由此判断AB在以为直径的圆上，以此求出公共弦AB的直线方程，找到定点.
对于C:两圆三条公切线，说明两圆外切，两圆心距离应该等于两圆半径之和.
对于D:判断直线与圆上各点距离两个方向的最远距离，两值大于1则有四个满足条件的点.
【详解】对于A:设直线与椭圆相切，
联立方程得：，
因为直线与椭圆相切，所以，得
当时，直线与距离最大，最大距离为
故A正确.
对于B:设点，因为AB为切点，所以，，连接，根据圆周角与圆直径关系可知，AB两点在以为直径的圆上，圆的方程为，两圆公共弦AB所在直线方程为，
联立方程得，令，则
故B正确.
对于C: 曲线：，曲线:，因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，故，得
故C正确.
对于D:直线 与圆相切，且与距离为1，因此圆上存在3个点到直线l：的距离都等于1
故D错误.
故选:ABC
【点睛】圆锥曲线与相交直线的最远距离求法：
1.设一条与相交直线平行的直线;
2.假设直线与曲线相切并联立方程，求出直线方程;
3.根据平行线距离公式求出两直线距离，即是圆锥曲线与相交直线的最远距离.
4．BCD
【分析】根据圆与圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】.
若和外离，则，解得或，故A错误；
若和外切，，解得，故B正确；
当时，和内切，故C正确；
当时，和相交，故D正确.
故选：BCD
5．/
【分析】由圆的方程的特征求出，再将圆的方程化为标准式，令、得到两个圆的方程，两圆作差得到公共弦方程，求出公共弦长，即可求出.
【详解】圆，
则，解得，
所以圆，即，
由题设，令可得，令可得，
显然两圆相交，则两圆方程作差可得，
当直线为时，圆心到直线的距离为，
弦长，
所以，则.
故答案为：
6．4
【分析】先由圆心距与两圆半径和差关系判断两圆位置关系，再由几何性质利用勾股定理求解公切线长.
【详解】由题可得，由圆，
则圆心为，半径为，
由圆，
则圆的圆心为，半径为.
则两圆心的距离，
因为，所以圆与圆相交.
如图，设切点为，作于点，
所以圆与圆的公切线长为.
故答案为：.

反思提升：
1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.
2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）若直线与圆有交点，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
3．（2024·贵州六盘水·三模）已知直线与圆相交于A，B两点，若，则（ ）
A．B．1C．D．﹣2
4．（2021·江西·模拟预测）已知圆，过点向这个圆作两条切线，则两切线的夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（2024·辽宁沈阳·三模）设椭圆的左､右焦点分别为是上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为8
B．椭圆的离心率
C．面积的最大值等于12
D．以线段为直径的圆与圆相切
6．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知圆和圆，则（ ）
A．圆的半径为4
B．轴为圆与的公切线
C．圆与公共弦所在的直线方程为
D．圆与上共有6个点到直线的距离为1
7．（2023·河北·三模）在平面直角坐标系中，已知圆与圆，分别为圆和圆上的动点，下列说法正确的是（ ）
A．过点作圆M的切线有且只有一条
B．若圆和圆恰有3条公切线，则
C．若PQ的最小值为1，则
D．若，则直线的斜率的最大值为
三、填空题
8．（2024·天津·二模）设直线和圆相交于两点.若，则实数 .
9．（2023·天津武清·模拟预测）已知点，，经过点作圆的切线与轴交于点，则 ．
10．（23-24高三下·天津南开·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，且，则实数
四、解答题
11．（2020·云南保山·模拟预测）已知圆经过，，三点．
（1）求圆的标准方程；
（2）求经过点且和圆相切的直线的方程．
12．（22-23高二上·天津和平·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，求：
(1)求圆心为的圆的标准方程；
(2)设点在圆上，点在直线上，求的最小值；
(3)若过点的直线被圆所截得弦长为，求该直线的方程．
参考答案：
1．A
【分析】根据题意可知，圆心到直线的距离小于等于圆的半径，进而可以列出不等式.
【详解】的圆心为，半径r=1，
圆心到直线的距离，
依题意，圆心到直线的距离小于等于圆的半径，
所以，即.
故选：A.
2．A
【分析】根据已知条件，结合勾股定理以及点到直线的距离公式求解即可.
【详解】连接，则，
而PC的最小值为点C到直线l的距离，
所以.
故选：A.
3．C
【分析】首先求出圆心到直线的距离，进一步利用垂径定理建立等量关系式，最后求出a的值．
【详解】圆与直线与相交于A，B两点，且．
则圆心到直线的距离，
利用垂径定理得，所以，解得．
故选：C．
4．A
【解析】由圆的一般方程求得圆心和半径，再根据两点的距离公式求得点P到圆心C的距离，得出切线与直线PC的夹角的正弦值，运用余弦的二倍角公式可得选项.
【详解】因为圆，所以，所以圆心为，半径，
又点，所以点P到圆心C的距离为，所以切线与直线PC的夹角的正弦值为，
所以两切线的夹角的余弦值为，
故选：A.
5．ACD
【分析】根据给定的椭圆方程，求出其长短半轴长及半焦距，再逐项计算判断得解.
【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，则半焦距，
对于A，的最大值为，A正确；
对于B，椭圆的离心率，B错误；
对于C，设点，则，而，
因此面积的最大值等于，C正确；
对于D，以线段为直径的圆为的圆心，半径，
圆的圆心，半径，，则圆与圆外切，D正确.
故选：ACD
6．BD
【分析】
对于A项，将圆的方程化成标准式即得；对于B项，判断圆心到直线的距离等于圆的半径
即得；对于C项，只需将两圆方程相减化简，即得公共弦直线方程；对于D项，需要结合
图像作出两条和已知直线平行且距离等于1的直线，通过观察分析即得.
【详解】
对于A项，由圆配方得：
知圆的半径为2，故选项A错误；
对于B项，因圆心到轴的距离为1，等于圆的半径，故圆与轴相切，
同理圆心到轴的距离等于圆的半径，圆与轴相切，故轴为圆
与的公切线，故选项B正确；
对于C项，只需要将与左右分别相减，
即得圆与的公共弦所在的直线方程为：故选项C错误；
对于D项，如图，因直线同时经过两圆的圆心，依题意可作两条
与该直线平行且距离为1的直线与，其中与和圆都相切，各有一个公共点，
与和圆都相交，各有两个交点，故圆与上共有6个点到直线
的距离为1，故选项D正确.
故选：BD.
7．BD
【分析】根据题意，分别求得圆和圆的圆心坐标和半径，结合圆与原的位置关系，逐项判定，即可求解.
【详解】由圆，可得圆心为，半径为，
圆，可得圆心为，半径为，
对于A中，由点在圆外，所以过点的切线有2条，所以A不正确；
对于B中，若圆和圆恰有3条公切线，则圆和圆相外切，
所以，即，解得，所以B正确；
对于C中，当圆和圆外离时，可得PQ的最小值为，此时；
当圆和圆内含时，可得PQ的最小值为，此时，所以C不正确；
对于D中，当时，则直线的斜率的最大值是斜率为正的内公切线斜率，
如图所示，，且，所以，
在直角，可得，所以，
即直线PQ的斜率的最大值为，所以D正确.
故选：BD.
8．
【分析】由于，可知圆心到直线的距离，进而可得解.
【详解】

如图所示，由已知，即，
可得，半径，
又，所以，即为等腰直角三角形，
所以圆心到直线得距离，
即，且，解得：；
故答案为：.
9．
【分析】由直线与圆的位置关系作出切线，求得，即可得解.
【详解】如图所示，设圆心为点，则，
，则点在圆上，且，
由与圆相切可得，所以切线方程为，
令，解得，故，
所以
故答案为：.
10．7
【分析】利用弦长公式和点到直线距离公式列方程求解即可.
【详解】根据题意，圆，
即，其圆心为，半径，
若，则圆心到直线即的距离，
又由圆心到直线的距离，
则有，解可得：.
故答案为：.
11．（1），（2）或
【分析】（1）根据题意，设所求圆的一般方程为，将三点坐标代入计算可得的值，即可得圆的一般方程，变形可得答案；
（2）根据题意，分析圆的圆心与半径，进而分别讨论直线的斜率存在与不存在时直线的方程，综合即可得答案
【详解】解：（1）设所求圆的一般方程为，则
，解得，
所以所求圆的一般方程为，即，
所以圆的标准方程为，
（2）由（1）可知圆：的圆心，半径为5，
若直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离，与圆相切，符合题意，
若直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则直线的方程为，即，则有，解得，
所以直线的方程为，
综上，直线的方程为或
【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的标准方程，考查直线方程的求法，属于基础题
12．(1)
(2)
(3)或
【分析】(1)设圆的标准方程为，利用圆经过的两个点，且圆心在直线上，建立方程组就可以求得.
(2)求出圆心到直线的距离，即可求出最小值.
(3)根据直线被圆截得的弦长为8，求出圆心到直线的距离，用点到直线的距离公式建立方程，求出得值，即可写出直线方程.
【详解】（1）设圆的标准方程为，因为圆经过和点，且圆心在直线上，
所以 解得：
所以圆的标准方程为.
（2）因为圆到直线的距离为
，
所以直线与圆相离，
所以的最小值为.
（3）当斜率存在时，由条件可知，圆心到直线的距离为
根据点到直线的距离公式得：，解得.
当斜率不存在时，直线方程为，符合截圆所得的弦长为8
所以直线方程为或.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·山东聊城·二模）若圆与圆恰有一条公切线，则下列直线一定不经过点的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
2．（2024·山东青岛·三模）已知动点 分别在圆 和 上，动点 在 轴上，则（ ）
A．圆的半径为3
B．圆和圆相离
C．的最小值为
D．过点做圆的切线，则切线长最短为
三、填空题
3．（2024·天津武清·模拟预测）已知直线与圆C：相交于A，B两点，且，则实数 .
四、解答题
4．（2025·安徽·一模）椭圆的上顶点为，圆在椭圆内．
(1)求的取值范围；
(2)过点作圆的两条切线，切点为，切线与椭圆的另一个交点为，切线与椭圆的另一个交点为．是否存在圆，使得直线与之相切，若存在求出圆的方程，若不存在，说明理由．
参考答案：
1．D
【分析】根据两圆公切线条数确定两圆位置关系，从而可得圆心所满足的轨迹方程，从而逐项判段直线与圆位置关系，确定直线是否过点即可.
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
若圆与圆恰有一条公切线，则两圆内切，
所以，即，所以点的轨迹为圆，
对于A，圆心到直线的距离为，则该直线过点，故A不符合；
对于B，圆心到直线的距离为，则该直线过点，故B不符合；
对于C，圆心到直线的距离为，则该直线过点，故C不符合；
对于D，圆心到直线的距离为，则该直线不过点，故D符合；
故选：D.
2．BD
【分析】求出两个圆的圆心、半径判断AB；求出圆关于对称的圆方程，利用圆的性质求出最小值判断C；利用切线长定理求出最小值判断D.
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
对于A，圆的半径为，A错误；
对于B，，圆和圆相离，B正确；
对于C，圆关于轴对称的圆为，，连接交于点，连接，
由圆的性质得，
，当且仅当点与重合，
且是线段分别与圆和圆的交点时取等号，C错误；
对于D，设点，过点的圆的切线长，
当且仅当，即时取等号，D正确.
故选：BD

3．
【分析】利用弦长公式和点到直线距离公式列方程求解即可.
【详解】根据题意，圆，
即，其圆心为，半径，
若，则圆心到直线即的距离，
又由圆心到直线的距离，
则有，解可得：.
故答案为：.
4．(1)
(2)存在，
【分析】（1）设为椭圆上任意一点，再根据两点间距离小于半径即可得出范围；
（2）设直线的方程直线,由点到直线距离等于半径得出的方程为，最后再应用圆心到直线距离等于半径求参即可求出圆的方程．
【详解】（1）设为椭圆上任意一点，，则．
则．故．
（2）
由题意可知，设，因为，故切线的斜率都存在．
又直线的方程为，即为，
直线的方程为．
则，故．
而，故，又因为．
故，同理．
故直线的方程为．
若直线与圆相切，则，令．
故，即．故，或．
故存在满足条件的圆，其方程为．
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·四川雅安·三模）若拋物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，，圆为的外接圆，直线与圆相切于点，点为圆上任意一点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（2024·辽宁丹东·一模）已知圆，直线与交于两点，点为弦的中点，，则（ ）
A．弦有最小值为B．有最小值为
C．面积的最大值为D．的最大值为9
三、填空题
3．（2022·青海·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，，，圆Q过坐标原点O且与圆L外切．若抛物线与圆L，圆Q均恰有一个公共点，则p＝ ．
参考答案：
1．B
【分析】借助焦半径公式计算可得，结合外接圆的定义即可求得该外接圆方程，借助切线性质可得点的坐标，设出点坐标，借助坐标表示出，结合辅助角公式计算即可得解.
【详解】由，可得，故，则F0,1，
令，则，即，分别为，
令圆心坐标为0,m，则有，解得，
故圆的半径为，即圆的方程为，
设，，则有，
化简得，即，则，
由圆的对称性，不妨设在第一象限，即，
设，，
则
，
其中，由，故，
故.
故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助三角函数设出、的坐标，从而只用一个变量表示该点，用角表示出后，结合辅助角公式计算即可得.
2．BCD
【分析】易得直线过定点，根据点为弦的中点时，AB最小，即可判断A；根据点为弦的中点，可得，进而可得出点的轨迹是以为直径的圆，即可判断B；要使面积取得最大值，只要点到直线的距离最大即可，进而可判断C；设Ax1,y1,Bx2,y2，联立，利用韦达定理求出，进而可求出的坐标，再根据数量积的坐标公式结合基本不等式即可判断D.
【详解】圆的圆心，半径，
直线过定点，
因为，所以点在圆内，
所以直线与圆一定相交，
当点为弦的中点时，AB有最小值，
此时直线的斜率不存在，而直线的斜率一定存在，
所以，故A错误；
因为点为弦的中点，所以，即，
所以点的轨迹是以为直径的圆(去除），圆心为，半径为，
所以轨迹方程为，
因为，所以点在圆外，
所以的最小值为，故B正确；
对于C，，
要使面积取得最大值，只要点到直线的距离最大即可，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离，
所以点到直线的距离最大值为，
所以面积的最大值为，故C正确；
对于D，设Ax1,y1,Bx2,y2，
联立，得，
则，故，
所以点的坐标为，
则，
当时，，
当时，，
当时，，
当且仅当，即时，取等号，
综上所述的最大值为9，故D正确.

故选：BCD.
【点睛】方法点睛：求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法：
（1）直接法：根据题设条件直接列出方程；
（2）定义法：根据圆的定义写出方程；
（3）几何法：利用圆的性质列方程；
（4）代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
3．/0.5
【分析】由两圆关系确定圆L的方程，根据抛物线与圆L恰有一个公共点且，利用导数几何意义写出该点处曲线的公切线方程，结合直线与公切线垂直关系、与公切线的距离列方程组求m值，进而可求p.
【详解】由题设，圆Q为，显然与有一个公共点，
而，由圆Q与圆L外切，则圆L的半径为，
所以圆L为，
要使与圆L恰有一个公共点且，
抛物线可得：，故过的公切线方程为，
所以，而，则，
由，即①，
又L到切线的距离为②，
联立①②并整理得：，
易知：，则.
故答案为：
位置关系
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ<0
Δ＝0
Δ>0
几何观点
d>r
d＝r
d位置关系
外离
内含
相交
内切
外切
圆心距
与半径
的关系
d>r1＋r2
d<|r1－r2|
|r1－2|d＝|r1－r2|
d＝r1＋r2
图示
公切线条数
4
0
2
1
3
题号
1
2
3
4
5





答案
C
C
C
B
ABD





题号
1
2
3
4






答案
C
D
ABD
ABD






题号
1
2
3
4






答案
A
A
ABD
ABD






题号
1
2
3
4






答案
A
B
ABC
BCD






题号
1
2
3
4
5
6
7



答案
A
A
C
A
ACD
BD
BD



题号
1
2








答案
D
BD








题号
1
2








答案
B
BCD