初中数学沪科版（2024）八年级上册（2024）15.4 等腰三角形优秀复习课件ppt

这是一份初中数学沪科版（2024）八年级上册（2024）15.4 等腰三角形优秀复习课件ppt，共37页。PPT课件主要包含了轴对称图形，轴对称，轴对称的性质，线段的中垂线，等腰边三角形，∴∠2∠DBC，∴APCP，第3题，第4题，第5题等内容，欢迎下载使用。
1.轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫作轴对称图形，这条直线叫作它的对称轴.2.轴对称：平面内两个图形在一条直线的两旁，如果沿这条直线折叠，这两个图形重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴.
一、轴对称图形与轴对称
3. 轴对称图形和轴对称的区别与联系
轴对称图形是指( )个具有特殊形状的图形，只对( ) 个图形而言
轴对称是指( )个全等图形的位置关系，必须涉及( )个图形
如果把轴对称图形沿对称轴 分成两部分，那么这两个图形 就关于这条直线成轴对称
如果把两个成轴对称的图形 看成一个整体，那么整个图形就是一个轴对称图形
① 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；② 反过来，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.
1. 线段中垂线的性质定理： 线段垂直平分线上的点和线段两端的距离相等.
2. 逆定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
1. 定理①： 等腰三角形的两个底角相等.（等边对等角）2.性质②： 等腰三角形的顶角的平分线垂直平分底边. （三线合一）. 推论： 等边三角形的三个角相等，每个内角都等于 60°.
3.等腰(边)三角形的判定及含 30° 角的直角三角形的性质：判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边).推论①：三个角都相等的三角形是等边三角形.推论②：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
1. 性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等.2. 判定定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
四、角平分线的性质与判定
例1 如图，△ABC 和△A′B′C′ 关于直线 MN 对称，△A″B″C″ 和△A′B′C′ 关于直线 EF 对称.(1) 画直线 EF;(2) 直线 MN 与 EF 相交于点 O，试探究∠BOB″ 与直线 MN，EF 所夹锐角 α 的数量关系.
【分析】连接△A′B′C′ 和△A″B″C″中的任意一对对应点，作所得线段的垂直平分线即为直线 EF，根据轴对称的性质可求角的数量关系.
考点一 轴对称图形与轴对称
解：（1）如图，连接 B′B″，作线段 B′B″ 的垂直平分线EF，则直线 EF 是△A′B′C′ 和△A″B″C″ 的对称轴；
（2）连接 B″O，B′O，BO.
因为 △ABC 和△A′B′C′ 关于直线 MN 对称，
所以∠BOM =∠B′OM.
因为△A″B″C″ 和△A′B′C′ 关于直线 EF 对称，
所以∠B′OE =∠B″OE.
所以∠BOB″ = 2(∠B′OM + ∠B′OE) = 2α.
例2 如图，AD 是 BC 的垂直平分线，点 C 在 AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB + BD 与 DE 有什么关系？
【分析】运用线段的垂直平分线的性质进行线段之间的转化即可.
解：∵ AD 是 BC 的垂直平分线， ∴ AB = AC，BD = CD.∵ 点 C 在 AE 的垂直平分线上，∴ AC = CE，∴AB = AC = CE.∴ AB + BD = DE.
考点二 线段的垂直平分线
例3 如图所示，在△ABC中，AB = AC，BD⊥AC 于 D.求证： ∠BAC = 2∠DBC.
【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，可作顶角∠BAC 的平分线，来获取角的数量关系.
考点三 等腰（等边）三角形的性质与判定
∵ AB = AC，∴ AE⊥BC.
∴∠2 +∠C = 90°.
∵ BD⊥AC，∴∠DBC +∠C = 90°.
∴∠BAC = 2∠DBC.
分析：由角平分线的性质易想到过点 P 向∠ABC 的两边作垂线段 PE、PF，构造角平分线模型.
例4 如图，∠1 =∠2，点 P 为 BN 上的一点，∠PCB + ∠BAP = 180°.求证：PA = PC.
考点四 角平分线的性质与判定
证明：过点 P 作 PE⊥BA，PF⊥BC，垂足分别为 E，F.
又∵∠1 =∠2，∴ PE = PF，∠PEA =∠PFC = 90°.
∵∠PCB + ∠BAP = 180°，∠BAP +∠EAP = 180°，
∴∠EAP = ∠PCB.
在△APE 和△CPF 中，
∴△APE≌△CPF (AAS).
两个概念概念1　轴对称图形1. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是(　　) A 　　 B　　 C　 　D
概念2　轴对称2.观察图①～④中的左右两个图形，它们是否成轴对称？如果是，请画出其对称轴.
【解】题图①②③中的左右两个图形成轴对称，题图④中的左右两个图形不成轴对称.题图①②③中成轴对称的两个图形的对称轴如图所示.
六个性质性质1　轴对称的性质3.如图，△ABC和△ADE关于直线l对称，连接BE，CD，CE，有下列结论：①l垂直平分CE；②∠BAE＝∠DAC；③△BCE≌△DEC；④直线BC，DE的交点一定在l上，其中正确的个数为　　.
性质4　等腰三角形的性质6.［2026西安期末］如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F分别是边AB，AC上的动点，将△ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点处，如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么∠B＝　　　 　.
性质5　等边三角形的性质7.如图，木工师傅从边长为90 cm的正三角形木板上锯出一个正六边形木板，那么正六边形木板的边长为　　　　.
①当0＜t≤6时，AE＝t cm，BE＝AB－AE＝(6－t) cm，当∠EDB＝90°时，如图①，∵∠ABC＝60°，∴∠DEB＝90°－∠ABC＝30°，∴BE＝2BD，即6－t＝2×2，解得t＝2，符合题设；
当∠DEB＝90°时，如图②，∵∠ABC＝60°，∴∠EDB＝90°－∠ABC＝30°，∴BD＝2BE，∴2＝2(6－t)，解得t＝5，符合题设；②当6＜t＜10时，BE＝t－AB＝(t－6)cm，
当∠EDB＝90°时，如图③，∵∠ABC＝60°，∴∠DEB＝90°－∠ABC＝30°，∴BE＝2BD，∴t－6＝2×2，解得t＝10，不符合题设，舍去；当∠DEB＝90°时，如图④，∵∠ABC＝60°，∴∠EDB＝30°，∴BD＝2BE，即2＝2(t－6)，解得t＝7，符合题设.综上所述，t的值为2或5或7.
四个判定判定1　线段垂直平分线的判定9.如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，EF交AD于点M.求证：AD垂直平分EF.
【证明】∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠FAD＝∠EAD，DE＝DF.∴点D在线段EF的垂直平分线上.
在△AFD和△AED中，∵∠AFD＝∠AED＝90°，∠FAD＝∠EAD，AD＝AD，∴△AFD≌△AED(AAS).∴AF＝AE.∴点A在线段EF的垂直平分线上.∴AD垂直平分EF.
判定2　角平分线的判定10.如图，在△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，BE，CD相交于点F，连接AF.求证：AF平分∠BAC.