初中小结复习练习题

这是一份初中小结复习练习题，文件包含2026秋新人教PEP版三年级英语上册Unit4Plantsaroundus单元测试卷docx、2026秋新人教版三年级英语上册Unit4Plantsaroundus单元测试卷mp3等2份试卷配套教学资源，其中试卷共6页， 欢迎下载使用。
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1. 理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边，对应角.
2. 掌握并能运用全等三角形的性质
知识精讲
知识点01 全等图形
知识点
全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。
【微点拨】
1）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。
2）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。
【知识拓展1】全等图形的辨别
例1．如图，有四张小画片，画的都是用七巧板拼成的人物图形，与另外三张与众不同的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分析题目信息，要得到与另外三张不同的卡片，即依据全等图形的概念及旋转变换进行判断．
【详解】解：可知将选项A中的图形顺时针旋转180°，即可与选项B中的图形重合，
将选项B中的图形顺时针旋转90°，即可得到选项D中的图形，
故A、B、D中的三个图形全等，
分析C中图片人物，结合四个图片可以看出C选项中图形与其他三个不同．故选：C．
【点睛】本题考查了图形全等及变换，常见的图形变换包括平移、旋转、对称等几种情况，掌握图形全等的概念是解本题的关键．
【即学即练】
1．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据全等图形的定义“能完全重合的两个图形，是全等图形”，逐一判断选项，即可．
【详解】A．两个图形能完全重合，是全等图形，符合题意；
B．两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
C．两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
D．两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意．故选：A．
【点睛】本题主要考查全等图形的定义，掌握全等图形的定义是解题的关键．
2．下列各组图形中，属全等图形的是（ ）
A．周长相等的两个等腰三角形B．面积相等的两个长方形
C．面积相等的两个直角三角形D．周长相等的两个圆
【答案】D
【分析】根据全等图形的性质分别判断得出即可．
【详解】解：A、两个周长相等的等腰三角形，不一定全等，故此选项错误；
B、两个面积相等的长方形，不一定全等，故此选项错误；
C、两个面积相等的直角三角形，不一定全等，故此选项错误；
D、两个周长相等的圆，半径一定相等，故两圆一定全等，故此选项正确．故选：D．
【点睛】此题主要考查全等图形的判定，根据定义能够完全重合的两个图形叫做全等形得出是解题关键．
【知识拓展2】全等图形相关问题
例2．下列说法不正确的是（ ）
A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同
B．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关
C．全等图形的面积相等，面积相等的两个图形是全等图形
D．全等图形的周长相等，面积相等
【答案】C
【分析】直接利用全等图形的定义与性质分别分析得出答案．
【详解】解：A、如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同，正确，不合题意；
B、图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关，正确，不合题意；
C、全等图形的面积相等，但是面积相等的两个图形不一定是全等图形，故此选项错误，符合题意；
D、全等图形的周长相等，面积相等，正确，不合题意；故选：C．
【点睛】此题主要考查了全等图形的定义与性质，正确掌握全等图形的性质是解题关键．
【即学即练】
2.下列说法：①两个形状相同的图形称为全等图形；②边、角分别对应相等的两个多边形全等；③全等图形的形状、大小都相同；④面积相等的两个三角形全等．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③D．②③
【答案】D
【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形进行分析即可．
【详解】①两个形状相同的图形称为全等图形，说法错误；
②边、角分别对应相等的两个多边形全等，说法正确；
③全等图形的形状、大小都相同，说法正确；
④面积相等的两个三角形是全等图形，说法错误，故答案为：D．
【点睛】此题主要考查了全等形，关键是掌握全等形的形状和大小完全相同．
知识点02 全等三角形
知识点
全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
【微点拨】
（1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。
（2）图形位置确定法：①公共边一定是对应边；②公共角一定是对应角；③对顶角一定是对应角;
（3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。
【知识拓展1】全等三角形的定义
例1．下列说法中正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形B．全等三角形是指大小相同的两个三角形
C．全等三角形是指周长相等的两个三角形D．全等三角形的形状、大小完全相同
【答案】D
【分析】根据全等三角形的概念，即能够完全重合的两个三角形，进行判断即可．
【详解】能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形，故全等三角形的形状和大小完全相同．
A.全等三角形是指形状相同的两个三角形，错误；
B.全等三角形是指大小相同的两个三角形，错误；
C.周长相等的两个三角形不一定能完全重合，故错误；
D.全等三角形一定能完全重合，则形状和大小完全相同，故正确．故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的概念，明确全等三角形的概念是解题的关键．
【即学即练1】
1．如图是小明用七巧板拼成的一个机器人，其中全等三角形有（ ）
A．1 对B．2 对C．3 对D．4 对
【答案】B
【详解】分析：.首先观察图形，尝试找出图中所有的三角形，根据全等三角形的定义得出答案.
详解：如图：
对图中的三角形进行标注,①②是全等三角形;④⑤是全等三角形,故共有2对全等三角形.
点睛：此题考查了全等三角形的定义及有关概念和性质.(1)全等三角形是能够完全重合的两个三角形或形状相同、大小相等的两个三角形.(形状相同但不能完全重合的两个三角形不是全等三角形)(2)全等三角形对应元素及性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等.(3)将两个全等三角形中的一个三角形平移、翻折、旋转可得到另一个三角形.此题就是根据全等三角形的定义得出答案的.
【知识拓展2】全等三角形的对应顶点、边、角
例2．如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′．
说理过程如下：
把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于 ＝ ，所以可以使点B与点B′重合．又因为 ＝ ，所以射线 能落在射线 上，这时因为 ＝ ，所以点 与 重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．
【答案】AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'
【分析】直接利用已知结合全等的定义得出答案．
【详解】解：把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于AB＝A'B'，所以可以使点B与点B′重合．又因为∠A＝∠A′，所以射线AC能落在射线A'C'上，这时因为AC＝A'C'，所以点C 与C'重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．
故答案为：AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是仔细读题，理解填空．
【即学即练2】
2．△ABC中，∠B＝∠C，若与△ABC全等的三角形中有一个角是92°，则这个角在△ABC中的对应角是（ ）
A．∠AB．∠A或∠BC．∠CD．∠B或∠C
【答案】A
【分析】根据三角形内角和定理可知，三角形中只能有一个钝角，因为∠B＝∠C，所以钝角一定是∠A．
【详解】解：∵在△ABC中，∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B和∠C必须都是锐角，
∴若与△ABC全等的一个三角形中有一个角为92°，那么92°的角在△ABC中的对应角一定是∠A，
故选：A．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，全等三角形的性质，灵活运算三角形内角和等于180°是解题的关键．
3.如图，△ABD≌△CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是（ ）
A．DBB．BCC．CDD．AD
【答案】C
【分析】首先根据平行线的性质得出∠CDB＝∠ABD，得出对应边BC和DA，而BD和BD是对应边，故而得出AB的对应边为CD．
【详解】∵AB∥CD，
∴∠CDB＝∠ABD，
∴这两个角为对应角，对应角所对的边为对应边，
∴BC和DA为对应边，
∴AB的对应边为CD．故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和平行线的性质，解题关键是掌握全等三角形的性质．
知识点03 全等三角形的性质
知识点
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。
全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。
【知识拓展1】全等三角形的性质（概念类）
例1．下列命题中：①形状相同的两个三角形是全等形；②在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；③全等三角形的对应边相等；④全等三角形对应边上的高相等．其中真命题有（ ）个．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据全等三角形的概念：能够完全重合的图形是全等图形，及全等图形性质：全等图形的对应边、对应角分别相等，分别对每一项进行分析即可得出正确的命题个数．
【详解】形状相同、大小相等的两个三角形是全等形，故①错误；
在两个全等三角形中，对应角相等，对应边相等，而非相等的角是对应角，相等的边是对应边，故②错误；全等三角形的对应边相等，故③正确；
全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，故④正确．
正确的有③④，共计2个 故选B
【点睛】本题考查了命题，全等三角形的概念，理解概念是解题的关键．
【即学即练1】
1．有下面的说法：①全等三角形的形状相同；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等．其中正确的说法有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】先分别验证①②③④的正确性，并数出正确的个数，即可得到答案.
【详解】①全等三角形的形状相同，根据图形全等的定义，正确；
②全等三角形的对应边相等，根据全等三角形的性质，正确；
③全等三角形的对应角相等，根据全等三角形的性质，正确；
④全等三角形的周长、面积分别相等，正确；
故四个命题都正确，故D为答案.
【点睛】本题主要考查了全等的定义、全等三角形图形的性质，即全等三角形对应边相等、对应角相等、面积周长均相等.
【知识拓展2】全等三角形的性质（计算类）
例2．如图，已知△ABC△BDE，，则∠ABE的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【答案】A
【分析】根据三角形的内角和及全等三角形的对应角相等即可解答．
【详解】解：，，∴∠A=180°-70°-70°=40°，
∵△ABC△BDE，∴∠DBE=∠A=40°，
∴∠ABE=∠ABC-∠DBE=70°-40°=30°，故选：A．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质以及三角形的内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
【即学即练2】
2．如图，点B、D、E、C在同一直线上，△ABD≌△ACE，∠AEC＝100°，则∠DAE＝（ ）
A．10°B．20°C．30°D．80°
【答案】B
【分析】由全等三角形的性质，得到，然后得到，利用三角形的内角和定理，即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行解题．
3．如图，已知≌，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质，可得，，即可求解．
【详解】解：≌，，，
，，
，故选：C．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解题的关键．
【知识拓展3】全等三角形的性质（证明类）
例3．如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．
(1)求证：BC＝DE＋CE；(2)当△ABC满足什么条件时，？
【答案】(1)见解析(2)当∠ACB为直角时，
【分析】(1)根据全等三角形的性质得出AE=BC，AC=DE，据此即可证得；
(2)根据平行线的性质得出∠BCE=∠E，根据全等三角形的性质得出∠ACB=∠E，求出∠ACB=∠BCE，再求出答案即可．
（1）证明：∵△ABC≌△DAE，
∴AE＝BC，AC＝DE，
又∵AE＝AC+CE，
∴BC＝DE+CE；
（2）解：∵，
∴∠BCE＝∠E，
又∵△ABC≌△DAE，
∴∠ACB＝∠E，
∴∠ACB＝∠BCE，
又∵∠ACB+∠BCE＝180°，
∴∠ACB＝90°，
即当△ABC满足∠ACB为直角时，．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和平行线的性质，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
【即学即练3】
3．如图，△ABD≌△EBC，AB＝12，BC＝5，A，B，C三点共线，则下列结论中：①CD⊥AE；②AD⊥CE；③∠EAD＝∠ECD；正确的是____.
【答案】①②③
【分析】首先延长AD交EC于点N，延长CD交AE于点M，根据全等三角形的性质，得出∠ABD＝∠EBC，AB＝EB，BD＝BC，∠DAB＝∠CEB，再根据等边对等角，得出∠BAE＝∠BEA，∠BDC＝∠BCD， 又因为∠ABD+∠EBC＝180°，进而得出∠ABD＝∠EBC＝90°，再利用三角形的内角和等于，得出∠BAE＝∠BEA＝45°，∠BDC＝∠BCD＝45°，即可证明①正确；再根据直角三角形两锐角互余，得出∠CEB+∠ECB＝90°，再根据全等三角形的性质，得出∠BAD＝∠BEC，进而得出∠BAD+∠ECB＝90°，即可证明②正确；再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得出∠ADB＝∠EAD+∠AED＝∠EAD+45°，再根据∠ECB＝∠ECD+∠BCD＝∠ECD+45°，又因为∠ADB＝∠ECB，得出∠EAD＝∠ECD，即可证明③正确．
【详解】解：延长AD交EC于点N，延长CD交AE于点M，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠ABD＝∠EBC，AB＝EB，BD＝BC，∠DAB＝∠CEB，
∵∠ABD+∠EBC＝180°，∠BAE＝∠BEA，∠BDC＝∠BCD，
∴∠ABD＝∠EBC＝90°，
∴∠BAE＝∠BEA＝45°，∠BDC＝∠BCD＝45°，
∴∠BAE+∠BCD＝90°，
∴∠AMC＝90°，
∴CD⊥AE，故①正确；
∵∠CEB+∠ECB＝90°，∠BAD＝∠BEC，
∴∠BAD+∠ECB＝90°，
∴∠ANC＝90°，
∴AD⊥CE，故②正确；
∵∠ADB＝∠EAD+∠AED＝∠EAD+45°，
∠ECB＝∠ECD+∠BCD＝∠ECD+45°，
∠ADB＝∠ECB，
∴∠EAD＝∠ECD，故③正确；
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质、等边对等角、三角形的内角和定理、直角三角形两锐角互余、三角形的外角定理等知识点，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理．
4．如图，点A，O，B在同一直线上，且．证明：
(1)点C，O，D在同一直线上；(2)．
【答案】(1)见解析；(2)见解析．
【分析】（1）由全等三角形的性质可知∠AOC＝∠BOD，由题意可知∠AOD+∠DOB＝180°，故此可求得∠AOD+∠AOC＝180°，从而可证明点C，O，D在同一直线上；
（2）由全等三角形的性质可知∠A＝∠B，由平行线的判定定理可证明AC∥BD．
(1)证明：∵≌，
∴．
∵点，，在同一直线上，
∵∠AOD+∠DOB＝180°，
∴∠AOD+∠AOC＝180°，，
∴点，，在同一直线上；
(2)证明：∵≌，
∴∠A＝∠B，
∴
【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质、平行线的判定，掌握全等三角形的性质、平行线的判定定理是解题的关键．
14.2：全等三角形的判定
知识点01三角形全等的判定（SSS）
知识点
文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等.
图形：
符号：在与中，
【知识拓展1】边边边判定三角形全等的条件
例1．如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（ ）
A．①或②B．②或③C．①或③D．①或④
【答案】A
【分析】根据全等三角形的SSS判定条件解答即可．
【详解】解：∵AE=FB，∴AE+BE=FB+BE，∴AB=FE，
在△ABC和△FED中，，∴△ABC≌△FED（SSS），
∵AE=BE和BF=BE推不出AB=FE，∴可利用的是①或②，故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．
【即学即练】
1．如图，AB＝AC，DB＝DC则直接由“SSS”可以判定（ ）
A．△ABD≌△ACD B．△ABE≌△ACEC．△EBD≌△ECD D．以上答案都不对
【分析】本题已知AB＝AC，DB＝DC，AD是公共边，具备了三组边对应相等，所以即可判定△ABD≌△ACD．
【解答】解：在△ABD与△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS）．故选：A．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．
【知识拓展2】利用“SSS”尺规作图
例2．在学习了利用尺规作一个角的平分线后，爱钻研的小燕子发现，只用一把刻度尺也可以作出一个角的平分线．她是这样作的（如图）．
（1）分别在∠AOB的两边OA，OB上各取一点C，D，使得OC＝OD；
（2）连接CD，并量出CD的长度，取CD的中点E；
（3）过O，E两点作射线．则OE就是∠AOB的平分线．请你说出小燕子这样作的理由．
【分析】求证OE是∠AOB的平分线，实际是求证∠COE＝∠DOE，就是证明这两个角所在的三角形全等．
【解答】解：在△OCE与△ODE中，∴△OCE≌△ODE（SSS）；
∴∠COE＝∠DOE（全等三角形的对应角相等）；
∴OE就是∠AOB的平分线．故小燕子这样作是正确的．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，求证在不同三角形的两个角相等，通常是利用全等来进行证明．
【即学即练】
2.如图所示，尺规作图作∠AOB的平分线，方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于12CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法得到△OCP≌△ODP的根据是 ．
【分析】根据同圆或等圆的半径相等得两三角形的对应边相等，再根据SSS定理证明△OCP≌△ODP．
【解答】解：∵OC＝OD，PC＝PD（同圆或等圆的半径相等），OP＝OP（公共边），
∴△OCP≌△ODP（SSS）．故填SSS．
【点评】本题考查了三角形全等的判定方法；题目说明了利用尺规作图方法作角平分线时要满足三角形全等的方法SSS．
知识点02 利用SSS判定三角形全等（应用）
【微点拨】
一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
【知识拓展1】利用边边边判定三角形全等（实际应用）
例1．莆仙戏是现存最古老的地方戏剧种之一，被称为“宋元南戏的活化石”，2021年5月莆仙戏《踏伞行》获评为“2020年度国家舞台艺术精品创作扶持工程重点扶持剧目”．该剧中“油纸伞”无疑是最重要的道具，依伞设戏，情节新颖，结构巧妙，谱写了一曲美轮美奂、诗意盎然的传统戏曲乐歌．“油纸伞”的制作工艺十分巧妙．如图，伞圈D沿着伞柄滑动时，总有伞骨，，从而使得伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的．为什么？
【答案】见解析
【分析】利用SSS证明，即可得到，由此证得结论．
【详解】证明：∵在和中，
，∴，∴，即AP平分．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
【即学即练1】
1．如图，两根长12m的绳子，一端系在旗杆上的同一位置，另一端分别固定在地面上的两个木桩上（绳结处的误差忽略不计），现只有一把卷尺，如何来检验旗杆是否垂直于地面？请说明理由．
【分析】用卷尺测量出BD＝CD，然后利用“SSS”证明△ABD和△ACD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB＝∠ADC，再求出∠ADB＝∠ADC＝90°，即可进行判定．
【解答】解：用卷尺测量出BD、CD，看它们是否相等，若BD＝CD，则AD⊥BC．
理由如下：∵在△ABD和△ACD中，
AB=ACBD=CDAD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠ADB＝∠ADC，
又∵∠ADB+∠ADC＝180°，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，即AD⊥BC．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，比较简单，关键在于利用全等三角形对应角相等判断∠ADB＝∠ADC＝90°．
【知识拓展2】利用SSS判定三角形全等（个数问题）
例2．在正方形方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形，如图是5×7的正方形方格纸，以点D，E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（ ）
A．2个B．4个C．6个D．8个
【分析】根据图形可知BC＝DE，再根据全等三角形的判定定理得出答案即可．
【解答】解：
与△ABC全等的三角形有△DEF，△DEQ，△DER，△DEW，共4个三角形，故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
【即学即练2】
2．如图，方格中△ABC的三个顶点分别在正方形的顶点（格点上），这样的三角形叫格点三角形，图中可以画出与△ABC全等的格点三角形共有（ ）个．（不含△ABC）
A．28B．29C．30D．31
【分析】当点B在下面时，根据平移，对称，可得与△ABC全等的三角形有8个，包括△ABC，当点B在其它3条边上时，有3×8＝24（个）三角形与△ABC全等，由此即可判断．
【解答】解：当点B在下面时，根据平移，对称，可得与△ABC全等的三角形有8个，包括△ABC，
当点B在其它3条边上时，有3×8＝24（个）三角形与△ABC全等，
∴一共有：8+24﹣1＝31（个）三角形与△ABC全等，故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定，平移，对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
知识点03 利用SSS判定三角形全等（计算与证明）
【知识拓展1】利用SSS证明三角形全等（计算类）
例1．如图，在中，点，点分别在边，边上，连接，，．(1)求证：．(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析 (2)45°
【分析】（1）证明△ADE≌△ACE（SSS），由全等三角形的性质得出∠ADE=∠C；
（2）由等腰三角形的性质得出∠BDE=∠BED=75°，求出∠C的度数，则可求出答案．
【解析】 (1)证明：连接．
在△ADE和△ACE中，，∴△ADE≌△ACE（SSS），∴∠ADE=∠C；
(2)∵BD=BE，∠B=30°，∴∠BDE=∠BED=×（180°-30°）=75°，∴∠ADE=105°，
∵∠ADE=∠C，∴∠C=105°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-105°=45°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，证明△ADE≌△ACE是解题的关键．
【即学即练1】
1．如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AC＝EF，AD＝BE，BC＝DF，BC与DF交于点O．（1）求证：△ABC≌△EDF．（2）若∠CBE＝125°，求∠BOD的度数．
【答案】（1）见解析；（2）70°
【分析】（1）由可求得，利用可证得：；
（2）由邻补角可求得，结合（1）可求，利用三角形的内角和可求解．
【详解】（1）证明：，，即，
在与中，，；
（2）解：，，
，，．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，解题的关键是对全等三角形的判定条件的掌握与应用．
知识点01三角形全等的判定2：（SAS）
知识点
三角形全等的判定2：边角边（SAS）
文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等；
图形：
符号：在与中，
【微点拨】
“SAS”判定方法证明两个三角形全等及进行简单的应用．
1.证明线段相等或者角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.
2判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的．
【知识拓展1】边角边判定三角形全等的条件
例1．如图，AC与BD相交于点O，∠1＝∠2，若用“SAS”说明△ABC≌△BAD，则还需添加的一个条件是（ ）
A．AD＝BCB．∠C＝∠DC．AO＝BOD．AC＝BD
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定，已知∠1＝∠2，AB为公共边，所以可添加AC＝BD，根据SAS可证△ABC≌△BAD．
【详解】解：添加AC＝BD，理由如下：
在△ABC和△BAD中，，∴△ABC≌△BAD（SAS），故选：D．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【即学即练】
1．如图，在和中，，补充一个条件后，能直接应用“SAS”判定的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据直接应用“SAS”判定，已知了，补充即可．
【详解】解：∵，，
∴（SAS）故选B
【点睛】本题考查了SAS证明全等三角形，掌握全等三角形的判定是解题的关键．
【知识拓展2】利用SAS判定三角形全等（实际应用）
例2．如图，桌面上放置一个等腰直角△ABC，直角顶点C顶着桌面，若另外两个顶点与桌面的距离分别为和，过另外两个顶点向桌面作垂线，则两个垂足之间的距离DE的长度为______．
【答案】8
【分析】利用互余关系找两个三角形对应角相等，根据等腰直角三角形找对应边相等，两个对应直角相等，判断三角形全等，从而AD=CE，CD=BE，得到DE的长．
【详解】解：∵∠CDA=∠ACB=∠CEB=90°，
∴∠ACD +∠DAC=∠ACD+∠ECB=∠ECB+∠CBE=90°，
∴∠ACD =∠CBE，∠DAC=∠ECB，
在△ACD和△CBE中，∴△ACD≌△CBE（ASA），
∴AD=CE，CD=BE，∴DE=DC+CE=BE+AD=3+5=8(cm)．故答案为：8．
【点睛】本题考查了全等三角形判定及性质的应用；通过三角形全等，对应线段相等，对线段长度进行转化．本题的关键是证明△ACD≌△CBE，利用全等三角形的性质进行等量代换求解．
【即学即练】
2.在学习“利用三角形全等测距离”之后，七一班数学实践活动中，张老师让同学们测量池塘A，B之间的距离（无法直接测量）
小颖设计的方案是：先过点A作的垂线，在上顺次截取，使，然后过点D作，连接并延长交于点E，则的长度即为的长度．(1)小颖的作法你同意吗？并说明理由；(2)如果利用全等三角形去解决这个问题，请你设计一个与小颖全等依据不同的方案，并画出图形．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）只需要利用ASA证明△ABC≌△DEC即可得到答案；
（2）过点A作射线AP，在线段AP上取两点C、D使得AC=DC，连接BC并延长到E使得EC=BC，连接DE，则DE的长即为AB的长．
（1）解：同意小颖的作法，理由如下：
∵DN⊥AD，AB⊥AM，∴∠CDE=∠CAB=90°，
又∵∠ACB=∠DCE，AC=DC，∴△ABC≌△DEC（ASA），
∴DE=AB，∴同意小颖的作法；
（2）解：过点A作射线AP，在线段AP上取两点C、D使得AC=DC，连接BC并延长到E使得EC=BC，连接DE，则DE的长即为AB的长；
∵EC=BC，AC=DC，∠ACB=∠DCE，
∴△ACB≌△DCE（SAS），∴AB=DE；
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定是解题的关键．
【知识拓展3】利用SAS证明三角形全等（求线段的长度）
例3．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为（ ）
A．8B．7C．6D．5
【分析】利用已知条件证明△ADE≌△ADC（SAS），得到ED＝CD，从而BC＝BD+CD＝DE+BD＝5，即可求得△BDE的周长．
【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD＝∠CAD
在△ADE和△ADC中，AE=AC∠EAD=∠CADAD=AD，∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴ED＝CD，∴BC＝BD+CD＝DE+BD＝5，∴△BDE的周长＝BE+BD+ED＝（6﹣4）+5＝7．故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是证明△ADE≌△ADC．
【即学即练3】
3．已知：如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE．BC＝EF；(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)若点E为BC中点，EC＝6，求线段BF的长度．
【答案】(1)证明见解析(2)18
【分析】（1）由AB∥DE得∠B=∠DEF，已知条件中还有AB=DE，BC=EF，可以根据“SAS”判定△ABC≌△DEF；
（2）若点E为BC中点，则EB=EC=6，所以BC=EF=12，由BF=EB+EF可以求出BF的长．
（1）证明：如图，∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）．
（2）解：∵点E为BC中点，EC=6，∴EB=EC=6，∴BC=EB+EC=6+6=12，∴BC=EF=12，∴BF=EB+EF=6+12=18，∴线段BF的长度为18．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，找到并根据已知条件证明△ABC和△DEF全等所缺少的条件是解题的关键．
【知识拓展4】利用SAS证明三角形全等（求角的度数）
例4．如图，已知三个内角的角平分线相交于点，点在的延长线上，且，连接，若，则的度数为______．
【答案】
【分析】由角平分线的性质和三角形内角和定理可求，由“”可证≌，可得．
【详解】解：三个内角的角平分线相交于点，
平分平分，
，
，，
，，
在和中，
，≌，
，故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
【即学即练4】
4．如图，点B、C、E、F在同一直线上，点A、D在BC的异侧，AB＝CD，BF＝CE，∠B＝∠C．
(1)△ABE和△DCF全等吗？请说明理由；(2)若∠A+∠D＝144°，∠C＝30°，求∠CFD的度数．
【答案】(1)见解析；(2)102°．
【分析】（1）由BF=CE，得BE=CF，再利用SAS证明△ABE≌△DCF；
（2）由（1）知，∠A=∠D，∠AEB=∠DFC，可知∠D=72°，再利用三角形外角的性质∠DFB=∠C+∠D=102°，从而得出答案．
（1）证明：∵BF=CE，∴BE=CF，在△ABE与△DCF中∴△ABE≌△DCF（SAS），
（2）解：由（1）知，△ABE≌△DCF，∴∠AEB=∠DFC，∠A=∠D，∴∠AEC=∠DFB，∵∠A+∠D=144°，∴∠D=72°，又∵∠C=30°，∴∠DFB=∠C+∠D=102°，∴∠AEC=102°．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和是解题的根据．
【知识拓展5】利用SAS证明三角形全等（证明类）
例5．如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB．求证：(1)AP＝AQ；(2)AP⊥AQ．
【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析
【分析】（1）由于BD⊥AC，CE⊥AB，可得∠ABD＝∠ACE，又有对应边的关系，进而得出△ABP≌△QCA，即可得出结论．
（2）在（1）的基础上，证明∠PAQ＝90°即可．
(1)证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB（已知），∴∠BEC＝∠BDC＝90°，
∴∠ABD+∠BAC＝90°，∠ACE+∠BAC＝90°（直角三角形两个锐角互余），
∴∠ABD＝∠ACE（等角的余角相等），
在△ABP和△QCA中，
，∴△ABP≌△QCA（SAS），
∴AP＝AQ（全等三角形对应边相等）．
(2)由（1）可得∠CAQ＝∠P（全等三角形对应角相等），
∵BD⊥AC（已知），
∵∠P+∠CAP＝90°（直角三角形两锐角互余），
∴∠CAQ+∠CAP＝90°（等量代换），即∠QAP＝90°，
∴AP⊥AQ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握并运用．
【即学即练5】
5．如图，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，过B点作BD⊥AC于D，E在CD上，且DE＝AB，过点D作DF∥BC，使得DF＝BD，连接EF．
求证：（1）∠ABD＝∠C；（2）DF⊥EF．
【分析】（1）由直角三角形的性质可得出答案；
（2）证明△ABD≌△EDF（SAS），由全等三角形的性质得出∠ADB＝∠DFE＝90°，则可得出结论．
【解答】证明：（1）∵∠ABC＝90°，∴∠A+∠C＝90°，
∵BD⊥AC，∴∠BDA＝90°，∵∠ABD+∠A＝90°，∴∠ABD＝∠C；
（2）∵DF∥BC，∴∠FDE＝∠C，∵∠ABD＝∠C，∴∠ABD＝∠FDE，
在△ABD和△EDF中，AB=DE∠ABD=∠FDEBD=DF，∴△ABD≌△EDF（SAS），
∴∠ADB＝∠DFE＝90°，∴DF⊥EF．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
知识点01三角形全等的判定3：（ASA）
知识点
三角形全等的判定3：角边角（ASA）
文字：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等；
图形：

符号：在与中，
【微点拨】
1.方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．
2.全等三角形对应边上的高也相等.
【知识拓展1】角边角判定三角形全等的条件
例1．如图，已知AB＝AD，∠1＝∠2，要根据“ASA”使△ABC≌△ADE，还需添加的条件是 ．
【分析】利用ASA定理添加条件即可．
【解答】解：还需添加的条件是∠B＝∠D，
∵∠1＝∠2，∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中∠BAC=∠DAEAB=AD∠B=∠D，∴△ABC≌△ADE（ASA），故答案为：∠B＝∠D．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
【即学即练】
1. 如图，点B，F，C，E在同一直线上，AC＝DF，∠1＝∠2，如果根据“ASA”判断△ABC≌△DEF，那么需要补充的条件是（ ）
A．AB＝DEB．∠A＝∠DC．BF＝CED．∠B＝∠D
【分析】利用全等三角形的判定方法，“ASA”即角边角对应相等，只需找出一对对应角相等即可，进而得出答案．
【解答】解：需要补充的条件是∠A＝∠D，
在△ABC和△DEF中，∠A=∠DAC=DF∠2=∠1，∴△ABC≌△DEF（ASA）．故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
【知识拓展2】利用ASA判定三角形全等（实际应用）
例2．如图，抗日战争期间，为了炸毁敌人的碉堡，需要测出我军阵地与敌人碉堡的距离．我军战士想到一个办法，他先面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点上；最后，他用步测的办法量出自己与点的距离，从而推算出我军阵地与敌人碉堡的距离，这里判定的理由可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】解：∵士兵的视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点B，然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点E上，∴∠A=∠D，
∵，，∴∠ACB=∠DFE=90°，
∵AC=DF，∴判定△ABC≌△DFE的理由是ASA，故C正确．故选：C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的应用，分析题意找到相等的角和边判定三角形的全等是解题的关键．
【即学即练】
2.小淇同学沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD．垂足为D，已知AB＝25米，请根据上述信息求标语CD的长度．
【答案】25m
【分析】利用平行线的性质和题意证明△ABO≌△CDO，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论．
【详解】解：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO．
∵OD⊥CD，∴∠CDO＝90°．
∴∠ABO＝90°．即OB⊥AB．
∵相邻两平行线间的距离相等，∴OB＝OD．
在△ABO和△CDO中，，
∴△ABO≌△CDO（ASA）．∴CD＝AB＝25（m）．
答：标语CD的长度为25m．
【点睛】本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定和性质，灵活选用判定三角形全等的方法是解题的关键．
3．如图，小明把一块三角形的玻璃片打碎成三块，现要到玻璃店去配一块完全相同的玻璃片，那么最省事的办法是带_________去．
【答案】③
【分析】根据全等三角形的判定可即可求解．
【详解】解：第①块和第②块都没有保留完整的边，而全等三角形的判定定理中，至少存在一条边，第③块保留了一边边和两个角，则利用ASA判定定理可得到一个全等三角形，进而可带③去，
故答案为：③．
【点睛】本题考查了全等三角形的条件，解题的关键是需要注意的是只靠一个角或两条边不能等得到全等．
【知识拓展3】利用ASA证明三角形全等（求线段的长度）
例3．如图，中，于，于，与交于点，，，则的长为（ ）
A．2B．5C．4D．7
【答案】A
【分析】先证△ADC≌△BDE(ASA)，再由全等三角形的对应边相等得DE=DC=3，再根据AE=AD-DE即可求解．
【详解】解：∵，∴∠ADC=∠BDE =90°，∠AFE =90°，
又∵∠AEF=∠BED，∴∠CAD=∠EBD
在△ADC与△BDE中∴△ADC≌△BDE(ASA)，
∴DE=DC=3，∴AE=AD-DE=5-3=2．故答案为：2．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题关键是理清题意进行合理推理．
【即学即练1】
3．如图，在中，过点A作的平分线的垂线交内部于点P，交边于点D，连结，若，的面积分别为4、2，则的面积是（ ）
A．24B．12C．8D．6
【答案】B
【分析】根据ASA可证，由全等的性质可得，，即P是中点，由等底同高可得，，，从而计算，故得出答案．
【详解】由题可得：，，，
在与中，，，，
，，
．故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，求等底同高的面积，掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
【知识拓展4】利用ASA证明三角形全等（求角的度数）
例4．如图，已知，，点D在AC边上，，AE和BD相交于点O．
(1)求证：；(2)若，，求∠ADB的度数．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】（1）根据全等三角形的判定即可判断；
（2）根据，，求出，根据，即可求出．
(1)解：证明：和相交于点，．
在和中，，．
又，，．
在和中，，；
(2)解：，，，
，．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定．
【即学即练4】
4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上，连接AE，AF，∠BAF＝∠CAE，延长AF至点D，使AD＝AC，连接CD．（1）求证：△ABE≌△ACF；（2）若∠ACF＝30°，∠AEB＝130°，求∠ADC的度数．
【分析】（1）要证明△ABE≌△ACF，由题意可得AB＝AC，∠B＝∠ACF，∠AEF＝∠AFE，从而可以证明结论成立；（2）根据（1）中的结论和等腰三角形的性质可以求得∠ADC的度数．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACF，
∵∠BAF＝∠CAE，∴∠BAF﹣∠EAF＝∠CAE﹣∠EAF，∴∠BAE＝∠CAF，
在△ABE和△ACF中，∠B=∠ACFAB=AC∠BAE=∠CAF，∴△ABE≌△ACF（ASA）；
（2）解：∵∠B＝∠ACF＝30°，∠AEB＝130°，∴∠BAE＝180°﹣130°﹣30°＝20°，
∵△ABE≌△ACF，∴∠CAF＝∠BAE＝20°，
∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠ADC=180°−20°2=80°．
答：∠ADC的度数为80°．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
【知识拓展5】利用ASA证明三角形全等（证明类）
例5．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD、CE相交于点G，BD＝DC，DF∥BC交AB于点F，连接FG．求证：（1）△DAB≌△DGC；（2）CG＝FB+FG．
【分析】（1）由“ASA”可证△DAB≌△DGC；（2）由全等三角形的性质可得AB＝CG，DA＝DG，由“SAS”可证△DFA≌△DFG，可得FA＝FG，可得结论．
【解答】证明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ABD+∠A＝90°，∠ACE+∠A＝90°，∴∠ABD＝∠ACE，
在△DAB和△DGC中，∠ABD=∠ACEBD=CD∠ADB=∠BDC=90°，∴△DAB≌△DGC（ASA）；
（2）∵△DAB≌△DGC，∴AB＝CG，DA＝DG，
∵BD＝CD．∠BDC＝90°，∴∠DBC＝∠DCB＝45°，
∵DF∥BC，∴∠FDA＝∠FDG＝45°，
在△DFA和△DFG中，AD=DG∠FDA=∠FDGDF=DF，∴△DFA≌△DFG（SAS），
∴FA＝FG．∴CG＝AB＝FB+FA＝FB+FG．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，找到正确的全等三角形是本题的关键．
【即学即练5】
5. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的任意点，D为线段BE的中点，AB＝AE，EF⊥AE，AF∥BC．（1）求证：∠DAE＝∠C；（2）求证：AF＝BC．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，由余角的性质可得∠C＝∠BAD，再证明∠BAD＝∠DAE即可解决问题．（2）由“ASA”可证△ABC≌△EAF，可得AC＝EF．
【解答】证明：（1）∵AB＝AE，D为线段BE的中点，
∴AD⊥BC，（三线合一没有学习到，可以用全等证明）∴∠C+∠DAC＝90°，
∵∠BAC＝90°∴∠BAD+∠DAC＝90°∴∠C＝∠BAD，
∵AB＝AE，AD⊥BE，∴∠BAD＝∠DAE，∴∠DAE＝∠C
（2）∵AF∥BC∴∠FAE＝∠AEB ∵AB＝AE∴∠B＝∠AEB
∴∠B＝∠FAE，且∠AEF＝∠BAC＝90°，AB＝AE
∴△ABC≌△EAF（ASA）∴AC＝EF
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
知识点01三角形全等的判定4：（AAS）
知识点
三角形全等的判定4：角角边（AAS）
文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等；
图形：
符号：在与中，
【微点拨】
1.方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．
2.全等三角形对应边上的高也相等.
【知识拓展1】角角边判定三角形全等的条件
例1．如图，点A，B，C，D在同一直线上，∠AEC＝∠DFB，AB＝DC，请补充一个条件： ，能使用“AAS”的方法得△ACE≌△DBF．
【分析】根据全等三角形的判定定理添加条件，答案不唯一．
【解答】解：∵AB＝DC，∴AB+BC＝DC+BC，即AC＝DB．
在△ACE与△DBF中，∠AEC＝∠DFB、AC＝DB，所以添加∠A＝∠D可以使用“AAS”的方法得△ACE≌△DBF．故答案是：∠A＝∠D．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
【即学即练】
1．如图，已知∠ABC＝∠DCB，若添加条件 ，则可由AAS证明△ABC≌△DCB；若添加条件 ，则可由SAS证明△ABC≌△DCB；若添加条件 ，则可由ASA证明△ABC≌△DCB．
【分析】由于∠ABC＝∠DCB，再加上公共边，当利用“AAS”进行判断时可加∠A＝∠D；当利用“SAS”进行判断时可加AB＝DC；当利用“ASA”进行判断时可加∠ACB＝∠DBC．
【解答】解：当∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，
当AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合SAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，
当∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DCB；
故答案为：∠A＝∠D，AB＝DC，∠ACB＝∠DBC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
【知识拓展2】利用AAS判定三角形全等（实际应用）
例2．如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝1.5m．点A到地面的距离AE＝1.5m，当他从A处摆动到A′时，有A′B⊥AB．
（1）求A'到BD的距离；（2）求A'到地面的距离．
【分析】（1）作A'F⊥BD，垂足为F，根据全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）如图2，作A'F⊥BD，垂足为F．
∵AC⊥BD，∴∠ACB＝∠A'FB＝90°；
在Rt△A'FB中，∠1+∠3＝90°；
又∵A'B⊥AB，∴∠1+∠2＝90°，∴∠2＝∠3；
在△ACB和△BFA'中，∠ACB=∠A'FB∠2=∠3AB=A'B，
∴△ACB≌△BFA'（AAS）；∴A'F＝BC
∵AC∥DE且CD⊥AC，AE⊥DE，∴CD＝AE＝1.5；
∴BC＝BD﹣CD＝2.5﹣1.5＝1（m），∴A'F＝1（m），即A'到BD的距离是1m．
（2）由（1）知：△ACB≌△BFA'∴BF＝AC＝1.5m，
作A'H⊥DE，垂足为H．∵A'F∥DE，∴A'H＝FD，
∴A'H＝BD﹣BF＝2.5﹣1.5＝1（m），
【点评】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【即学即练】
2.如图，两车从路段MN的两端同时出发，以相同的速度行驶，相同时间后分别到达A，B两地，两车行进的路线平行．那么A，B两地到路段MN的距离相等吗？为什么？
【分析】要判断A，B两地到路段MN的距离是否相等，可以由条件证明△AEM≌△BFN，再根据全等三角形的性质就可以的得出结论．
【解答】解：A，B两地到路段MN的距离相等．
理由：∵AE⊥MN，BF⊥MN，∴∠AFN＝∠AEM＝90°．∵AM∥BN，∴∠M＝∠N．
在△AEM和△BFN中，∠AEM=∠BFN∠M=∠NAM=BN，
∴△AEM≌△BFN（AAS），∴AE＝BF．∴A，B两地到路段MN的距离相等．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，点到直线的距离的理解，在解答时弄清判断三角形全等的条件是关键．
【知识拓展3】利用AAS证明三角形全等（求线段的长度）
例3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=7cm，CE=5cm，则DE=________cm．
【答案】12
【分析】用AAS证明△ABD≌△CAE，得AD=CE，BD=AE，得到DE=BD+CE=7+5=12cm．
【详解】∵∠BAC＝90°，∠ADB＝∠AEC＝90°，
∴∠BAD+∠EAC＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠EAC＝∠ABD，
∵AB＝AC，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，
∴DE＝AD+AE＝CE+BD＝12cm．故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了三角形全等，解决问题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质．
【即学即练1】
3．如图，E是的边的中点，过点C作，过点E作直线交于D，交于F，若，则的长为__________．
【答案】2.5
【分析】根据平行线性质得出∠ADE=∠F，∠FCE=∠A，求出AE= EC，根据AAS证△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质推出即可．
【详解】证明：∵CF//AB，∴∠ADE=∠F，∠FCE=∠A，
∵点E为AC的中点，∴AE= EC，
在△ADE和∆CFE中，
∴△ADE≌∆CFE(AAS)，∴AD= CF= 6.5，
∵AB= 9，∴BD= AB- AD=9- 6.5= 2.5，故答案为： 2.5．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，注意：全等三角形的对应边相等，全等三角形的判定定理有SAS，ASA， AAS，SSS．
【知识拓展4】利用AAS证明三角形全等（求角的度数）
例4．如图，点D在边AC上，BC与DE交于点P，，，∠CDE＝∠ABD．(1)与全等吗？为什么？(2)已知，，求的度数．
【答案】(1)，见解析；(2)
【分析】（1）通过三角形内角和为，可以得到∠CDE＝∠CBE，通过找角的关系可以得到∠ABC＝∠DBE，又因为，即可证明．
（2）在（1）问的证明中我们可以证得∠ABD＝∠CBE=∠CDE，即可解题．
(1)．
理由：∵∠C＝∠E，∠CPD＝∠EPB，
∴，∴∠CDE＝∠CBE，
∵∠CDE＝∠ABD，∴∠CBE＝∠ABD，
∴∠CBE＋∠CBD＝∠ABD＋∠CBD，即∠ABC＝∠DBE，
又∵∠C＝∠E，AB＝DB，
∴．
(2)∵∠ABE＝157°，∠DBC＝27°，
∴，
∴∠CDE＝∠CBE＝65°．
【点睛】本题考查了全等三角形的证明，熟记对顶角相等，熟练掌握运用全等三角形的判定定理是解答本题的关键．
【即学即练2】
2．如图，在△ABC中，∠A＝62°，∠ABC＝90°，点D在AC上，连接BD，过点D作ED⊥BD，垂足为D，使DE＝BC，连接BE，若∠C＝∠E．（1）求证：AB＝BD；（2）若∠DBC＝34°，求∠BFE的度数．
【分析】（1）根据三角形内角和定理得出∠A＝∠DBE，再根据AAS证出△ABC≌△BDE，即可得出AB＝BD；（2）根据已知条件和△ABC≌△BDE，得出∠DBE＝62°，再根据∠DBC＝34°，求出∠FBE的度数，最后根据三角形内角和定理即可得出答案．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，∴∠A+∠C＝90°，
∵ED⊥BD，∴∠BDE＝90°，∵∠C＝∠E，∴∠A＝∠DBE，
在△ABC和△BDE中，∠A=∠DBE∠C=∠EDE=BC，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴AB＝BD；
（2）∵∠A＝62°，∠ABC＝90°，∴∠C＝∠E＝28°，
∵ED⊥BD，∴∠BDE＝90°，∴∠DBE＝62°，∵∠DBC＝34°，∴∠FBE＝28°，
∴∠BFE＝180°﹣∠E﹣∠FBE＝180°﹣28°﹣28°＝124°．
【点评】此题考查全等三角形的判定与性质以及三角形的内角和定理，关键是根据AAS证出△ABC≌△BDE．
【知识拓展5】利用AAS证明三角形全等（证明类）
例5．如图，BD是△ABC中AC边上的中线，过点C作CE∥AB，交BD的延长线于点E，F为△ABC外一点，连接CF、DF，且DE＝DF、∠ADF＝∠CDE．求证：
（1）△ABD≌△CED；（2）CA平分∠BCF．
【分析】（1）由平行线的性质得出∠ABD＝∠CED，∠BAD＝∠DCE，根据AAS可证明△ABD≌△CED；
（2）证明△BDC≌△FDC（SAS），由全等三角形的性质得出∠BCD＝∠FCD．
【解答】证明：（1）∵CE∥AB，∴∠ABD＝∠CED，∠BAD＝∠DCE，
∵BD是△ABC中AC边上的中线，∴AD＝CD，
在△ABD和△CED中，∠ABD=∠CED∠BAD=∠DCEAD=CD，∴△ABD≌△CED（AAS）；
（2）∵△ABD≌△CED，∴BD＝DE，又∵DE＝DF，∴BD＝DF，
∵∠ADF＝∠CDE，∠CDE＝∠ADB，∴∠ADB＝∠ADF，
∴180°﹣∠ADB＝180°﹣∠ADF，∴∠BDC＝∠FDC，
在△BDC和△FDC中，BD=DF∠BDC=∠FDCDC=DC，∴△BDC≌△FDC（SAS），∴∠BCD＝∠FCD，∴CA平分∠BCF．
【点评】本题考查了平行线的性质，角分线的判定，中线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【即学即练5】
5．如图，在中，，，平分，，垂足为点E，和的延长线交于点F．（1）求证：．（2）求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）首先根据同角的余角相等得到，然后根据AAS证明即可；（2）首先根据ASA证明，然后得到FE=AE，结合（1）问结论根据全等三角形的性质即可证明．
【详解】（1）∵∴∴
∵∴∴
在和中∴（AAS）
（2）∵∴
∵平分∴
在和中
∴（ASA）∴FE=AE∴
∵∴CD=AF∴
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是先证明两个三角形全等，然后利用全等的性质证明．
6．如图，AB∥CD，点E在CB的延长线上，∠A＝∠E，AC＝ED．
（1）求证：BC＝CD；（2）连接BD，求证：∠ABD＝∠EBD．
【分析】（1）由“AAS”可证△ABC≌△ECD，可得BC＝CD；
（2）由等腰三角形的性质可得∠CBD＝∠CDB，由平行线的性质和平角的性质可得结论．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCE，
在△ABC和△ECD中，∠A=∠E∠ABC=∠DCEAC=DE，∴△ABC≌△ECD（AAS），∴BC＝CD；
（2）如图，连接BD，
∵BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB＝180°，
又∵∠CBD+∠EBD＝180°，∴∠ABD＝∠EBD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
知识点01三角形全等的判定5（HL）
知识点
直角三角形全等的判定：HL
文字：在两个直角三角形中，如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：HL）
图形：
符号：在Rt与Rt中，
【微点拨】
证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
在直角三角形中，只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）
【知识拓展1】HL判定三角形全等的条件
例1．如图，在△ABC和△ABD中，∠C＝∠D＝90°，若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件 _____.
【答案】BD＝BC（或AD＝AC）
【分析】要利用HL判定△ABC≌△ABD，已知∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，具备了一组斜边、一组角相等，故添加BD＝BC或AD＝AC后可判定三角形全等．
【详解】解：∵∠C＝∠D，AB＝AB，
∴添加BD＝BC或AD＝AC后可利用HL判定△ABC≌△ABD
故答案为：BD＝BC（或AD＝AC）．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【即学即练】
1．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件_____．
【答案】AB＝AC
【分析】根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等即可解答．
【详解】解：还需添加条件AB＝AC，
∵AD⊥BC于D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）．故答案为：AB＝AC．
【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定，掌握斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等是解答本题的关键．
【知识拓展2】利用HL证明三角形全等（求线段的长度）
例2．如图，在中，，，为边上一点，于点．若，，则的长为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】D
【分析】作DF⊥AB于点F，由题意得到△ADB是等腰三角形，则∠ABD＝∠A＝40°，AB＝2AF＝2BF，再证明Rt△BDF≌Rt△BDE（HL），BF＝BE＝2，得到AB的长．
【详解】解：如图，作DF⊥AB于点F，
∵ AD＝BD∴△ADB是等腰三角形，∠ABD＝∠A＝40°∴AB＝2AF＝2BF
∵，，∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝80°，
∴ ∠DBE＝∠ABC－∠ABD＝40°∴∠DBE＝∠ABD
∵∴ ∠DE＝DF
∵BD＝BD∴Rt△BDF≌Rt△BDE（HL）
∴BF＝BE＝2∴AB＝2BF＝4故选：D
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质、直角三角形全等的判定方法等知识，难度不大，属于常考题型，关键是证明两直角三角形全等．
【即学即练】
2．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F．若CD＝3，则求CE的长．
【分析】证明△BDC≌△AEC得出：CD＝CE．
【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCD＝90°．
在Rt△BDC与Rt△AEC中，BC=ACBD=AE，∴Rt△BDC≌Rt△AEC（HL）．∴CD＝CE＝3；
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
3.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB上一点，且BE＝BC，过E作DE⊥AB交AC于D，如果AC＝5cm，则AD+DE等于（ ）
A．3 cmB．4 cmC．5 cmD．6 cm
【分析】根据HL证Rt△BED≌Rt△BCD，推出DE＝DC，得出AD+DE＝AD+DC＝AC，代入求出即可．
【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°＝∠C，
在Rt△BED和Rt△BCD中BD=BDBE=BC，∴Rt△BED≌Rt△BCD（HL），
∴DE＝DC，∴AD+DE＝AD+CD＝AC＝5cm，故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形全等的性质和判定，注意：全等三角形的对应边相等，判断直角三角形全等的方法有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
【知识拓展3】利用HL证明三角形全等（求角的度数）
例3．如图，ABC中，，，点E在BC上，点F为AB延长线上一点，且，，则（ ）
A．58°B．60°C．65°D．70°
【答案】D
【分析】先证明Rt△ABE≌Rt△CBF，可得∠BAE＝∠BCF＝25°，然后根据AB＝BC，∠ABC＝90°可得∠ACB的度数，即可求出∠ACF的度数．
【详解】解：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝90°，
在Rt△ABE与Rt△CBF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），∴∠BAE＝∠BCF＝25°，
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°，
∴∠ACF＝25°＋45°＝70°，故选：D．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，利用HL证明Rt△ABE≌Rt△CBF是解题的关键．
【即学即练3】
3．如图，在正方形ABCD中，等边△AEF的顶点E，F分别在边BC和CD上，则∠CEF＝_____°．
【答案】45
【分析】证明Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），进而证明是等腰直角三角形即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，
△AEF是等边三角形，，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF，
∵BC＝CD，∴CE＝CF，∵∠C＝90°，∴∠CEF＝45°，故答案为：45．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，证明Rt△ABE≌Rt△ADF是解题的关键．
4．如图，在Rt△ABC中，，，D为AB延长线上一点，点E在BC上，且．(1)求证：；(2)过点B作，且，求∠FBA度数．
【答案】(1)见解析(2)65°
【分析】（1）证明即可得证；
（2）根据等腰直角三角形的性质可得，进而可得，根据全等的性质可得，由，，即可求解．
（1）证明：，D为AB延长线上一点，
在Rt△ABE和Rt△CBD中， ，
∴；
（2）解：∵，，∴，
，∴ ，
由（1）知，∴ ，
，∴．
∵，∴
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，平行线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
【知识拓展4】利用HL证明三角形全等（证明类）
例4．如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2．
(1)求证：Rt△ADE≌Rt△BEC；
(2)△CDE是不是直角三角形？并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)△DEC为直角三角形，理由见解析
【分析】（1）根据HL证明Rt△ADE和Rt△BEC全等解答即可；
（2）根据全等三角形的性质及平角的定义解答即可．
（1）证明：∵∠1=∠2，
∴ED=CE，
∵∠A=∠B=90°，
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）；
（2）解：△CDE是直角三角形，理由如下：
证明：由（1）得Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴∠AED=∠BCE，
∵∠B=90°，
∴∠BCE+∠CEB=90°，
∴∠AED+∠CEB=90°，
∴∠DEC=180°-90°=90°，
∴△DEC为直角三角形．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，根据HL证明Rt△ADE≌Rt△BEC是解题的关键．
【即学即练4】
4．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF．则下列结论中：①AD是△ABC的高；②AD是△ABC的中线；③ED＝FD；④AB＝AE＋BF．其中正确的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】A
【分析】过点D作DG⊥AB于点G，由角平分线的定义及平行线的性质可得∠ADB=90°，然后可证△ADC≌△ADB，△DEC≌△DFB，进而问题可求解．
【详解】解：∵AD平分∠BAC，BC平分∠ABF，
∴，
∵BF∥AC，∴，
∴，即，
∴，即AD是△ABC的高，故①正确；
∵，AD=AD，
∴△ADC≌△ADB（ASA），
∴，即AD是△ABC的中线，故②正确；
∵BF∥AC，∴，
∵，∴△DEC≌△DFB（AAS），∴ED＝FD，故③正确；
过点D作DG⊥AB于点G，如图所示：
∵AD平分∠BAC，BC平分∠ABF，，∴，
∵AD=AD，∴（HL），
∴，同理可知，
∵，∴，故④正确；
综上所述：正确的个数有4个；故选A．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、平行线的性质及角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、平行线的性质及角平分线的性质是解题的关键．
5．如图，AC∥BD，∠C＝90°，AC＝BE，AB＝DE，求证：DE⊥AB．
【分析】先根据平行线的性质求出∠DBE＝∠C＝90°，再由HL定理可判定△ACB≌△EBD，由全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：设AB与DE相交于点M，
∵AC∥BD，∴∠C+∠DBE＝180°，∵∠C＝90°，∴∠DBE＝90°，
在Rt△ACB与Rt△EBD中，AC=BEAB=DE，
∴Rt△ACB≌Rt△EBD（HL），∴∠ABC＝∠D，
∵∠D+∠MEB＝90°，∴∠ABC+∠MEB＝90°，
∴∠EMB＝180°﹣∠ABC﹣∠MEB＝90°，∴DE⊥AB．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据HL判定Rt△ACB≌Rt△EBD是解题的关键．
14.3：角的平分线
知识点01 角的平分线及其性质
知识点
1．尺规作角平分线
尺规作角平分线方法（重要）：已知:∠AOB. 求作：∠AOB的平分线.
作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.（2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.
2. 角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
【微点拨】
应用角平分线的性质定理所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.
角平分线的性质定理的作用是证明线段相等.
【知识拓展1】角平分线的作法及应用
例1．如图，在中，．请用尺规在边上作一点，使点到点的距离与点到边的距离．（保留作图痕迹，不写作法）.
【答案】画图见解析
【分析】作∠BAC的平分线交BC于点P即可求解．
【详解】解：如图，点即为所求．
【点睛】本题考查的是作图-基本作图，以及角平分线的性质，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．
【即学即练】
1．如图①，已知，用尺规作它的角平分线（如图②）．
尺规作图具体步骤如下，
第1步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线于点；
第2步：分别以为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点；
第3步：画射线．射线即为所求．下列说法正确的是（ ）
A．有最小限制，无限制B．的长
C．的长D．连接，则垂直平分
【答案】B
【分析】直接根据尺规作图作角平分线的方法即可得出结论的长．
【详解】解：以B为圆心画弧时，半径必须大于0，分别以D，E为圆心，以为半径画弧时，必须大于DE的长，否则两弧没有交点．故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的作图方法，熟练掌握作角平分线的步骤及方法是解题的关键．
2.学习角的平分线之后，老师留了一道思考题：还有没有其他作角平分线的方法（不限于圆规和直尺）．下面是两位同学给出的两种方法：
(1)同学1：我是用三角板按下面方法画角平分线：如图1，在已知的上，分别取．再分别过点，作，的垂线，交点为，画射线，则平分．请你帮这位同学证明：平分．
(2)同学2：我是用圆规和直尺按下面方法画角平分线：如图2，以为圆心，以任意长为半径画弧与，交于点，，再以任意长为半径画弧与，交于点，，连接，交于点，连接，则平分．你认为同学2这种作角平分线的方法正确吗？若正确，请你给出证明过程；若错误，说出你的理由．
【答案】(1)见解析 (2)同学2这种作角平分线的方法正确．证明过程见解析
【分析】（1）由作法得，则可判断，从而得到平分；
（2）由作法得，则可判断，可得到，因此可证明，再根据，可得，从而得到平分．
（1）证明：由作法得，在和中，，∴，∴，∴平分；
（2）解：同学2这种作角平分线的方法正确.理由如下：由作法得，，可知.在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，在与中，，∴，∴.即平分．
【点睛】本题考查了作图——基本作图，全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握5种基本作图（作已知角的角平分线）是解题的关键．
【知识拓展2】角平分线的性质的运用
例2．如图，的外角的平分线CE与内角的平分线BE交于点E，若，则的度数为（ ）
A．65°B．60°C．55°D．50°
【答案】D
【分析】过点E作EF ⊥BA交BA延长线于点F，EM⊥AC于点M，EN⊥BC交BC延长线于点N，设∠ECD=x°，根据角平分线的性质定理，可得EF = EM，再由三角形外角的性质，可得∠BAC = 80°，从而得到∠CAF = 100°，再由Rt△EFA≌Rt△EMA，即可求解．
【详解】如图，过点E作EF ⊥BA交BA延长线于点F，EM⊥AC于点M，EN⊥BC交BC延长线于点N，
设∠ECD=x°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE = ∠ECD = x°，EM = EN，
∵BE平分ABC，∴ ∠ABE =∠EBC，EF = EN，∴EF = EM，
∵∠BEC= 40°，∴ ∠ABE =∠EBC =∠ECD–∠BEC=(x-40)°，
∴ ∠BAC =∠ACD–∠ABC = 2x°- (x° - 40°) - (x° - 40°) = 80°，∴∠CAF = 100°，
在Rt△EFA和Rt△EMA中，∵EA=EA，EM = EF，
∴ Rt△EFA≌Rt△EMA (HL)，∴∠FAE = ∠EAC = 50°．故选：D
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
【即学即练】
2.如图，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8cm，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，则△AED的周长是______cm．
【答案】8
【分析】证明，再证明，得到：，即可求出△AED的周长为：．
【详解】解：∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，，∴，
在和中，
∴，∴，
∵，∴，
∴△AED的周长为：．故答案为：8
【点睛】本题考查角平分线的性质定理，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，证明．
【知识拓展3】角平分线的性质与等积法
例3．如图，的三边，，的长分别是10，15，20，其三条角平分线相交于点O，连接OA，OB，OC，将分成三个三角形，则等于__________．
【答案】2：3：4
【分析】过点O分别向三边作垂线段，通过角平分线的性质得到三条垂线段长度相等，再通过面积比等于底边长度之比得到答案．
【详解】解：过点O分别向BC、BA、AC作垂线段交于D、E、F三点．
∵CO、BO、AO分别平分
∴
∵，，
∴故答案为：2：3：4
【点睛】本题考查了角平分线的性质，往三角形的三边作垂线段并得到面积之比等于底之比是解题关键．
【即学即练】
3.如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的角平分线交于点O，AB=6cm，BC=9cm，△ABO的面积为18，则△BOC的面积为（ ）
A．27B．54C．D．108
【答案】A
【分析】过点O作OD⊥BC于D，OE⊥AB于E，先由根据△ABO的面积为18，求出OE长，再根据角平分线的性质，得出OD=OE，求出OD长，然后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，过点O作OD⊥BC于D，OE⊥AB于E，
∴S△ABO==18cm2，∵AB=6cm，∴OE=6cm，
∵OB是∠ABC的角平分线，OD⊥BC于D，OE⊥AB于E，∴OD=OE=6cm，
∴S△BOC=(cm2），故选：A．
【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形面积，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
【知识拓展4】角平分线的性质与实际应用
例4．如图为三条两两相交的公路，某石化公司拟建立一个加油站，计划使得该加油站到三条公路的距离相等，则加油站的可选位置有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质，作三角形的三外角平分线，有三个交点，内角平分线有一个交点，但除去深水湖泊那个交点，共有3个．
【详解】解：根据角平分线上的点到角两边距离相等可知，
三角形内心（即三角形内角角平分线的交点）为1个位置，
另外两外角平分线的交点，到三条公路的距离也相等，可找到3个，
但因为有1个在深水湖泊，所以，有3个，故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键．
【即学即练】
4.如图是体育场的一块三角形休息区，要在休息区内设一个供水台供大家休息饮水，要使供水台到，，的距离相等，供水台应该选在（ ）
A．三条角平分线的交点处B．三条中线的交点处
C．三条高线所在的直线的交点处D．三条边的垂直平分线的交点处
【答案】A
【分析】由于供水台到，，的距离相等，所以根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可知是三条角平分线的交点，由此即可确定供水台位置.
【详解】∵供水台到，，的距离相等，
∴供水台应该选在三条角平分线的交点处,故选A.
【点睛】本题考查的是角平分线的性质的实际应用，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键.
知识点02 角平分线的判定
知识点
1. 角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
定理的几何表述：∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. ∴点P 在∠AOB的平分线上.
图1 图2
2．三角形的内角平分线
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
已知如图2，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 则点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
【微点拨】
1、已知AD是三角形ABC的角平分线，则有:（证明思路：,）

2、已知：三角形ABC的角平分线交于一点P，则有：。
【知识拓展1】角平分线的判定（实际应用）
例1．如图，点是内一点，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，且，则点是（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点
【答案】B
【分析】连接PA、PB、PC，根据角平分线的性质可知：角平分线上的点到角两边的距离相等，进而即可得到答案．
【详解】解：连接PA、PB、PC．∵PD＝PF，∴PB是∠ABC的角平分线，
同理PA、PC分别是∠BAC，∠ACB的角平分线，故P是△ABC角平分线交点，故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，能熟记角平分线判定定理是解此题的关键，注意：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上；角平分线上的点到角两边的距离相等．
【即学即练】
1．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
【解题思路】过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE＝PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB；
【解答过程】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺，∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选：A．
【知识拓展2】角平分线的判定的运用
例2．如图O是内的一点，且O到三边AB、BC、CA的距离．若，则（ ）．
A．125°B．135°C．105°D．100°
【答案】A
【分析】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出点O是三角形三条角平分线的交点，再根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，然后求出∠OBC+∠OCB，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【详解】解：∵O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，∴点O是三角形三条角平分线的交点，
∵∠BAC=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°，∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）= ×110°=55°，
在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-55°=125°．故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线判定定理，三角形的内角和定理，要注意整体思想的利用．
【即学即练】
2.如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，垂足为E．若AD＝DE且∠C＝50°，则∠ABD＝_____°．
【答案】
【分析】利用三角形的内角和定理先求解，再利用角平分线的性质定理的逆定理证明：平分 从而可得答案．
【详解】解：
平分 故答案为：
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线的定义及性质定理的逆定理，掌握角平分线的性质定理的逆定理是解题的关键．
【知识拓展3】角平分线的判定（证明）
例3．如图，在中，的平分线与的外角的平分线交于点，于点，，交的延长线于点．
(1)若点到直线的距离为5cm，求点到直线的距离；(2)求证：点在的平分线上．
【答案】(1)5cm；(2)见解析．
【分析】（1）过点作于，根据角平分线的性质即可解答；
（2）根据角平分线的性质得到，进而得到，根据角平分线的判定定理即可证明．
（1）解：过点作于，
点在的平分线，，，
cm，即点到直线的距离为；
（2）证明：点在的平分线，，，
，同理：，，
，，点在的平分线上．
【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，熟知角平分线的性质定理和判定定理，根据题意添加辅助线是解题关键．
【即学即练】
3.已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F．
(1)求证：PD＝PE＝PF；(2)点P在∠BAC的平分线上吗？说明理由．
【答案】(1)证明见解析 (2)在，理由见解析
【分析】（1）根据角平分线的性质定理可得，由此即可得证；
（2）根据，利用角平分线的判定即可得出结论．
(1)证明：平分，，，
平分，，，．
(2)解：点在的平分线上，理由如下：如图，连接，
，点在的平分线上．
【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质定理，熟练掌握角平分线的判定与性质定理是解题关键