人教版初中数学八年级上册第十五章《轴对称》单元测试卷（含答案解析）

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八年级上册数学第十五章《轴对称》单元测试卷满分：150 分 考试时间：120 分钟班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上。2.答案全部写在试卷指定位置，答题字迹工整、卷面整洁，几何证明与作图步骤规范完整。3.考试结束后，直接上交本试卷。一、选择题（每小题 4 分，共 40 分）请将正确答案的字母代号填入括号内1. 下列选项中，属于轴对称图形的是（ ）A. 任意平行四边形 B. 等腰三角形 C. 不规则五边形 D. 直角梯形2. 点P(3, -2)关于x轴对称的点的坐标是（ ）A. (3,2) B. (-3,-2) C. (-3,2) D. (2,-3)3. 等腰三角形的一个内角为70°，则它的顶角的度数为（ ）A. 40° B. 70° C. 40°或70° D. 100°4. 下列说法正确的是（ ）A. 对称轴是连接对称点的线段 B. 轴对称图形只有一条对称轴C. 线段的垂直平分线是线段的一条对称轴 D. 全等图形一定成轴对称5. 等腰三角形的两边长分别为4和8，则该三角形的周长为（ ）A. 16 B. 20 C. 16或20 D. 186. 如图，△ABC的内部有一点P，且D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点．若△ABC的内角∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°，则∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝(　 　)A.180° B.270° C.360° D.480°7. 如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为(　　)A． B． C． D．不能确定8. 等边三角形的对称轴共有（ ）A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条9. 如图, △ABC中, ∠ACB＝90°, ∠ABC＝60°, AB的中垂线交BC的延长线于D,交AC于E, 已知DE＝2.AC的长为( )A.2 B.3 C. 4 D.510. 如图，由四个小正方形组成的田字格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点．在田字格上画与△ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形(不包含△ABC本身)共有(　　)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题（每小题 4 分，共 16 分）11. 点(-2,5)关于y轴对称的点的坐标为__________。12. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，点E在BC上，且AE＝CE．若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点重合，则AC＝ ．13. 在同一直角坐标系中，A(＋1，8)与B(－5，－3)关于轴对称，则＝___________，＝___________.14. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC内，且∠OBC＝∠OCA，∠BOC＝110°，求∠A的度数为________．三、解答计算题（每小题 6 分，共 30 分）要求写出完整推理、计算过程，步骤规范15. 已知等腰三角形的底角为55°，求该等腰三角形的顶角的度数。16. 求点A(-4,3)分别关于x轴、y轴对称的点的坐标。17. 已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数. 18. 如图所示，△ABC中，D，E在BC上，且DE＝EC，过D作DF∥BA，交AE于点F，DF＝AC，求证AE平分∠BAC． 19. 等腰三角形的周长为30cm，一边长为12cm，求另外两边的长。四、解答题（共 64 分）解答题需写出必要解题步骤、文字说明、推理依据，规范作答20.（8 分）在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，若∠BAD=35°，求△ABC的三个内角度数。21.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F，∠BAC＝120°． 求证：．22、（10 分）如图所示，等边三角形ABC中，AB＝2，点P是AB边上的任意一点(点P可以与点A重合，但不与点B重合)，过点P作PE⊥BC，垂足为E，过E作EF⊥AC，垂足为F，过F作FQ⊥AQ，垂足为Q，设BP＝，AQ＝． (1)写出与之间的关系式；(2)当BP的长等于多少时，点P与点Q重合？23.（12 分）如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC(1)试判定△ODE的形状，并说明你的理由；(2)若BC=10，求△ODE的周长．24.（12 分）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下： 如图①，连接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴=AB•PE，=AC•PF，=AB•CH．又∵，∴AB•PE+AC•PF=AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．(1)如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：(2)填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=______.点P到AB边的距离PE=________.25.（12 分）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．(1)【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE　 　DB(填“＞”、“＜”或“=”)．(2)【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE　 　DB(填“＞”、“＜”或“=”)；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．(请你完成以下解答过程)．(3)【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线CB的延长线上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长(请你画出相应图形，并直接写出结果)．参考答案及评分标准一、选择题（每小题 4 分，共 40 分）1.B 2.A 3.C 4.C 5.B 6.C 7.B 8.C 9.B 10.D二、填空题（每小题 4 分，共 16 分）11. (2,5) 12. 4 13. 14. 40°三、解答计算题（每小题 6 分，共 30 分）15. 解：∵等腰三角形两底角相等，∴两底角均为55°，（2分）根据三角形内角和定理，顶角=180°-55°×2=70°。（6分）16. 解：关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，（2分）∴A关于x轴对称点坐标为(-4,-3)，（4分）关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数，∴A关于y轴对称点坐标为(4,3)。（6分）17. 解：分别作P关于OM、ON的对称点，，连接交OM于A，ON于B.则△PAB为符合条件的三角形.∵∠MON＝40°　 ∴∠＝140°. ∠＝∠PAB,∠＝∠PBA.∴ (∠PAB＋∠PBA)＋∠APB＝140°∴∠PAB＋∠PBA＋2∠APB＝280° ∵∠PAB＝∠＋∠, ∠PBA＝∠＋∠∴∠＋∠＋∠＝180° ∴∠APB＝100°18. 证明：延长FE到G，使EG＝EF，连接CG， 在△DEF和△CEG中， ED＝EC，∠DEF＝∠CEG，FE＝EG，∴△DEF≌△CEG，∴DF＝GC，∠DFE＝∠G， ∵DF∥AB，∴∠DFE＝∠BAE， ∵DF＝AC，∴GC＝AC， ∴∠G＝∠CAE， ∴∠BAE＝∠CAE，即AE平分∠BAC．19. 解：分两种情况讨论：① 若12cm为腰长，则底边长=30-12×2=6cm，（2分）三边为12cm、12cm、6cm，符合三边关系；（4分）② 若12cm为底边长，则腰长=(30-12)÷2=9cm，三边为9cm、9cm、12cm，符合三边关系；（5分）综上，另外两边长为12cm、6cm或9cm、9cm。（6分）四、解答题（共 64 分）20.（8 分）解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，∠B=∠C，（2分）∵∠BAD=35°，∴∠BAC=2×35°=70°，（5分）∴∠B=∠C=180°−70°2=55°，（7分）综上，∠BAC=70°，∠B=∠C=55°。（8分）21.（10 分）证明：∵ 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∴ ∠B＝∠C＝．∵ DE⊥AB，DF⊥AC，∴ ，．∴ ．22、【解析】解：(1)∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝CA＝2． 在△BEP中，∵PE⊥BE，∠B＝60°， ∴∠BPE＝30°， 而BP＝，∴BE＝，EC＝2－， 在△CFE中，∵∠C＝60°，EF⊥CF， ∴∠FEC＝30°，所以FC＝1－x， 同理在△FAQ中，可得AQ＝＋， 而AQ＝，所以＝＋(0＜≤2)． (2)当点P与点Q重合时，有AQ＋BP＝AB＝2， ∴＋＝2，所以 解得＝．∴当BP的长为时，点P与点Q重合．23.（12 分）解：(1)△ODE是等边三角形；理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°；∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°，∴△ODE为等边三角形．(2)∵BO平分∠ABC，OD∥AB，∴∠ABO=∠DBO，∠ABO=∠DOB，∴∠DOB=∠DBO，∴BD=OD；同理可证CE=OE；∴△ODE的周长=BC=10．24.（12 分）解：(1)如图②，PE=PF+CH．证明如下：∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴=AB•PE，=AC•PF，=AB•CH，∵=+，∴AB•PE=AC•PF+AB•CH，又∵AB=AC，∴PE=PF+CH；(2)∵在△ACH中，∠A=30°，∴AC=2CH．∵=AB•CH，AB=AC，∴×2CH•CH=49，∴CH=7．分两种情况：①P为底边BC上一点，如图①．∵PE+PF=CH，∴PE=CH-PF=7-3=4；②P为BC延长线上的点时，如图②．∵PE=PF+CH，∴PE=3+7=10．故答案为7；4或10．25.（12 分）解：(1)当E为AB的中点时，AE=DB；(2)AE=DB，理由如下：过点E作EF∥BC，交AC于点F，证明：∵△ABC为等边三角形，∴△AEF为等边三角形，∴AE=EF，BE=CF，∵ED=EC，∴∠D=∠ECD，∵∠DEB=60°﹣∠D，∠ECF=60°﹣∠ECD，∴∠DEB=∠ECF，在△DBE和△EFC中，，∴△DBE≌△EFC(SAS)，∴DB=EF，则AE=DB；(3)点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，∴DB=EF=2，BC=1，则CD=BC+DB=3．