第四章 第8节 三角形中的高线、中线、角平分线学案 2027届高中数学人教A版（2019）一轮复习

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题型一 三角形的高线
例1 (2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sin B.
(1)求sin A;
(2)设AB＝5，求AB边上的高.
解 法一 (1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
因为A＋B＝3C，
所以3C＝π－C，所以C＝π4.
因为2sin(A－C)＝sin B，
所以2sinA−π4＝sin3π4−A，
展开并整理得
2(sin A－cs A)＝22(cs A＋sin A)，
得sin A＝3cs A，
又sin2A＋cs2A＝1，且sin A>0，
所以sin A＝31010.
(2)由正弦定理，得
BC＝ABsinC·sin A＝522×31010＝35.
由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcs C，
即52＝AC2＋(35)2－2AC·35csπ4，
整理得AC2－310AC＋20＝0，
解得AC＝10或AC＝210.
由(1)得，tan A＝3>3，
所以π30，所以c＝2.
法二 因为2bcs C＝ac－2ccs B，
由余弦定理可得2b·a2＋b2−c22ab＝ac－2c·a2＋c2−b22ac，
所以a2＋b2－c2＝a2c－a2－c2＋b2，
因此2a2＝a2c，因为a>0，所以c＝2.
(2)法一 由已知条件得b＝2a－4cs B.
在△BCD中利用余弦定理得b＝2a－4cs B＝2a－4·a2＋1−22a＝2a，所以ab＝2，
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcs∠ACB，
所以4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
因此a＋b＝10，所以△ABC的周长为10＋2.
法二 因为∠ADC＋∠BDC＝π，
所以cs∠ADC＋cs∠BDC＝0，
因此1＋2−b222＋1＋2−a222＝0，所以a2＋b2＝6，
又由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcs∠ACB，
所以4＝a2＋b2－ab，所以ab＝2，
又4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝(a＋b)2－6，所以a＋b＝10，
所以△ABC的周长为10＋2.
法三
在△ABC和△BCD中分别利用余弦定理可得
cs B＝a2＋22−b24a
＝12＋a2−22a，
所以a2＋b2＝6，
又由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcs∠ACB，
所以4＝a2＋b2－ab，所以ab＝2，
又4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab
＝(a＋b)2－6，
所以a＋b＝10，
所以△ABC的周长为10＋2.
感悟提升
如图，在△ABC中，AD为BC的中线.
(1)余弦定理法
在△ABD中，AB2＝AD2＋BD2－2BD·ADcs∠ADB，①
在△ACD中，
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcs∠ADC，②
①＋②得到AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2).
(2)向量法
由于AD＝12(AB＋AC)，所以AD2＝14(b2＋c2＋2bccs∠BAC).
(3)倍长中线法
借助平行四边形性质:平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和.
易得BC2＋(2AD)2＝2(AC2＋AB2).
(4)中线公式
在△ABC中，BC边上的中线和三边有如下关系(可以用上面三种方法推导)AD＝2(b2＋c2)−a22
当然除了上述常用的方法以外，还有坐标法等技巧.
训练2 (2026·合肥模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足3asin C＋acs C＝b＋c.
(1)求角A;
(2)已知△ABC面积为103，BC为7，求BC边上中线AD长.
解 (1)因为3asin C＋acs C＝b＋c，
由正弦定理边化角得3sin Asin C＋sin Acs C＝sin B＋sin C，
利用三角形内角和定理可得sin B＝sin(A＋C)＝sin Acs C＋cs Asin C，
即3sin Asin C＝sin Ccs A＋sin C.
因为sin C>0，所以3sin A＝cs A＋1，
即sinA−π6＝12.
因为A∈(0，π)，所以A＝π3.
(2)由S△ABC＝12bcsin A＝103得bc＝40，①
由BC2＝b2＋c2－2bccs A得49＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc.②
由①②得b＋c＝13，
由AD2＝14(AB＋AC)2，得AD2＝14(c2＋b2＋2bccs A)＝(b＋c)2−bc4＝1294，
得AD＝1292.
题型三 三角形的角平分线
例3 (2026·西安调研)已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c＝2bcs A－a.
(1)求角B;
(2)若BD是∠ABC的平分线，AD＝47，CD＝27，求线段BD的长.
解 (1)由2c＝2bcs A－a及正弦定理可得2sin C＝2sin Bcs A－sin A.
因为A＋B＋C＝π，所以C＝π－(A＋B)，
所以sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)
＝sin Acs B＋cs Asin B，
则2(sin Acs B＋cs Asin B)＝2sin Bcs A－sin A，
整理得2sin Acs B＝－sin A.
因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，故cs B＝－12，
又因为B∈(0，π)，所以B＝2π3.
(2)因为BD是∠ABC的平分线，
所以根据角平分线定理可得ABBC＝ADDC，
又AD＝47，CD＝27，所以ABBC＝4727＝2.
设BC＝x(x>0)，则AB＝2x.
在△ABC中，根据余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cs∠ABC，
又AC＝AD＋DC＝67，∠ABC＝2π3，
则(67)2＝(2x)2＋x2－2×2x·x·−12，
即252＝4x2＋x2＋2x2＝7x2，解得x＝6，
所以BC＝6，AB＝12.
法一 (面积公式)
如图，S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，
所以12acsin2π3＝12c·BD·sinπ3＋12a·BD·sinπ3，
解得BD＝aca＋c＝6×126＋12＝4.
法二(余弦定理)
如图，cs∠ADB
＝－cs∠BDC，
所以BD2＋AD2−AB22AD·BD＝－BD2＋CD2−BC22CD·BD，
即BD2＋(47)2−1222×47×BD＝－BD2＋(27)2−622×27×BD，
解得BD＝4.
故BD的长为4.
感悟提升 角平分线问题的处理策略
如图，
在△ABC中，AD平分∠BAC，∠BAC，B，C所对的边分别为a，b，c.
(1)角平分线定理:AD为△ABC的内角∠BAC的平分线，则ABAC＝BDDC.
(2)因为S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，
所以12c·ADsin∠BAC2＋12b·ADsin∠BAC2＝12bcsin∠BAC，
所以(b＋c)AD＝2bccs∠BAC2，
整理得AD＝2bccs∠BAC2b＋c(角平分线长公式).
训练3 (2026·武汉模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cs B＝79，a＝4，角B的角平分线交AC于点D，且BD＝32.
(1)求CD的长;
(2)求△ABC的面积.
解 (1)由cs B＝79，则cs2B2＝1＋csB2＝1＋792＝89，
因为cs B＝79>0，
所以B∈0，π2，
所以B2∈0，π4，
则csB2＝223，
又BD是角B的角平分线，则在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BD2＋a2－2BD·a·csB2＝18＋16－2×32×4×223＝2，即CD＝2.
(2)由(1)知csB2＝223，
则sinB2＝1−cs2B2＝13，
由cs B＝79，则sin B＝1−cs2B＝429，
又BD是角B的角平分线，
由S△ABC＝S△ABD＋S△CBD，
则12acsin B＝12c·BD·sinB2＋12a·BD·sinB2，
则12×4c×429＝12c×32×13＋12×4×32×13，
解得c＝367，
所以S△ABC＝12acsin B＝12×4×367×429＝3227.
1.(2026·乐山模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cs B＋3sin B＝2.
(1)求B;
(2)若a＝2，c＝3＋1，∠ABC的角平分线交AC于D，求BD.
解 (1)由cs B＋3sin B＝2，
得12cs B＋32sin B＝1，
所以csB−π3＝1，
因为0