2027届高考数学人教A版一轮复习讲义：第31讲 三角形中的高线、中线、角平分线

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[例1] (2026·山东聊城模拟)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin B+btan Bcs A=2bsin C.
(1)求B;
(2)若a=3,且AC边上的高为3217,求△ABC的周长.
[解] (1)因为asin B+btan Bcs A=2bsin C,
由正弦定理,得sin Asin B+sin B·sinBcsBcs A=2sin Bsin C.
又因为B∈(0,π),可得sin B>0,
所以sin A+sinBcsBcs A=2sin C,
即sinAcsB+csAsinBcsB=sin(A+B)csB=sinCcsB=2sin C.
因为C∈(0,π),可得sin C>0,所以cs B=12.
又因为B∈(0,π),所以B=π3.
(2)由AC边上的高为3217,可得S△ABC=12b·3217,
又由a=3且B=π3,可得△ABC的面积为S△ABC=12acsin B=32c×32=334c,
所以334c=12b·3217,解得2b=7c,即c=2b7,
在△ABC中,由余弦定理得b2=a2+c2-2accs B,
可得b2=9+(2b7)2-3×2b7,整理得b2+27b-21=0,
解得b=7或b=-37(舍去),此时c=2,
所以△ABC的周长为3+7+2=5+7.
❙方法总结❙
高线问题的处理策略
1.等面积法:AD·BC=AB·AC·sin∠BAC.
2.AD=AB·sin∠ABD=AC·sin∠ACD.
1.(2026·云南昆明模拟)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且3asin C-c=ccs A.
(1)求A;
(2)若b=2,c=3,求BC边上的高AD.
解:(1)因为3asin C-c=ccs A,所以由正弦定理得3sin Asin C-sin C=sin Ccs A.因为C∈(0,π),所以sin C≠0,所以3sin A-1=cs A,即3sin A-cs A=1,
所以2sin(A-π6)=1,即sin(A-π6)=12.
因为A∈(0,π),所以A-π6∈(-π6,5π6),所以A-π6=π6,所以A=π3.
(2)由余弦定理得a2=22+32-2×2×3×csπ3=7,所以a=7.
因为S△ABC=12bcsin A=12×a×AD,
所以2×3×sinπ3=7×AD,所以AD=3217.
考点二 三角形的中线
[例2] (2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为3,D为BC的中点,且AD=1.
(1)若∠ADC=π3,求tan B;
(2)若b2+c2=8,求b,c.
[解] (1)在△ABC中,因为D为BC的中点,∠ADC=π3,AD=1,
则S△ADC=12AD·DCsin∠ADC=12×1×12a×32=38a=12S△ABC=32,解得a=4.
在△ABD中,∠ADB=2π3,由余弦定理得c2=BD2+AD2-2BD·ADcs∠ADB,
即c2=4+1-2×2×1×(-12)=7,解得c=7,则cs B=7+4−127×2=5714,
sin B=1−cs2B=1−(5714)2=2114,
所以tan B=sinBcsB=35.
(2)在△ABC中,因为D为BC的中点,则2AD=AB+AC,又CB=AB-AC,于是4AD2+CB2=(AB+AC)2+(AB-AC)2=2(b2+c2)=16,即4+a2=16,解得a=23,
在△ABC中,由余弦定理,
得cs∠BAC=b2+c2−a22bc=8−122bc=-2bc,
所以S△ABC=12bcsin∠BAC
=12bc1−cs2∠BAC
=12bc1−(−2bc)2=12b2c2−4=3,
解得bc=4.由bc=4,b2+c2=8,解得b=2,c=2.
❙方法总结❙
在△ABC中,AD是边BC上的中线,
(1)余弦定理法
在△ABD中,AB2=AD2+BD2-2BD·ADcs∠ADB,①
在△ACD中,AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cs∠ADC,②
①+②,得到AB2+AC2=2(BD2+AD2).
(2)向量法:
AD=12(AB+AC),
AD2=14(b2+c2+2bccs∠BAC).
(3)中线公式
在△ABC中,BC边上的中线和三边有如下关系:
AD=
2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cs B=ac-b2c.
(1)求C;
(2)若b=2,D为边AB的中点,CD=7,求a.
解:(1)由cs B=ac-b2c,得2ccs B=2a-b,
由正弦定理得2sin Ccs B=2sin A-sin B,
即2sin Ccs B=2sin(B+C)-sin B,
化简得sin B=2sin Bcs C.
∵B∈(0,π),∴sin B≠0,∴cs C=12.
又∵C∈(0,π),∴C=π3.
(2)∵D为边AB的中点,∴CD=12(CA+CB),
则CD2=14(CA+CB)2=14(CA2+CB2+2CA·CB)=14(4+a2+2×2×a×csπ3),
化简得a2+2a-24=0,解得a=4或a=-6(舍去),故a=4.
考点三 三角形的角平分线
[例3] (2026·四川乐山模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cs B+3sin B=2.
(1)求B;
(2)若a=2,c=3+1,角B的平分线交AC于点D,求BD.
[解] (1)由cs B+3sin B=2,得12cs B+32sin B=1,
所以cs(B-π3)=1.
因为02,所以C=45°,B=180°-60°-45°=75°.
又∠BAD=30°,所以∠ADB=75°,即AD=AB=2.
角平分线定理、张角定理和中线长定理
[例] (1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=7,b=8,c=9,则AC边上的中线长为 .
[答案] 7
[解析] 法一:在△ABC中,设BD是AC边上的中线,由中线长定理知,
AB2+BC2=2(BD2+DC2),
即c2+a2=2(BD2+14b2),
则BD2=c2+a22-b24=49,所以BD=7,
故AC边上的中线长为7.
法二:因为a=7,b=8,c=9,由余弦定理得cs B=a2+c2−b22ac=72+92−822×7×9=1121.
设BD是AC边上的中线,则BD=12(BA+BC),
两边平方得BD2=14(BA2+2BA·BC+BC2)
=14×(81+2×9×7×1121+49)=49,
所以|BD|=7,即AC边上的中线长为7.
(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,AD是∠BAC的平分线.若∠BAC=π3,AD=23,则2b+c的最小值为 .
[答案] 6+42
[解析] 如图,∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=π6,
由张角定理得sin∠BACAD=sin∠BADAC+sin∠CADAB,即sinπ323=sinπ6b+sinπ6c,∴1b+1c=12,
∴2b+c=(2b+c)(1b+1c)×2
=6+2cb+4bc≥6+22cb·4bc=6+42(当且仅当2cb=4bc,且1b+1c=12,即c=2b=22+2时取等号).
在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,AB=3,AC=5,∠BAC=120°,则AD= .
答案:158
解析:法一:∵AD是∠BAC的平分线,且∠BAC=120°,
∴∠BAD=∠CAD=60°.
∵S△ABD+S△CAD=S△ABC,
∴12AB·ADsin∠BAD+12AC·ADsin∠CAD=12AB·ACsin∠BAC,
即12×3AD×32+12×5AD×32=12×3×5×32,
解得AD=158.
法二:由张角定理得sin60°AB+sin60°AC=sin120°AD,即36+310=32AD,解得AD=158.
在△ABC中,AD为∠BAC的角平分线,则ABBD=ACCD.
进而得到：
(1)AD2=AB·AC-BD·CD(斯库顿定理).
(2)ABAC=BDCD=S△ABDS△ACD.
在△ABC中,D为BC边上的一点,连接AD,若∠BAD=α,∠CAD=β,
则sinβAB+sinαAC=sin(α+β)AD.
在△ABC中,AD为BC边上的中线,则AB2+AC2=2(AD2+DC2).