第四章 第3节 和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 学案 2027届高中数学人教A版（2019）一轮复习

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1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β):
cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β;
(2)公式C(α＋β):
cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β;
(3)公式S(α－β):
sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β;
(4)公式S(α＋β):
sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β;
(5)公式T(α－β):tan(α－β)＝tanα−tanβ1＋tanαtanβ;
(6)公式T(α＋β):tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1−tanαtanβ.
2.辅助角公式
asin α＋bcs α＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中sin φ＝ba2＋b2，cs φ＝aa2＋b2.
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α:sin 2α＝2sin αcs α.
(2)公式C2α:cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
(3)公式T2α:tan 2α＝2tanα1−tan2α.
1.两角和与差的公式的常用变形:
(1)sin αsin β＋cs(α＋β)＝cs αcs β;
(2)cs αsin β＋sin(α－β)＝sin αcs β;
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，
tan αtan β＝1－tanα＋tanβtan(α＋β)＝tanα−tanβtan(α−β)－1.
2.降幂公式:cs2α＝1＋cs2α2，sin2α＝1−cs2α2，
tan2α＝1−cs2α1＋cs2α.
3.升幂公式:1＋cs 2α＝2cs2α，
1－cs 2α＝2sin2α，
1±sin 2α＝(sin α±cs α)2.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( )
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( )
(3)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )
(4)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求得来的.( )
答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√
2.(人教A必修一P223T2改编)已知sin(α－π)＝35，则cs 2α＝ .
答案 725
解析 sin(α－π)＝－sin α＝35，故sin α＝－35，
所以cs 2α＝1－2sin2α＝1－2×−352＝725.
3.(苏教必修二P55例2改编)求值cs 15°＝ .
答案 2＋64
解析 cs 15°＝cs(60°－45°)＝cs 60°cs 45°＋sin 60°sin 45°＝2＋64.
4.(北师大必修二P156例4改编)已知tan α＝2，tan β＝－13，则tan(α－β)＝ .
答案 7
解析 tan(α－β)＝tanα−tanβ1＋tanαtanβ＝2−−131＋2×−13＝7.
考点一 公式的基本应用
例1 (1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知cs(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cs(α－β)＝( )
A.－3mB.－m3
C.m3D.3m
(2)(2024·全国甲卷)已知csαcsα−sinα＝3，则tanα＋π4＝( )
A.23＋1B.23－1
C.32D.1－3
答案 (1)A (2)B
解析 (1)由cs(α＋β)＝m得
cs αcs β－sin αsin β＝m.①
由tan αtan β＝2得sinαsinβcsαcsβ＝2，②
由①②得csαcsβ＝−m，sinαsinβ＝−2m，
所以cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β＝－3m，故选A.
(2)根据题意有csα−sinαcsα＝33，
即1－tan α＝33，所以tan α＝1－33，
所以tanα＋π4＝tanα＋11−tanα＝2−3333＝23－1，故选B.
感悟提升 三角函数公式的应用策略
(1)使用两角和、差及倍角公式时，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为:“同名相乘，符号反”.
(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.
训练1 (1)(2025·新高考Ⅱ卷)已知00，∴α－β∈0，π2，
∴cs(α－β)＝1213，
∴cs β＝cs(－β)＝cs(α－β－α)
＝cs(α－β)cs α＋sin(α－β)sin α
＝1213×35＋513×45＝5665.
训练 已知6sin2α＋sin αcs α－2cs2α＝0，α∈π2，π，则tan α＝ ，sin2α＋π3＝ .
答案 －23 53−1226
解析 ∵6sin2α＋sin αcs α－2cs2α
＝6sin2α＋sinαcsα−2cs2αsin2α＋cs2α
＝6tan2α＋tanα−2tan2α＋1＝0，
即6tan2α＋tan α－2＝0，
解得tan α＝－23或tan α＝12，
∵α∈π2，π，∴tan α＝－23.
∴sin 2α＝2tanα1＋tan2α＝－1213，
cs 2α＝1−tan2α1＋tan2α＝513，
∴sin2α＋π3＝sin 2αcs π3＋cs 2αsin π3
＝－1213×12＋513×32＝53−1226.
一、单选题
1.(2026·重庆质检)sin 47°sin 103°＋sin 43°cs 77°＝( )
A.－32B.32
C.－12D.1
答案 B
解析 sin 47°sin 103°＋sin 43°cs 77°
＝cs 43°sin 77°＋sin 43°cs 77°
＝sin(77°＋43°)＝sin 120°＝32.
2.(2026·温州模拟)已知tanθ＋π4＝2，则tan θ＝( )
A.3B.2
C.13D.12
答案 C
解析 由题意得，1＋tanθ1−tanθ＝2，解得tan θ＝13.
3.(2026·承德调研)已知α是第三象限角，cs α＝－513，则sin 2α等于( )
A.－1213B.1213
C.－120169D.120169
答案 D
解析 因为α是第三象限角，且cs α＝－513，
所以sin α＝－1213，
所以sin 2α＝2sin αcs α＝2×−1213×−513＝120169.
4.(2026·北京朝阳区模拟)已知sin α＋sin β＝0，cs α＋cs β＝3，则cs(α－β)＝( )
A.－12B.12
C.32D.1
答案 B
解析 由sin α＋sin β＝0，cs α＋cs β＝3，得(sin α＋sin β)2＋(cs α＋cs β)2＝3，
整理得2＋2(cs αcs β＋sin αsin β)＝3，
所以cs(α－β)＝12.
5.(2026·蚌埠模拟)lne2sin15°＝( )
A.6−22B.12
C.6＋24D.32
答案 C
解析 lne2sin15°＝122sin15°＝sin30°2sin15°＝cs 15°
＝cs 45°cs 30°＋sin 45°sin 30°＝6＋24.
6.(2020·全国Ⅲ卷)已知sin θ＋sinθ＋π3＝1，则sinθ＋π6＝( )
A.12B.33
C.23D.22
答案 B
解析 因为sin θ＋sinθ＋π3
＝sinθ＋π6−π6＋sinθ＋π6＋π6
＝sinθ＋π6cs π6－csθ＋π6sin π6＋
sinθ＋π6cs π6＋csθ＋π6sin π6
＝2sinθ＋π6cs π6＝3sinθ＋π6＝1，
所以sinθ＋π6＝33.
7.计算:cs55°＋sin25°cs60°cs25°＝( )
A.－32B.32
C.－12D.12
答案 B
解析 cs55°＋sin25°cs60°cs25°
＝cs(30°＋25°)＋12sin25°cs25°
＝32cs25°−12sin25°＋12sin25°cs25°＝32.
二、多选题
8.下列等式成立的有( )
A.sin 15°cs 15°＝12
B.sin 75°cs 15°＋cs 75°sin 15°＝1
C.cs 105°cs 75°－sin 105°cs 15°＝－1
D.3sin 15°＋cs 15°＝1
答案 BC
解析 对于A，sin 15°cs 15°＝12sin 30°＝14，故A错误;
对于B，sin 75°cs 15°＋cs 75°sin 15°＝sin(75°＋15°)＝sin 90°＝1，故B正确;
对于C，cs 105°cs 75°－sin 105°cs 15°＝cs(105°＋75°)＝cs 180°＝－1，故C正确;
对于D，3sin 15°＋cs 15°＝2sin(15°＋30°)＝2sin 45°＝2，故D错误.
9.已知α∈π2，π，且cs2α－cs 2α＝15，则( )
A.tan α＝－12B.sin 2α＝45
C.cs 2α＝35D.tan 2α＝－34
答案 AC
解析 cs2α－cs 2α＝cs2α－(cs2α－sin2α)
＝sin2α＝15，
因为α∈π2，π，
所以sin α＝55，cs α＝－1−sin2α＝－255，
所以tan α＝sinαcsα＝－12，
sin 2α＝2sin αcs α＝－45，
cs 2α＝1－2sin2α＝35，
tan 2α＝sin2αcs2α＝－43.
三、填空题
10.化简:(1＋tan 25°)(1＋tan 20°)＝ .
答案 2
解析 由题意得(1＋tan 25°)(1＋tan 20°)
＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°，
又tan 20°＋tan 25°
＝tan(20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)
＝1－tan 20°tan 25°，
所以(1＋tan 25°)(1＋tan 20°)
＝1＋(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°
＝2.
11.(2026·长沙模拟)若csα＋π4＝35，α∈0，π2，则cs α＝ .
答案 7210
解析 因为α∈0，π2，
所以α＋π4∈π4，3π4，
由csα＋π4＝35可得sinα＋π4
＝1−925＝45，
所以cs α＝csα＋π4−π4
＝22csα＋π4＋sinα＋π4
＝2235＋45＝7210.
12.(2026·开封质检)已知tan(α＋β)，tan(α－β)是方程x2＋5x＋6＝0的两个根，则tan 2α＝ .
答案 1
解析 由题意可得tan(α＋β)＋tan(α－β)
＝－5，且tan(α＋β)tan(α－β)＝6，
则tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]
＝tan(α＋β)＋tan(α−β)1−tan(α＋β)tan(α−β)＝−51−6＝1.
四、解答题
13.已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.求:
(1)sin(α－β)的值;
(2)cs β的值.
解 (1)因为α，β∈0，π2，所以－π2