2026七年级数学下册第九章因式分解拔尖检测试卷（含答案冀教版）

这是一份2026七年级数学下册第九章因式分解拔尖检测试卷（含答案冀教版），共9页。
第九章拔尖检测一、选择题（每小题3分，共36分）1．教材P111练习T1 下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）A. x2−x+1=x(x−1)+1B. (2x+3y)(2x−3y)=4x2−9y2C. x2+y2=(x+y)2−2xyD. x2+6x+9=(x+3)22．把2mn2+mn分解因式，应提取的公因式是（ ）A. 2mB. mnC. 2mnD. mn23．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）A. x2+x+1B. x2+2x−1C. x2−1D. x2−8x+164．将下列多项式分解因式，结果中不含因式x−1的是（ ）A. x2−1B. x(x−2)+xC. x2−2x+1D. x2+2x+15．已知一个圆的面积为9πa2+6πab+πb2(a>0,b>0)，则该圆的半径是（ ）A. 3a+bB. 9a+bC. 3abD. 3πa+πb6．设二次三项式2x2+mx+6可分解为两个一次因式的乘积，且各因式的各项系数都是整数，则满足条件的整数m的个数为（ ）A. 8B. 6C. 4D. 37．如果a+b=3，ab=1，那么a3b+2a2b2+ab3的值为（ ）A. 0B. 1C. 4D. 98．如果9x2−16y2=(−3x−4y)⋅M，那么M表示的式子为（ ）A. 3x+4yB. 3x−4yC. 4y−3xD. −4y−3x9．小逸是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a−b，5，x2−y2，a+b，x−y，x+y分别对应强、我、祖、爱、国、有.现将5a(x2−y2)−5b(x2−y2)因式分解，则结果呈现的密码信息可能是（ ）A. 我爱祖国B. 强国有我C. 我爱国D. 我有祖国10．对于任何整数m，多项式(m+1)2−25都能被下列各式中的哪一项整除（ ）A. 4B. 6C. m+1D. m−411．如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图①（图中阴影部分是正方形），将A，B并列放置后构造新的正方形得图②.若图①、图②中阴影部分的面积分别为4，30，关于甲、乙的说法.甲：图②中新正方形的边长为6；乙：正方形A，B的面积差为16.判断正确的是（ ）A. 甲对乙错B. 甲错乙对C. 甲和乙都对D. 甲和乙都错12．设数x满足x3=−2x+1，若x7=ax2+bx+c，则a−2b+c的值为（ ）A. −14B. 14C. −6D. 6二、填空题（每小题3分，共12分）13．因式分解：2a3−8a=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .14．已知a2+a−1=0，那么a3+2a2+3的值为_ _ _ _ .15．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成(x−2)(x−8)，另一位同学因看错了常数项而分解成(x−3)(x−5)，则原多项式分解因式的结果应该是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .16．已知有理数a，b，c满足a−b+c−3=0，a2+b2+c2−3=0，则a3+b3+c3−2 026=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .三、解答题（共72分）17．（12分）分解因式：（1） 2ax2−18a3;（2） a4−2a2b2+b4；（3） 25a2(a−3)+(3−a)；（4） (x+2)(x+4)+x2−4.18．（8分）利用因式分解进行简便计算：（1） 2 0272−1 9772；（2） 42.52+85×57.5+57.52.19．（8分）如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式.（1） 求整式M，P；（2） 将整式P因式分解；（3） 请直接写出P的最小值.20．（8分）若干张正方形和长方形卡片如图①所示，其中甲型、乙型卡片分别是边长为a，b(a>b)的正方形，丙型卡片是长为a，宽为b的长方形.选取2张甲型卡片，2张乙型卡片，5张丙型卡片，拼成如图②所示的大长方形卡片.（1） 观察图②，写出一个多项式的因式分解：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；（2） 若图②中甲型、乙型卡片的面积和为136，大长方形卡片的周长为60，求大长方形卡片的面积.21．（10分）数学活动课上，老师带领大家进行数学活动经验总结.【观察与思考】观察下列等式：第1个等式：1×3+1=4=22；第2个等式：2×4+1=9=32；第3个等式：3×5+1=16=42；第4个等式：4×6+1=25=52；……【猜想与验证】根据你发现的规律解决下列问题.（1） 请直接写出第6个等式：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；（2） 写出你猜想的第n个等式（用含n 的等式表示），并证明；【实践与应用】根据上面的结论进行计算.（3） (1+11×3)×(1+12×4)×(1+13×5)×⋯×(1+12 024×2 026).22．（12分）有一列数：4，12，20，⋯ .这些正整数都能表示为两个连续偶数的平方差，我们把这样的正整数称为“好数”.如：4=22−02；12=42−22；20=62−42;….（1） 设两个连续偶数分别为2k和2k−2（其中k 取大于1的整数），由这两个连续偶数构造的“好数”是4的倍数吗？请通过计算加以说明.（2） 2 032是“好数”吗？请通过计算判断，如果是，它是第几个“好数”？如果不是，写出小于它的最大“好数”.23．（14分）【阅读材料】要将多项式am+an+bm+bn 分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得到：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n).这时a(m+n)+b(m+n) 中又有公因式(m+n)，于是可以提出(m+n)，从而得到(m+n)(a+b).因此有am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)，这种方法称为分组法.请回答下列问题：（1） 【尝试填空】2x−18+xy−9y=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；（2） 【解决问题】因式分解：ac−bc+a2−b2；（3） 【拓展应用】已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a2−2ab+2b2−2bc+c2=0，试判断这个三角形的形状，并说明理由.第九章拔尖检测答案一、选择题（每小题3分，共36分）1．教材P111练习T1 下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）A. x2−x+1=x(x−1)+1B. (2x+3y)(2x−3y)=4x2−9y2C. x2+y2=(x+y)2−2xyD. x2+6x+9=(x+3)2【答案】D2．把2mn2+mn分解因式，应提取的公因式是（ ）A. 2mB. mnC. 2mnD. mn2【答案】B3．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）A. x2+x+1B. x2+2x−1C. x2−1D. x2−8x+16【答案】D4．将下列多项式分解因式，结果中不含因式x−1的是（ ）A. x2−1B. x(x−2)+xC. x2−2x+1D. x2+2x+1【答案】D5．已知一个圆的面积为9πa2+6πab+πb2(a>0,b>0)，则该圆的半径是（ ）A. 3a+bB. 9a+bC. 3abD. 3πa+πb【答案】A6．设二次三项式2x2+mx+6可分解为两个一次因式的乘积，且各因式的各项系数都是整数，则满足条件的整数m的个数为（ ）A. 8B. 6C. 4D. 3【答案】B7．如果a+b=3，ab=1，那么a3b+2a2b2+ab3的值为（ ）A. 0B. 1C. 4D. 9【答案】D8．如果9x2−16y2=(−3x−4y)⋅M，那么M表示的式子为（ ）A. 3x+4yB. 3x−4yC. 4y−3xD. −4y−3x【答案】C9．小逸是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a−b，5，x2−y2，a+b，x−y，x+y分别对应强、我、祖、爱、国、有.现将5a(x2−y2)−5b(x2−y2)因式分解，则结果呈现的密码信息可能是（ ）A. 我爱祖国B. 强国有我C. 我爱国D. 我有祖国【答案】B10．对于任何整数m，多项式(m+1)2−25都能被下列各式中的哪一项整除（ ）A. 4B. 6C. m+1D. m−4【答案】D【点拨】∵(m+1)2−25=(m+1+5)(m+1−5)=(m+6)(m−4)，∴ 对于任何整数m，多项式(m+1)2−25都能被m−4整除.故选D.11．如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图①（图中阴影部分是正方形），将A，B并列放置后构造新的正方形得图②.若图①、图②中阴影部分的面积分别为4，30，关于甲、乙的说法.甲：图②中新正方形的边长为6；乙：正方形A，B的面积差为16.判断正确的是（ ）A. 甲对乙错B. 甲错乙对C. 甲和乙都对D. 甲和乙都错【答案】B【点拨】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由题图①得a2−b2−2b(a−b)=4，∴a2−b2−2ab+2b2=4.∴a2−2ab+b2=4.∴(a−b)2=4.∵a>b，∴a−b=2.由题图②得(a+b)2−a2−b2=30，∴a2+2ab+b2−a2−b2=30，∴2ab=30.∴ 图题②所示的大正方形的面积为(a+b)2=(a−b)2+4ab=64.∵a+b>0，∴a+b=8.故甲的说法错误.∴a2−b2=(a+b)(a−b)=8×2=16.故乙的说法正确.故选B.12．设数x满足x3=−2x+1，若x7=ax2+bx+c，则a−2b+c的值为（ ）A. −14B. 14C. −6D. 6【答案】B【点拨】根据题意，设t=x3=−2x+1，∴x7=(x3)2⋅x=t2⋅x=(−2x+1)2⋅x=4x3−4x2+x=4(−2x+1)−4x2+x=−4x2−7x+4.∴−4x2−7x+4=ax2+bx+c.∴a=−4，b=−7，c=4.∴a−2b+c=−4+14+4=14.故选B.二、填空题（每小题3分，共12分）13．因式分解：2a3−8a=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .【答案】2a(a+2)(a−2) 14．已知a2+a−1=0，那么a3+2a2+3的值为_ _ _ _ .【答案】415．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成(x−2)(x−8)，另一位同学因看错了常数项而分解成(x−3)(x−5)，则原多项式分解因式的结果应该是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .【答案】(x−4)2 【点拨】设原多项式为ax2+bx+c(其中a，b，c均为常数，且abc≠0).∵(x−2)(x−8)=x2−10x+16，∴ 由题意得a=1，c=16.又∵(x−3)(x−5)=x2−8x+15，∴ 由题意得b=−8.∴ 原多项式为x2−8x+16，将它分解因式，得x2−8x+16=(x−4)2.16．已知有理数a，b，c满足a−b+c−3=0，a2+b2+c2−3=0，则a3+b3+c3−2 026=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .【答案】−2 025 【点拨】根据题意，可令a=1，b=−1，c=1，则a3+b3+c3−2 026=1−1+1−2 026=−2 025.三、解答题（共72分）17．（12分）分解因式：（1） 2ax2−18a3;（2） a4−2a2b2+b4；（3） 25a2(a−3)+(3−a)；（4） (x+2)(x+4)+x2−4.【答案】（1） 【解】原式=2a(x2−9a2) =2a(x+3a)(x−3a).（2） 原式=(a2−b2)2 =(a+b)2(a−b)2.（3） 原式=(a−3)(25a2−1)=(a−3)(5a+1)(5a−1).（4） 原式=(x+2)(x+4)+(x+2)(x−2)=(x+2)(x+4+x−2)=(x+2)(2x+2)=2(x+2)(x+1).18．（8分）利用因式分解进行简便计算：（1） 2 0272−1 9772；（2） 42.52+85×57.5+57.52.【答案】（1） 【解】2 0272−1 9772=(2 027+1 977)×(2 027−1 977)=4 004×50=200 200.（2） 42.52+85×57.5+57.52=42.52+2×42.5×57.5+57.52=(42.5+57.5)2=1002=10 000.19．（8分）如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式.（1） 求整式M，P；（2） 将整式P因式分解；（3） 请直接写出P的最小值.【答案】（1） 【解】M=(3x2−4x−20)−3x(x−3)=3x2−4x−20−3x2+9x=5x−20.P=3x2−4x−20+(x+2)2=3x2−4x−20+x2+4x+4=4x2−16.（2） P=4x2−16=4(x2−4)=4(x+2)(x−2).（3） P的最小值为−16.20．（8分）若干张正方形和长方形卡片如图①所示，其中甲型、乙型卡片分别是边长为a，b(a>b)的正方形，丙型卡片是长为a，宽为b的长方形.选取2张甲型卡片，2张乙型卡片，5张丙型卡片，拼成如图②所示的大长方形卡片.（1） 观察图②，写出一个多项式的因式分解：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；（2） 若图②中甲型、乙型卡片的面积和为136，大长方形卡片的周长为60，求大长方形卡片的面积.【答案】（1） 2a2+5ab+2b2=(2a+b)(a+2b)（2） 【解】∵ 甲型、乙型卡片的面积和为136，∴2a2+2b2=136，即a2+b2=68.∵ 大长方形卡片的周长为60，∴2[(2a+b)+(a+2b)]=60，即a+b=10.∵(a+b)2=a2+b2+2ab，∴102=68+2ab.∴ab=16.∴2a2+5ab+2b2=136+5×16=216，即大长方形卡片的面积为216.21．（10分）数学活动课上，老师带领大家进行数学活动经验总结.【观察与思考】观察下列等式：第1个等式：1×3+1=4=22；第2个等式：2×4+1=9=32；第3个等式：3×5+1=16=42；第4个等式：4×6+1=25=52；……【猜想与验证】根据你发现的规律解决下列问题.（1） 请直接写出第6个等式：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；（2） 写出你猜想的第n个等式（用含n 的等式表示），并证明；【实践与应用】根据上面的结论进行计算.（3） (1+11×3)×(1+12×4)×(1+13×5)×⋯×(1+12 024×2 026).【答案】（1） 6×8+1=49=72（2） 【解】猜想：第n个等式为n(n+2)+1=(n+1)2.证明：等式左边=n2+2n+1=(n+1)2=等式右边，所以等式成立.（3） 原式=1×3+11×3×2×4+12×4×3×5+13×5×⋯×2 024×2 026+12 024×2 026=221×3×322×4×423×5×⋯×2 02522 024×2 026=21×23×32×34×43×45×54×56×65×67×⋯×2 0252 024×2 0252 026=21×2 0252 026=2 0251 013.22．（12分）有一列数：4，12，20，⋯ .这些正整数都能表示为两个连续偶数的平方差，我们把这样的正整数称为“好数”.如：4=22−02；12=42−22；20=62−42;….（1） 设两个连续偶数分别为2k和2k−2（其中k 取大于1的整数），由这两个连续偶数构造的“好数”是4的倍数吗？请通过计算加以说明.（2） 2 032是“好数”吗？请通过计算判断，如果是，它是第几个“好数”？如果不是，写出小于它的最大“好数”.【答案】（1） 【解】由这两个连续偶数构造的“好数”是4的倍数.理由如下：(2k)2−(2k−2)2=(2k−2k+2)(2k+2k−2)=2(4k−2)=4(2k−1).∵k为大于1的整数，∴4(2k−1)是4的倍数.∴ 由这两个连续偶数构造的“好数”为4的倍数.（2） 2 032不是“好数”.令4(2k−1)=2 032,解得k=254.5.∵254.5不是整数，∴2 032不是“好数”.取k=254,代入4(2k−1)得2 028,∴ 小于2 032的最大“好数”是2 028.23．（14分）【阅读材料】要将多项式am+an+bm+bn 分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得到：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n).这时a(m+n)+b(m+n) 中又有公因式(m+n)，于是可以提出(m+n)，从而得到(m+n)(a+b).因此有am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)，这种方法称为分组法.请回答下列问题：（1） 【尝试填空】2x−18+xy−9y=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；（2） 【解决问题】因式分解：ac−bc+a2−b2；（3） 【拓展应用】已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a2−2ab+2b2−2bc+c2=0，试判断这个三角形的形状，并说明理由.【答案】（1） (y+2)(x−9)（2） 【解】ac−bc+a2−b2=c(a−b)+(a+b)(a−b)=(a−b)(a+b+c).（3） 这个三角形是等边三角形.理由如下：∵a2−2ab+2b2−2bc+c2=0，∴a2−2ab+b2+b2−2bc+c2=0.∴(a−b)2+(b−c)2=0.∵(a−b)2≥0，(b−c)2≥0，∴(a−b)2=0，(b−c)2=0.∴a=b，b=c.∴a=b=c.∴ 这个三角形是等边三角形.