专题01 一元函数的导数及其应用（题型清单）（含答案）2026年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）

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题型1 导数定义中的极限运算
1．（24-25高三下·云南昭通·月考）已知，的值为（ ）
A．4B．2C．8D．16
【答案】C
【解析】因为，
则.故选：C.
2．（24-25高三上·贵州贵阳·月考）若函数在区间内可导，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，故选：D.
3．（24-25高三下·上海·月考）已知，则 .
【答案】
【解析】由 ，
因为，所以.
4．（24-25高三上·广东深圳·开学考试）已知，且 ．
【答案】
【解析】，
而，
则.
题型2 导数公式及四则运算法运用
5．（24-25高三上·上海·月考）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由，则.故选：D.
6．（24-25高三上·湖南·月考）若函数及其导函数满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
所以，因为，
所以，解得，
所以，令，可得，解得.故选：D.
7．（2025·山东潍坊·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，且，令，得.
对两边同时求导，
得，即.
令，得.
令，得，故.故选：C.
8．（2025·河北石家庄·一模）已知函数的高阶导数为，即对函数连续求阶导数．例如，则，，，，，…，若，则的展开式中的系数是（ ）
A．360B．280C．255D．210
【答案】D
【解析】因为
所以，
继续求二阶导数得：
，
继续求三阶导数得：
，
……
所以.
所以的系数为.故选：D
题型3 导数的几何意义及其应用
9．（24-25高三上·河南·月考）函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，
因为，所以，
所求的切线方程为，即．故选：A.
10．（24-25高三上·河北承德·开学考试）过点可作曲线的切线条数为（ ）
A．1B．2C．3D．0
【答案】B
【解析】由，
当点是切点时，此时切线的斜率为，此时有一条切线；
当点不是切点时，设切点为，则切线的斜率为，
切线方程为：，该切线过点，
于是有
或（舍去），
综上所述：过点可作曲线的切线条数为，故选：B
11．（24-25高三上·天津武清·月考）若直线 与曲线 相切，则 （ ）
A．B．C．D．4
【答案】B
【解析】设直线与曲线相切于点，
求导可得，因此切线斜率，
又切线过原点，可得，化简可得，
令，则，
当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，，
因此可得，即可得.故选：
12．（24-25高三上·甘肃白银·月考）已知满足，且在处的切线方程为，则 .
【答案】-2
【解析】函数的定义域为R，
因为，所以函数是R上的奇函数，
所以，解得，所以，
又，
故符合要求，则，
因为在处的切线方程为，
所以，即，解得，所以.
题型4 两曲线的公切线问题
13．（24-25高三上·河北邯郸·月考）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据题意，设直线与曲线的切点为，
与曲线的切点为，
而的导数为，的导数为，
所以两曲线的切线分别为，
两条切线对应相同，可得，解得，
所以切线方程为，即，
则.故选：C.
14．（24-25高三上·江西南昌·模拟测试）可与曲线和的公切线垂直的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设与和分别相切于，，
而，，
，，
，解得，，即公切线的斜率为，
故与垂直的直线的斜率为，
所以所求直线方程可为．故选：D．
15．（2025·河南南阳·三模）已知函数与存在公切线，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设公切线与函数及函数的切点分别为，
，且，，
故两切线方程为，，
即，，
与存在公切线，
所以有解，消去后得：，
令，，
易得在上单调递增，且时，；时，，
故在区间上递减，在上递增．
所以，的最小值为，
即的最小值为，即实数的最小值为．故选：B．
16．（24-25高三上·湖南岳阳·期末）曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】两个函数求导分别为，
设，图象上的切点分别为，，
则过这两点处的切线方程分别为，，
则，，所以，
设，，，
令，所以，
所以在上单调递增，且，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，.故选：B.
题型5 过曲线上一点的多切线问题
17．（24-25高三下·上海·月考）从点可向曲线引三条不同切线，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】切点设为，其中
有三个不同的解
即有三个不同的解
设 ，该函数有三个不同零点,
，
令，则或，
令，则或，
令，则，
所以：函数在区间单调递减，在区间上单调递增，
所以函数在和处取得极值，
要想函数有三个不同零点，
则，即，所以
18．（24-25·山西太原·月考）若过点可以作的三条切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意，设切点坐标为，由，求导得，
则函数的图象在点处的切线方程为，
由切线过点，得，
令，依题意，直线与函数的图象有3个公共点，
，当或时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数取得极小值，而当时，恒有，
又，因此当时，直线与函数的图象有3个公共点，
所以实数的取值范围是.故选：B
19．（24-25高三下·海南儋州·模拟预测）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】在曲线上任取一点， ，
所以曲线在点处的切线方程为.
由题意可知，点在直线上，可得，
令函数，
则.
当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，
所以.
设，所以，
所以当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，所以，
所以，
当时，，所以，
当时，，所以，
的图象如图：
由题意可知，直线与的图象有两个交点，则.故选：B
20．（24-25高三下·广东·月考）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设切点为，∴切线的斜率，
∴切线方程是，
∵切线过点A（a，0），
∴，即，
∵过点A（a，0）可以作两条切线，
∴方程有两个不同的根，
∴＝（a+1）2﹣4＞0，解得a＞1或a＜﹣3．故选：D.
题型6 不含参函数的单调性问题
21．（24-25高三上·贵州贵阳·月考）已知定义在区间上的函数，则的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．，D．
【答案】C
【解析】，，则，，
由有，由，解得或，
所以的单调递增区间为和.故选：C.
22．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数，则的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】的定义域为，
，
令，解得，
故的单调递减区间为，故选：B
23．（2025·湖北·模拟预测）下列函数在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】对于A，的定义域为，
在上单调递增，在上单调递增，不满足在上单调递增，故A错误.
对于B，在上单调递减，不满足在上单调递增，故B错误.
对于C，，满足在上单调递增，故C正确.
对于D，在上单调递减，在上单调递增，
不满足在上单调递增，故D错误.故选：C.
24．（24-25高三上·湖北武汉·月考）已知函数，写出函数的单调递减区间 ．
【答案】
【解析】，，
令，即，解得或.
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增.
综上可知，函数的单调递减区间为.
题型7 含参函数的单调性问题
25．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则的单调增区间为 ．
【答案】当时，函数单调递增区间为；
当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为
【解析】函数的导函数，
①，若，；若，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
②，，此时函数在上单调递增．
③，若，；若，，
此时函数在上单调递减，在上单调递增．
综上所述：当时，函数单调递增区间为；
当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为.
故答案为：当时，函数单调递增区间为；
当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为
26．（24-25高三下·宁夏石嘴山·月考）已知函数，.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)试判断函数的单调性.
【答案】(1)；(2)答案见解析
【解析】（1）当时，，则，所以，，，
故当时，函数在点处的切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，，
当时，，的减区间为，无增区间；
当时，令，，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
综上所述，当时，的减区间为，无增区间；
当时，的减区间为，增区间为.
27．（24-25高三下·广东·开学考试）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
【答案】(1)；(2)答案见解析
【解析】（1）当时，，则，
从而，，
故所求切线方程为，即（或）.
（2）由题意可得.
当，即时，由，得或，由，得，
则在和上单调递增，在上单调递减；
当，即时，恒成立，则在上单调递增；
当，即时，由，得或，
由，得，则在和上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
28．（24-25高三下·河南新乡·月考）已知函数
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)试讨论的单调性．
【答案】(1)；(2)见解析
【解析】（1）当，，
所以，
所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）因为，
所以.
当时，，令，得，
令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
当时，令，解得或.
当时，，所以在上单调递增.
当时，，令，解得或，
令，解得，
所以在和上单调递增，在上单调递减.
当时，，令，解得或，
令，解得，
所以在和上单调递增，在上单调递减.
综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时， 在上单调递增，
当时，在和上单调递增，在上单调递减，
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
题型8 根据函数的单调性求参数
29．（24-25高三上·广东清远·月考）设函数在区间上单调递减，则正数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由得，
因为，所以，，
由解得，
由解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为函数在区间上单调递减，
故，解得.故选：A
30．（24-25高三上·江苏镇江·月考）若在上是单调递增函数，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】由题意可知，
因为恒成立，
所以在上是单调递增函数，即在上恒成立，
因为是一元二次函数，对称轴为，
所以在单调递减，在单调递增，
所以在上恒成立，只需，解得，
即实数的取值范围为，
31．（24-25高三上·上海·月考）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】法一：，
由题意可知在上有解，即有正实数解，
当时，显然满足要求，
当时，只需满足，即，
综上：的取值范围为.
法二：，
由题意可知在上有解，
即在上有解，即在上有解，
所以，则的取值范围为.
32．（24-25高三上·河北张家口·月考）已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题得定义域为R，，
所以时，；时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又函数在区间上不单调，
所以，故m的取值范围是.
题型9 导数构造法解函数不等式
33．（24-25高三下·上海·月考）定义在上的函数为奇函数，其导数为，且当时，，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，当时，，
所以在上单调递减，又因为函数为定义在上奇函数，
为定义在上奇函数，所以为定义在上的奇函数，
则在上单调递减，即函数在上单调递减，
所以由可得：，
即，所以，故选：C.
34．（24-25高三上·福建宁德·月考）已知定义在上的奇函数满足，，当时，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】令，则，
由题可知，当时，，故在单调递减；
又为奇函数，也为奇函数，故为偶函数，则在单调递增；
又，则，画出的模拟草图如下所示：

当时，，则，数形结合可知，此时；
当，因为为上的奇函数，故，不满足题意；
当，，则，数形结合可知，此时；
综上所述：的解集为.故选：A.
35．（2025·贵州毕节·二模）已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令，则，
由题意知当时，，故在上单调递增，
因为函数是定义域为的奇函数，
所以，
所以，
所以是定义域为的偶函数，
所以在上单调递减，
又因为，所以，所以，
所以当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则.
则不等式的解集为.故选：D.
36．（24-25高三下·重庆南岸·月考）函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设.
对求导，则.
已知，即，而恒成立，所以恒成立.
这说明函数在上单调递增.
已知，则.
不等式可变形为，即，也就是.
因为在上单调递增，所以.
不等式的解集为，.故选：B
题型10 与极值有关的函数图象问题
37．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ）
A．当时，取得极大值B．在上是增函数
C．当时，取得极大值D．在上是增函数，在上是减函数
【答案】D
【解析】根据导函数的图象可知，
当时，，当时，，
可知在内单调递减，在单调递增，
所以当时，取得极小值，当时，取得极大值，当时，取得极小值，
故ABC错误，D正确.故选：D.
38．（25-26高三上·湖南常德·开学考试）函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．是函数的一个零点
B．是函数的极小值点
C．是函数的极大值点
D．函数在区间上单调递增
【答案】D
【解析】根据导函数的图像可知，当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
可知是函数的极值点，不足以说明是函数零点.
因为函数在上单调递增，
可知不是函数的极小值点，也不是函数的极大值点，
所以ABC不正确，故D正确.故选：D.
39．（24-25高三下·上海·月考）设 ，若函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，
由图可知当时，当时，所以，，
又，
由图象可知，函数有两个极值点，并且函数是先增后减再增，所以极大值点小于极小值点，
所以有两个零点，不妨设为，则，，且，
所以导函数的图象如下图所示：
所以，，则，所以，，，.故选：A
40．（2024·贵州黔南·一模）三次函数的图象如图所示.下列说法正确的是（ ）
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
【答案】D
【解析】函数，求导得，
观察函数图象，得函数有异号两个极值点，且，
函数在上单调递增，在上单调递减，，排除A；
由，得则，
，得，排除C；
由不等式的解集为，得，即，排除B；
又是方程的二根，，则，选项D符合题意.故选：D
题型11 利用导数求解函数的极值
41．（2025·河南新乡·三模）已知函数的极小值为，则实数的值为（ ）
A．8B．6C．4D．2
【答案】A
【解析】由已知得，令，得，
当时，单调递减，
当或时，单调递增，
所以的极小值为，解得.故选：A.
42．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意，由，可得
函数有两个极值点，即方程在内有两个不等实根，
即函数与在上有两个交点，
因，，，
所以，解得.故选：A.
43．（24-25高二下·江西·月考）若函数存在极值点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由函数，可得，
因为函数存在极值点，则满足，
即，解得或，
所以实数的取值范围为.故选：B.
44．（2025·四川成都·模拟预测）若函数存在唯一极值点，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【解析】，因为存在唯一极值点，
所以存在唯一变号根.
即存在唯一变号根，设，，
函数在上单减；在上单增，在上单减；
当时，；当时，；
则实数a的取值范围为.
题型12 利用导数求解函数的最值
45．（24-25高三上·河北唐山·月考）已知函数，则的最大值是 .
【答案】
【解析】，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
则时，有最大值，
最大值为.
46．（2024·重庆·模拟预测）若函数，在区间的最大值为8，无最小值，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为，则，
所以当或时，当时，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
且，，，
因为在区间的最大值为8，无最小值，
所以且，解得，
则.
47．（2025·湖北黄冈·模拟预测）若函数在区间的值域为，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为，则，
所以当或时，当时，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
且，，，
因为在区间的值域为，所以，解得，
此时，，
又，∴，则.
48．（2025·河南信阳·模拟预测）若函数的最小值为1，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】，
令，原式可化为，
当单调递增，当单调递减，
当且仅当时，取得最小值1，
所以有解，即有解.
记，
当在单调递增，当在单调递减，
故，且当，
所以，所以，
所以实数的取值范围为.
瞬时变化率的变形形式
lim∆x→0fx0+∆x−f(x0)∆x=lim∆x→0fx0−∆x−fx0−∆x=lim∆x→0fx0+n∆x−f(x0)n∆x=lim∆x→0fx0+∆x−f(x0−∆x)2∆x=f'(x0)．
（1）求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导；
（2）抽象函数求导，恰当赋值时关键，然后活用方程思想求解；
（3）复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．
（1）处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程： = 1 \* GB3 ①切线处的导数是切线的斜率； = 2 \* GB3 ②切点在切线上； = 3 \* GB3 ③切点在曲线上．
（2）注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”．
公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程组求解．
过曲线上一点的多切线问题的核心是“以切点为变量，通过切线过已知点建立方程，转化为方程解的个数问题”．解题时需严格遵循“设切点→写方程→化简→分析解的个数”的步骤，结合函数单调性、极值与定义域综合判断，同时规避混淆概念、计算错误等易错点，即可高效求解．
确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
（1）研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
（2）划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
由函数的单调性求参数的取值范围的方法
（1）函数在区间上单调，实际上就是在该区间上（或）恒成立．
（2）函数在区间上存在单调区间，实际上就是（或）在该区间上存在解集．
关系式为“加”型构造：
构造
（2） 构造
（3） 构造
（4）构造（注意的符号）
（5） 构造
关系式为“减”型构造：
（6） 构造
（7） 构造
（8） 构造
（9） 构造（注意的符号）
（10） 构造
解决与极值有关的函数图象问题，需紧扣“导数→单调性→极值点→图像特征”的逻辑链．
极值点对应图象的“转折点”：在该点左侧图象上升（）、右侧下降（）→极大值点；左侧下降、右侧上升→极小值点．
注意：图象连续但“尖点”处（如的）导数不存在，但仍是极值点；光滑处导数为0且趋势转折才是极值点．
根据函数的极值（点）求参数的两个要领：
（1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
（2）验证：求解后验证根的合理性．
求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值．