专题02 利用导数研究曲线的切线问题18种常见考法归类讲义 2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版）

这是一份专题02 利用导数研究曲线的切线问题18种常见考法归类讲义 2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版），共19页。

考法深研·解题技能通关
题型01 求曲线切线的斜率
1．（四川自贡市2025-2026学年高三学期期末考试数学试题）函数在处切线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2026高三·福建泉州·阶段检测）曲线在处的切线的斜率为（ ）
A．B．1C．D．
3．（2026高三·重庆·阶段检测）曲线在处的切线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2026高三·上海·期末）函数在处的切线斜率为________.
5．（2026高三·上海松江·期中）曲线在点处的切线斜率为_______．
题型02 求切线倾斜角
6．（2026高三·广西南宁·期中）曲线在处的切线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
7．（2026·福建福州·模拟预测）曲线在处的切线的倾斜角为__________．
8．（2026高三·河南驻马店·阶段检测）已知函数，则曲线在处的切线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
9．（2026·山西忻州·模拟预测）设函数，则曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
10．（2026高三·安徽阜阳·阶段检测）曲线在处的切线的倾斜角为，曲线在处的切线的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2026·福建·模拟预测）若曲线在处的切线的倾斜角为，则（ ）
A．B．2C．D．
12．【多选】（2026高三·河北石家庄·期中）若点在曲线上，且曲线在点处的切线的倾斜角为，则可以取（ ）
A．B．C．D．
13．（2026高三·河北保定·期中）若是曲线上任意一点，则曲线在点处的切线倾斜角的最小值为（ ）
A．B．C．D．
14．（2026高三·北京·期中）点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
题型03 曲线在某点处的切线问题
15．（2026高三·湖北十堰·期末）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
16．（江西上饶市2025-2026学年高三学期7月期末数学试题）曲线在处的切线方程为_____．
17．（2026高三·广西崇左·期末）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
18．（福建宁德市2025-2026学年高三学期期末考试数学试题）定义在上的奇函数满足当时，，在处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
题型04 已知曲线和切线斜率求切点坐标
19．（2026高三·全国·课堂例题）曲线上切线平行或重合于x轴的切点坐标是________．
20．（2026高三·北京·期中）曲线的一条切线斜率为0，则该切线的切点坐标为________．
21．（2026高三·湖北·期末）若直线是函数图象的切线，则其切点坐标为________.
22．（2026高三·北京·阶段检测）直线是曲线的一条切线，切点坐标为______，实数______．
23．（2026高三·吉林长春·期中）已知偶函数，若曲线的一条切线斜率为2，则切点的横坐标为________.
24．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）过点作曲线的切线，则切点坐标为______.
题型05 已知切点和切线斜率求参数
25．（2026·湖北襄阳·模拟预测）若函数的图象在处的切线过点，则_____________．
26．（重庆市2025-2026学年高三学期期末考试数学试卷）若函数在点处的切线方程为，则实数的值为______.
27．（2026高三·全国·一轮复习）设函数，曲线在处的切线方程为，则的值为______．
题型06 过某点的曲线的切线问题
28．（2026高三·四川成都·期中）函数过的切线方程为_______________．
29．（2026·福建福州·模拟预测）曲线过点的两条切线的方程为________，________.
30．（2026高三·北京顺义·阶段检测）已知函数，则过原点且与函数图象相切的直线方程为__________．
31．（2026高三·广东惠州·期中）过点作函数图像的切线，则切线方程为__________.
32．（2026高三·天津·阶段检测）已知函数，则过点且与曲线相切的直线方程为______
题型07 过点切线条数问题
33．（2026高三·全国·一轮复习）函数过点的切线条数为（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
34．（2026高三·山东青岛·期中）过点作曲线的切线，不同的切线条数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
35．（2026高三·重庆·期中）已知函数，过原点作函数的切线，则可作的切线条数为（ ）
A．无数条B．3条C．2条D．1条
36．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）过坐标原点可作曲线的切线条数为（ ）
A．1条B．2条C．3条D．无数条
37．（2026高三·江苏苏州·开学考试）过点作曲线的切线，则切线条数最多为（ ）
A．B．C．D．
题型08 根据切线条数求参数
38．（2026·重庆万州·模拟预测）过点有两条直线与的图象相切，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
39．（2026高三·吉林长春·阶段检测）已知，若曲线存在两条过点的切线，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
40．（2026高三·山东济宁·期中）若过点可以作函数的三条不同的切线，则t的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
41．（2026高三·黑龙江哈尔滨·期中）已知曲线有两条过点的切线，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
42．（2026高三·江苏无锡·期中）过点的曲线的切线有2条，则的取值范围为________．
43．（2026·安徽安庆·模拟预测）过曲线：外一点作的切线，恰好可作两条，则（ ）
A．B．C．D．
题型09 切线平行、垂直问题
44．（2026高三·江西·期中）设曲线在点处的切线与直线平行，则实数（ ）
A．B．
C．D．
45．（2026高三·宁夏银川·阶段检测）函数在处的切线与直线平行，则实数（ ）
A．B．1C．D．
46．（2026高三·广东揭阳·期中）已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，则（ ）
A．B．C．D．
47．（2026高三·广东广州·期中）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则实数m的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
48．（2026高三·山东青岛·阶段检测）已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．1
49．（2026高三·全国·寒假作业）若函数的图象上一点点处的切线与直线垂直，则（ ）
A．B．0C．D．
题型10 与切线相关的最值问题
50．（2026高三·山西·期末）已知点P是曲线上一点，若点P到直线的距离最小，则点P的坐标为___________.
51．（2026高三·山东临沂·阶段检测）已知为曲线上的一动点，为直线上的一动点，则当的坐标为________时，最小，此时最小值为________．
题型11 求公切线方程
52．（2026高三·江苏苏州·期中）曲线与曲线的公切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
53．（2026·河南·模拟预测）已知直线l与曲线和都相切，则直线l的方程为_________．
54．（2026·福建泉州·模拟预测）已知曲线和有两条公切线，其中一条为直线，则另外一条公切线的方程为________．
55．（2026高三·重庆沙坪坝·阶段检测）若直线与曲线和均相切，则直线的方程为_______.
56．（2026高三·四川成都·期中）若直线与曲线相切于点P，与曲线相切于点Q，则__________．
题型12 判断公切线条数
57．（2026高三·山东菏泽·阶段检测）若直线与曲线和都相切，则直线的条数有（ ）
A．B．C．D．无数条
58．（2026高三·山东枣庄·期中）已知（为自然对数的底数），，则与的公切线条数（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
59．（2026·河北沧州·模拟预测）已知直线与曲线和曲线均相切，则实数的解的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．无数
60．（2026高三·江苏·阶段检测）若直线与曲线和曲线都相切，则直线的条数有（ ）
A．1B．2C．3D．无数条
题型13 由公切线求参
61．（2026高三·云南文山·阶段检测）已知函数与的图象在 处的切线重合，则（ ）
A．B．C．D．
62．（2026·河北张家口·模拟预测）已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________．
63．（2026高三·湖北·阶段检测）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则__________．
题型14 由公切线存在求参数
64．（2026高三·天津南开·期中）已知函数，，若存在直线l既是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
65．（2026高三·湖北·期中）若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是__________.
题型15 由公切线条数求参数
66．（2026·湖南岳阳·模拟预测）已知，函数的定义域为的定义域为，若与恰好有2条公切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
67．（2026高三·江苏无锡·期中）已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围是__________．
68．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）若曲线和圆存在4条公切线，则的取值范围是_____.
69．（2026·甘肃兰州·模拟预测）若曲线与曲线有两条公切线，则的取值范围为______．
题型15 利用公切线求表达式的值
70．（2026高三·浙江·阶段检测）已知两点在曲线上， 两点在曲线上，设. 当直线均为曲线和公切线时，则的值为（ ）
A．1B．C．2D．
71．（2026·河北·模拟预测）若函数的图象在点处的切线恰好与函数 的图象切于点，则（ ）
A．B．C．D．
72．（湖南省天壹名校联盟2025-2026学年高三学期12月大联考数学（理）试题）已知函数，，直线分别与曲线，相切于点，，则（ ）
A．0B．1C．2D．
73．（2026高三·天津武清·阶段检测）若函数的图象在点处的切线恰好与函数的图象切于点，则________________．
题型16 公共点处公切线问题
74．（2026高三·湖南长沙·阶段检测）若曲线与圆有公共点，且在点处的切线相同，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．1
75．（2026高三·江苏苏州·期末）已知函数，，若曲线与在点处有相同的切线，则实数的值为______．
76．（2026·吉林·模拟预测）若曲线与曲线在它们的公共点处有相同的切线，则_______．
77．（2026高三·全国·一轮复习）已知两函数，的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则a的值为______．
题型17 公切线斜率/截距最值
78．（2026·湖南湘西·模拟预测）若直线与函数和的图象均相切，则实数的最大值为___________．
79．（2026高三·全国·一轮复习）直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则的最大值是（ ）
A．B．C．2eD．4e
80．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）若直线同时是曲线和曲线的切线，则斜率的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
81．（2026·山东东营·模拟预测）已知，则函数与公切线斜率的最大值为_________．
1. 导数几何意义：函数在处的切线斜率；
2. 求导步骤：先对函数求导，再将切点横坐标代入导函数，计算结果即为斜率；
3. 复合/四则/指对函数严格遵循求导法则；
4. 易错提醒：只有在函数图像上的点，导数值才是该点切线斜率。
1. 先求切点处导数得到切线斜率；
2. 设倾斜角，满足；
3. 分类求解：
①，；
②，；
③，；
4. 取值范围题型：先求导函数值域，再结合正切函数图像确定范围。
1. 判定：点在曲线上；
2. 两步求解：
①求导代入得斜率；
②点斜式写切线：，整理为一般式；
3. 分段/奇偶函数：先求出该点对应区间解析式再求导；
4. 检验：切线方程代入原切点，等式成立才算正确。
1. 设切点横坐标，求导得（已知斜率）；
2. 解方程求出，再代入原函数求出纵坐标；
3. 多解情况：每个对应一个切点；
4. 限制条件：切点必须在函数定义域内，舍去无意义解。
1. 切点双重条件：
①切点在曲线上：将代入成立；
②切点导数等于切线斜率：；
2. 联立两个等式，构造方程组求解参数；
3. 多参数逐一解出，最后回代检验是否符合题意。
1. 区分两种情况：点在曲线上、点不在曲线上；
2. 通用解法（无论点是否在曲线）：
①设切点；
②切线斜率，写出切线方程；
③将已知定点代入切线方程，解关于的方程；
④每个有效对应一条切线；
3. 易错：定点在曲线上也不能直接默认，必须解方程验证。
1. 按上面方法构造关于切点横坐标的方程；
2. 方程实数根的个数=切线条数；
3. 三次型方程：结合导数、零点存在定理判断根的个数；
4. 三角函数型：结合周期性、值域判断解的数量。
1. 设切点，代入定点得到关于的方程；
2. 切线条数等价于实数根个数；
3. 构造函数，求导分析单调性、极值；
4. 根据极值正负、极限图像，列不等式求出参数范围。
1. 平行条件：两条切线斜率相等；
2. 垂直条件：两条切线斜率乘积（一条水平一条竖直除外）；
3. 直线与切线平行/垂直：先写出已知直线斜率，再令满足等量关系解方程；
4. 两条不同曲线切线平行：分别求导，令导数相等求解横坐标/参数。
1. 曲线上点到定直线距离最值：
①距离最小/最大的点处切线与定直线平行；
②令直线斜率，解出切点再用距离公式计算；
2. 公切线斜率/截距最值：设两切点，联立公切线条件，构造单变量函数求导求最值；
3. 切线相关线段、面积最值：写出切线表达式，转化函数求极值。
1. 设曲线切点，曲线切点；
2. 分别写出两条切线：
，；
3. 同一条直线满足两个条件：斜率相等、截距相等；
4. 解方程组得到，代回写出切线方程。
1. 按公切线条件建立关于（或）的单变量方程；
2. 构造辅助函数，求导分析单调区间、极大极小值；
3. 结合函数两端极限，判断函数与轴交点个数，交点数=公切线条数。
1. 两曲线存在公切线，设双切点，联立斜率、截距方程组；
2. 消去切点变量，得到含参数等式；
3. 方程有解为前提，解方程直接求出参数值。
1. 联立公切线斜率、截距等式，消元得到单变量函数；
2. 题意等价于有实数解；
3. 求极值、值域，根据方程有解列不等式，解参数范围。
1. 转化为辅助函数零点个数问题；
2. 求导得到极值点，计算极大、极小值；
3. 根据零点个数要求（1/2条公切线）列出极值正负不等式，求解参数区间。
1. 设两条曲线上切点，利用斜率相等、截距相等建立方程组；
2. 不需求出切点具体值，整体代换、韦达变形，直接求出代数式结果；
3. 两根对称题型：若是方程两根，利用韦达定理求和/积。
1. 两个条件同时满足：
①公共点：；
②同切线：；
2. 联立两个方程，解切点横坐标与参数；
3. 圆与曲线公共切线：圆切线斜率可用圆心与切点连线垂直快速推导。
1. 设双切点，联立公切线条件，将斜率/截距表示为单一变量函数；
2. 对该函数求导，找极值点；
3. 比较极值、区间端点，得到最大值或最小值。