重难点培优02 平面向量中的最值范围问题（培优讲义）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版）

这是一份重难点培优02 平面向量中的最值范围问题（培优讲义）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版），共102页。
\l "_Tc26125" 知识点01 平面向量求最值范围的三大方法 PAGEREF _Tc26125 \h 1
\l "_Tc12860" 知识点02 向量三角不等式 PAGEREF _Tc12860 \h 2
\l "_Tc15934" 知识点03 极化恒等式 PAGEREF _Tc15934 \h 2
\l "_Tc26236" 题型深研·通法变式提能力 PAGEREF _Tc26236 \h 3
\l "_Tc28453" 题型1 利用三角向量不等式求最值范围 PAGEREF _Tc28453 \h 3
\l "_Tc24172" 题型2 平面向量基本定理基底型最值问题 PAGEREF _Tc24172 \h 4
\l "_Tc3202" 题型3 向量数量积相关最值问题 PAGEREF _Tc3202 \h 7
\l "_Tc1908" 题型4 向量模长类最值问题 PAGEREF _Tc1908 \h 9
\l "_Tc23602" 题型5 向量含参取值范围问题 PAGEREF _Tc23602 \h 11
\l "_Tc19879" 题型6 向量结合几何图形综合最值问题 PAGEREF _Tc19879 \h 13
\l "_Tc10473" 题型7 极化恒等式求最值 PAGEREF _Tc10473 \h 16
\l "_Tc19505" 分层进阶·双阶训练验成效 PAGEREF _Tc19505 \h 18
\l "_Tc14172" 巩固过关 PAGEREF _Tc14172 \h 19
\l "_Tc23109" 创新提升 PAGEREF _Tc23109 \h 19
知识精讲·重难聚焦讲技巧
\l "_Tc25045" 知识点01 平面向量求最值范围的三大方法
（1）定义法
定义法是依托向量本身的概念、线性运算与数量积运算完成转化的基础解题方法。
结合向量模长、夹角、数量积等核心定义，对题目给出的条件进行变形转化，梳理出清晰的等式或者不等式关系；
完成转化后，结合初中二次函数值域、高中基本不等式等代数工具，对整理后的代数式进行分析，求出对应目标的最值或是取值范围，最终得到题目的答案。
（2）基底法
基底法适用于不方便建系、但存在一组长度与夹角已知的固定向量的题型，核心是统一向量表达形式。
观察题干条件，挑选一组长度、夹角已知的非共线向量作为基底，把题目中所有零散向量，全部通过线性运算转化为这一组基底的线性组合；
利用向量加法、数乘、数量积运算律展开、化简目标表达式，构造出含有未知参数的关系式；
结合二次函数、基本不等式、三角函数取值范围等知识，对含参关系式分析计算，求出目标向量的最值或取值范围。
（3）坐标法
坐标法是解决向量最值问题最通用、最直观的方法，适合带有垂直、矩形、直角三角形等规则几何图形的题型。
根据图形特点建立合适的平面直角坐标系，将三角形、四边形等几何图形放置在坐标系中，用具体坐标标注图形上所有关键点，同时把题目中出现的向量全部转化为坐标形式；
将向量加减、数乘、数量积等全部运算转化为坐标之间的代数计算，去掉向量符号，变为纯代数式；
对化简后的代数式，灵活选用二次函数配方法、基本不等式、三角函数有界性等数学工具，求解目标向量模、数量积、参数的最值与取值范围。
\l "_Tc25045" 知识点02 向量三角不等式
设任意两个向量，有不等式，当且仅当至少有一个为时，向量不等式的等号成立．
特别地：或当且仅当至少有一个为时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立．
\l "_Tc25045" 知识点03 极化恒等式
极化恒等式用于把向量数量积转化为模长运算，简化最值计算，分两种常用形式：
（1）平行四边形形式
若在平行四边形中，则
（2）三角形中点形式
在中，为的中点，所以
题型深研·通法变式提能力
题型1 利用三角向量不等式求最值范围
例1．已知向量满足，则的取值范围是__________．
【答案】
【详解】∵
∴
∴，即；
当且仅当与方向相同或与至少有一个为零向量时取等号，
，即.
当且仅当与方向相反或与至少有一个为零向量时取等号，
∴的取值范围是
故答案为：.
变式1-1．已知向量，满足，，则的取值范围是_________.
【答案】
【详解】由于
，
故答案为：
变式1-2．设单位向量，已知，则的最小值为（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】C
【详解】设，
因为单位向量，，
则，
则，等号成立时方向相反，
故的最小值为.
故选：C
变式1-3．已知为等边三角形，AB=2，△ABC所在平面内的点P满足，的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：，
所以，，
由平面向量模的三角不等式可得，
当且仅当与方向相反时，等号成立.
因此，的最小值为，
故选：C
题型2 平面向量基本定理基底型最值问题
例2．如图，在中，点满足，为线段上的一点，若，则的最大值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，所以，所以，
显然，又三点共线，所以，
由基本不等式得，所以，
当且仅当，即时，等号成立．
所以的最大值为．
变式2-1．如图所示，在中，为上一点，且满足，则的最小值为__________.
【答案】6
【详解】由可得，
由得，
因为三点共线，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为6.
变式2-2．如图所示，已知梯形中，，，E为线段的中点，且线段与的交点为F，设，．
(1)用表示；
(2)求的值；
(3)若，点G在线段CD上运动，设，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）因为，，
所以，
所以，
又E为线段的中点，
所以．
（2）设，则，
，
因为共线，所以存在一个非零实数，使得，即，
所以，两式相除可得，
所以．
（3）设，，，
，
因为，
所以，
所以，解得，
所以，
由对勾函数的性质可得，当时，．
变式2-3．在直角梯形中，，，，E，F分别为，的中点，以A为圆心，为半径的圆交于G，点在弧上运动（如图）.若，其中，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：建立如图所示的坐标系，
则，，
由得，，
，，
，

，其中，
所以当，即时，取得最大值．
题型3 向量数量积相关最值问题
例3．已知向量，，满足，，，若，则的最小值为（ ）
A．8B．7C．6D．5
【答案】B
【详解】已知，设，，，
则由得；由得，
由，平方得代入，得，
化简得： ，即，
则，因此只需要求的最小值，
由，不妨设，代入得： 即的最小值为，
因此的最小值为.
变式3-1．已知平面向量、、满足：与的夹角为锐角，，，，且的最小值为，向量的最大值是________．
【答案】
【详解】由题意得，，则 ，
由最小值为，且由二次函数分析可知，
当时，取得最小值，
所以 ，解得，
又与的夹角为锐角，则，此时，
所以，设，
由,
又，故．
变式3-2．已知向量，满足，定义，若，则的最大值为（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】D
【详解】设，，
由，得，所以，即，
所以，
设，则，即，
所以根据辅助角公式，，所以，即的最大值为.
变式3-3．已知向量，，且与的夹角为.
(1)求；
(2)求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由得，
又，夹角，则.
，
故.
（2），
当时，最小值为.
题型4 向量模长类最值问题
例4．已知，是两个非零向量，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设，则，
因此，解得，
则，
当且仅当时取等号，所以的最大值为.
变式4-1．已知平面向量，，满足且，向量满足，则的最大值是______．
【答案】
【详解】已知平面向量，，满足且，
设，，，
，代入坐标得：
，
可知点在圆心，半径为的圆上，
则的最大值等于原点到圆心的距离加上圆的半径，
即.
变式4-2．若向量满足，，则的最小值为________
【答案】2
【详解】由，所以，所以，
又由，
，
所以，
所以，
当且仅当与同向时，等号成立.
所以的最小值为.
变式4-3．已知，，是在同一平面内的三个单位向量，且，，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，，是在同一平面内的三个单位向量，且，
所以，设，的夹角为，，的夹角为；
因为，，故，；
如图所示，，；
则有；
由
，
由可知；
则
；
因为，故，则；
可得；
故．
题型5 向量含参取值范围问题
例5．在中，点是边上异于端点的一点，若，则的最小值为______．
【答案】
【详解】在中，点是边上异于端点的一点，，
根据向量共线定理，可知，，．
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
变式5-1．已知，，与的夹角．
(1)求的值；
(2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得，，.
∵ ，
代入，，，
∴ ，
∴ .
（2）∵ 向量与的夹角为锐角，
∴ ，且两向量不同向.
先解不等式，展开得 ，
代入数值得 ，
整理得 ，解得 .
当两向量共线同向时，存在，使得，
由系数对应相等可得 ，解得 ，即，
∵ ，∴ ，需排除该值.
综上，实数的取值范围是.
变式5-2．已知平面向量，，若在上的投影向量为，则的最大值为______．
【答案】
【详解】由在上的投影向量为，则，由于考虑最大值，
不妨设，则，
当且仅当，解得，即时等号成立，所以的最大值为.
变式5-3．已知点是单位圆劣弧上一点，，以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，设，则，如图所示，若，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【详解】依题意可得，，而，由，
得，则，
由，得，因此，
所以的取值范围是．
题型6 向量结合几何图形综合最值问题
例6．已知点是的重心，若，，则的最小值是________．
【答案】
【详解】
如图所示，已知，，则，化简得，
由，所以，当且仅当时等号成立，
由于点是的重心，所以，所以，
因为，即，
因此，所以的最小值是.
变式6-1．如图，已知，均为等边三角形，，，分别为，，的中点，为内一点（含边界），，的最大值为________．
【答案】
【详解】因为不共线，故以为基底向量.
因为是中点，所以，同理得，
因为是中点，所以，所以，
，，
综上，
，
，
.
因为线性目标函数在可行域（含边界）上的最大值必在顶点处取得，
当与重合时：，得，；
当与重合时：，得，；
当与重合时：，得，；
显然，因此的最大值为.
变式6-2．已知是边长为2的等边三角形，点D在边上，且，若平面内动点P满足，则的最小值为_____.
【答案】
【详解】以的中点为原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立如图坐标系.
则，设，
因为，所以得.
所以.
.
，所以，所以.
所以.
当时，取得最小值，最小值为.
变式6-3．如图，在中，为的中点，，，是圆心为、半径为的圆的动直径，则的取值范围是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
，
又
，
且，所以．
设与的夹角为，
则．
因为，所以．
题型7 极化恒等式求最值
例7．已知是边长为的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系
设 ，
则
所以
所以最小值为
所以选B
【点睛】本题考查了向量数量积在平面几何中的简单应用，建立坐标系是常用的方法，属于中档题．
变式7-1．的斜边等于4，点在以为圆心、1为半径的圆上，则的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】 .
注意，，
所以当与同向时取最大值5，反向时取小值-3.
故选C.
【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算，以及几何图形中向量问题的求解.属于中档题.
变式7-2．如图，在中，，为中点，点在上，，，，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由，为中点，则，
因为，，所以为等边三角形，
则，，而，则，
由，，
所以
.
故选：B.
变式7-3．铜钱，古代铜质辅币，大多为圆形方孔，其几何形状如图所示．若图中正方形ABCD的边长为2，圆O的半径为3，正方形ABCD的中心与圆O的圆心重合，动点P在圆O上，则（ ）
A．1B．5C．7D．8
【答案】C
【详解】
连接，，，则；
故，；
故，
，，
故．
分层进阶·双阶训练验成效
巩固过关
1．已知O为的重心，若，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【详解】如图：若O为的重心，则为的中点，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，所以当时，取到最大值.
2．若平面向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量的模的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设平面向量、夹角为，
则在上投影向量的模为，且，
由，平方可得，
又因为，
可得：，
令，则，
由，
所以，整理得：，
解得：，
即，
所以，
即在上投影向量模的最大值为.
3．在梯形中，，，，，点，分别在线段，上运动，若，则，求的最大值（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，

由题意得各点坐标：，，，，
已知，且在线段上，故，即， ，
由得，因此，
则，
该式为开口向下的二次函数，对称轴为，代入得最大值： ，
即的最大值是，故D正确.
4．已知圆的半径为2，弦长度为2，为圆上的动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，；
故，
因为半径为2，故，
因为，故为等边三角形，；
代入整理可得；
，，故，
故．
5．已知平面向量，满足，，则的最大值为（ ）
A．4B．C．D．6
【答案】A
【详解】设原点为，令，，则，可得.
根据向量夹角的定义，与的夹角为，即中，即的长度.
对应用正弦定理得，代入，，得，
因为正弦值满足，当时取最大值1，因此的最大值为.
6．如图，在四边形中，，，是线段上的一动点，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，所以，
设，则，解得，
又因为，
且、不共线，所以，这两个等式相加得，
因为，，由基本不等式可得，解得，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为.
7．若点G是所在平面上一点，且，H是直线上一点，，则的最大值是（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】D
【详解】因为，所以，
则，所以是的重心，且、、三点共线，为直线外一点，由向量共线定理可知：，
将代入得：，
化简得：，
又因为，所以，，消去得：，为使取得最大值，显然，，
由基本不等式得：，所以，则，
当且仅当，即：，的时候等号成立，所以的最大值为.
8．（多选）已知，为非零向量，且满足，，则下列说法正确的有（ ）
A．，夹角的取值范围是
B．的取值范围是
C．的取值范围是
D．的取值范围是
【答案】BC
【详解】对于A：因为，，即，所以，
设，夹角为，则，
当且仅当即时取等号，所以，故A错误；
对于B：因为，，，所以，
解得，故B正确；
对于C：因为，所以， ，故C正确；
对于D：，所以，故D错误.
9．已知，，若向量与向量的夹角为锐角，则实数的取值范围为____________________．
【答案】
【详解】由题意可知：，,
则，，
因为向量与向量的夹角为锐角,
所以,解得，
当时，，解得.
综上，.
10．已知向量，满足，且，则的最大值是________．
【答案】4
【详解】因为，所以，即，①
又，即，②
所以，③
又由①②可得，解得，代入③可得，
所以的最大值是4.
11．已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的最大值为_______．
【答案】
【详解】圆的半径为2，弦长，故，
所以，故，
取的中点，连接，如图所示：
，，两式平方后相减可得
，
由于，故当取得最大值时，取得最大值，
显然当三点共线且在线段上时，取得最大值，
最大值为，此时.
12．在中，、为边上的三等分点，，与所成的夹角为，则的最大值为_____
【答案】
【详解】因为、为边上的三等分点，所以.
因为，
，
所以.
因为，与所成的夹角为，所以.
令，则，.
当时，取得最大值为.
13．在边长为4的菱形中，，以为直径的上半圆与交于点，是此半圆上的动点，则____________；的最大值是____________．
【答案】
【详解】空1：如图，

取的中点O，连接，因为，，
所以是等边三角形，所以，
又在中，，
所以；
空2：
取的中点，连接，交半圆于点N，则，，
又
，等号成立时，三点共线，
故的最大值是.
14．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.如图是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正六边形，正六边形的边长为是正六边形内部以及边界上任意一点，则的取值范围为_________.
【答案】
【详解】如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
因为正六边形的边长为2，所以，，则 ，
设，则，所以，
由正六边形的性质可知，，所以点的横坐标为，点的横坐标为 ，
因为是正六边形的内部以及边界上任意一点，观察图形可知，点的横坐标的最小值为点的横坐标，最大值为点的横坐标，
所以，即，
所以 的取值范围为．
创新提升
1．对任意两个非零向量，，定义新运算：，表示向量，的夹角．若非零向量，满足，向量，的夹角，且是整数，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由，知，
因为，所以 ，，
因为 ，所以，因此，
因为是整数，所以 ，故，，
而 ，即 ，即，所以，
因为 ，，所以，即，
故的取值范围为．
2．青花瓷是中国瓷器的主流品种之一，常简称青花.图1是一个青花瓷圆盘，该圆盘可看作两个圆心重合的圆（如图2），若大圆半径为，小圆半径为2，点在大圆上，点在小圆上，，动点满足，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意可知，，，，. 因为 ，
所以 .
代入数值可得：，
即 ， 化简得 .
令 ，则 ，代入上式得： ，
整理得 ， 即 ，
化简整理为关于 的一元二次方程：.
因为 ，所以该方程必有实数解， 故判别式 ，
即 ， 解得 ，即 ，
所以 ，故 的最大值为 .
3．在梯形中，，，，，动点和分别在线段和上，且，，则的最大值为_______________．
【答案】
【详解】根据题意，作出如下所示图形：
因为，，所以，
又因为动点和分别在线段和上，所以，解得，
，
其中，，，，
代入并化简得，
设函数，，
由对勾函数的性质可知，在上单调递增，
所以的最大值在处取得，最大值为，
所以的最大值为.
4．如图，中，点，，分别是线段，，的中点，设，，则__________（用，表示）；已知，，，则的最大值为__________．

【答案】
【详解】由是中点，故，
是中点，则，
是中点，则，
所以 整理得，即
由，得分满足，
由定比分点向量公式 ，
，
由已知，，得，故，
又，代入得 b→2+c→2−b→c→=4⟹b→2+c→2=4+b→c→，
所以，
由，得4+b→c→≥2b→c→⟹b→c→≤4，当且仅当时取等号.
代入得最大值： .