重难点培优02 点击三角恒等变换的7大热点题型（培优讲义）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版）

这是一份重难点培优02 点击三角恒等变换的7大热点题型（培优讲义）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版），共100页。试卷主要包含了两角和与差的正余弦与正切公式，两角和与差正余弦公式的逆用，两角和差的正切公式的逆用，辅助角公式，半角正切公式的有理化，配方变换公式，万能公式等内容，欢迎下载使用。
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\l "_Tc24143" 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc234248761" _
\l "_Tc234248762" 题型深研·通法变式提能力 PAGEREF _Tc234248762 \h 3
\l "_Tc234248763" 题型1 知角求值 PAGEREF _Tc234248763 \h 3
\l "_Tc234248764" 题型2 知值求值 PAGEREF _Tc234248764 \h 4
\l "_Tc234248765" 题型3 知值求角 PAGEREF _Tc234248765 \h 4
\l "_Tc234248766" 题型4 和差化积、积化和差的应用 PAGEREF _Tc234248766 \h 5
\l "_Tc234248767" 题型5 化简三角关系式 PAGEREF _Tc234248767 \h 5
\l "_Tc234248768" 题型6 证明三角恒等式 PAGEREF _Tc234248768 \h 7
\l "_Tc234248769" 题型7 三角恒等变换与三角函数的综合 PAGEREF _Tc234248769 \h 9
\l "_Tc234248770" 分层进阶·双阶训练验成效 PAGEREF _Tc234248770 \h 11
\l "_Tc234248771" 巩固过关 PAGEREF _Tc234248771 \h 11
\l "_Tc234248772" 创新提升 PAGEREF _Tc234248772 \h 14
知识精讲·重难聚焦讲技巧
\l "_Tc25045" 知识点1 和、差角公式
1．两角和与差的正余弦与正切公式
①sin(α±β)=sinαcsβ±csαsinβ；
②cs(α±β)=csαcsβ∓sinαsinβ；
③tan(α±β)=tanα±tanβ1∓tanαtanβ；
2．两角和与差正余弦公式的逆用
①sinαcsβ±csαsinβ=sin(α±β)；
②csαcsβ∓sinαsinβ=cs(α±β)；
3．两角和差的正切公式的逆用:
tanα+tanβ+tanα+βtanαtanβ=tan⁡(α+β)
4．辅助角公式
asin α＋bcs α＝a2＋b2sin(α＋φ)(a，b不同时为0)，其中sin φ＝ba2＋b2，cs φ＝aa2＋b2.
\l "_Tc25045" 知识点2 二倍角公式
1.二倍角公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcs α.
(2)公式C2α：cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
(3)公式T2α：tan 2α＝2tanα1－tan2α.
2.半角公式(不要求记忆)
sinα2＝± 1－csα2；csα2＝± 1+csα2；tanα2＝± 1－csα1+csα.符号由α2所在象限决定.
\l "_Tc25045" 知识点3 和差化积与积化和差公式
1.积化和差公式
cs αcs β＝12[cs(α＋β)＋cs(α－β)]；
sin αsin β＝－12[cs(α＋β)－cs(α－β)]；
sin αcs β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；
cs αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)].
2.和差化积公式
sin α＋sin β＝2sinα＋β2csα－β2；
sin α－sin β＝2csα＋β2sinα－β2；
cs α＋cs β＝2csα＋β2csα－β2；
cs α－cs β＝－2sinα＋β2sinα－β2.
\l "_Tc25045" 知识点4 其他重要公式（二级结论）
1．两角和与差的公式的常用变形
= 1 \* GB2 ⑴sin αsin β＋cs(α＋β)＝cs αcs β.
= 2 \* GB2 ⑵cs αsin β＋sin(α－β)＝sin αcs β.
= 3 \* GB2 ⑶tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；
= 4 \* GB2 ⑷tan αtan β＝1－tanα＋tanβtan(α＋β)＝tanα－tanβtan(α－β)－1.
2．辅助角公式的常见形式
= 1 \* GB2 ⑴sin x±cs x＝2sinx±π4；
= 2 \* GB2 ⑵sin x±3cs x＝2sinx±π3；
= 3 \* GB2 ⑶3sin x±cs x＝2sinx±π6.
3．降幂公式：cs2α＝1+cs2α2；sin2α＝1－cs2α2；tan2α＝1－cs2α1+cs2α；sin αcs α＝12sin 2α.
4．升幂公式:
5．半角正切公式的有理化：tanα2＝sinα1+csα＝1－csαsinα.
6．配方变换公式：
7因式分解变换公式：
8．万能公式：.
题型深研·通法变式提能力
题型1 知角求值
【典例1-1】（25-26高三下·江苏淮安·期中）（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】2．（25-26高三·全国·一轮复习）（ ）
A．B．C．D．2
方法技巧 知角求值问题求解策略
对于给角求值问题,一般有三类:
(1)直接正用、逆用三角变换公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化,一般可以转化为特殊角的求值问题.
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用和差角或倍角公式.在求解过程中,需利用正、余弦函数关系配凑出应用三角公式的条件,使得问题出现逆用三角公式的形式.
(3)对于一些弦、切混合型的给角求值问题,一般将其统一成弦或切的形式,再利用三角变换公式求解.
【变式1-1】（2025高三上·安徽六安·专题练习）=（ ）
A．16B．32C．D．
【变式1-2】 (多选)（25-26高三上·山东淄博·期中）下列化简正确的是（ ）
A．B．
C．D．
题型2 知值求值
【典例2-1】（2026·海南三亚·一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【典例2-2】（2026·河南开封·模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
方法技巧 知值求值问题求解策略
三角函数的知值求值，关键是把待求角用已知角表示.利用和、差角公式求值时，要善于观察各角之间的关系，然后合理拆角，即进行角的变换，一般是用已知的角表示出所求的角，然后利用公式计算求值.
【变式2-1】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，都是锐角，，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（2026·陕西西安·模拟预测）若 ，，则 ____.
题型3 知值求角
【典例3-1】（2026·重庆·模拟预测）已知锐角满足，则（ ）
A．B．C．D．
【典例3-2】（25-26高三上·湖南长沙·期末）设且则（ ）
A．B．
C．D．
方法技巧 知值求角问题求解策略
1．解决知值求角问题的一般步骤是:
（1）求角的某一个三角函数值;
（2）确定角的范围;
（3）根据角的范围写出要求的角.
2．在求角的某个三角函数值时,应注意根据条件选择恰当的函数,尽量做到所选函数在确定角的范围内为一对一函数.
【变式3-1】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则______．
【变式3-2】（2026·江苏无锡·模拟预测）已知，若，，则_____．
题型4 和差化积、积化和差的应用
【典例4-1】（2025·云南·一模）在中，若，则（ ）
A．B．C．D．
【典例4-2】（2026高三·全国·专题练习）（1）求值：______；
（2）若，则的最大值是______．
方法技巧 结合函数最值求的取值范围
若已知三角函数的最值，则可利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，列出关于参数的不等式(组)，进而求解.
【变式4-1】（2026·安徽芜湖·二模）在锐角中，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】（2026高三·全国·专题练习）已知，则______．
题型5 化简三角关系式
【典例5-1】21+sin4＋2+2cs4等于( )
A.2cs 2B.2sin 2
C.4sin 2＋2cs 2D.2sin 2＋4cs 2
【典例5-2】（25-26高三上·福建龙岩·期中）化简或计算：
(1)
(2)
(3).
方法技巧 化简三角关系式的策略
三角函数式的化简要遵循“三看”原则，即一看角，二看角，三看式子的结构特征.
(1)观察角的特点，充分利用角之间的关系，尽量向同角转化，利用已知角构建待求角.
(2)观察函数特点，向同角转化；弦切互化，通常是切化弦;
(3)观察结构特点，从整体出发，利用公式变形，从而做到正用、逆用、转化使用，总之尽量达到化简的目的.
【变式5-1】化简：已知0＜θ＜π，则(1+sinθ＋csθ)sinθ2－csθ22+2csθ＝ .
【变式5-2】化简： sin(x+)+2sin(x-)-
题型6 证明三角恒等式
【典例6-1】（2026·湖北黄冈·一模）在中，角所对的边分别为.
(1)证明：；
(2)若成等比数列.
（i）设，求q的取值范围；
（ii）求的取值范围.
【典例6-2】（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）在中，．
(1)求证：；
(2)当时，，求的值．
方法技巧 证明三角恒等式的具体策略
证明三角恒等式的几种常见思维方法
1.从左向右证.
2.从右向左证.
3.左右同时化到同一个式子.
4证左边与右边之差等于0,或证左边与右边之商等于1.
【变式6-1】已知为斜三角形．
(1)证明：；
(2)若为锐角三角形，，求的最小值．
【变式6-2】已知斜三角形.
(1)借助正切和角公式证明：.
并充分利用你所证结论，在①②中选择一个求值：
①，
②；
(2)若，求的最小值.
题型7 三角恒等变换与三角函数的综合
【典例7-1】（25-26高三上·四川内江·开学考试）已知函数的最小正周期为，
(1)求的值，及单调递增区间：
(2)是否存在锐角，，使，同时成立?若存在，求出角，的值；若不存在，请说明理由.
【典例7-2】（2026·辽宁大连·一模）已知函数 ，的部分图象如图所示.
(1)求的值;
(2)记求的解集.
方法技巧 证明三角恒等式的具体策略
证明三角恒等式的几种常见思维方法
1.从左向右证.
2.从右向左证.
3.左右同时化到同一个式子.
4证左边与右边之差等于0,或证左边与右边之商等于1.
【变式7-1】（2025·上海·模拟预测）已知.
(1)求函数的最小正周期和最大值；
(2)在中，若，，求.
【变式7-2】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数，若，在上有最大值，且无最小值.
(1)求的值及的取值范围；
(2)若，求函数图象的对称中心.
分层进阶·双阶训练验成效
巩固过关
1．（2026·安徽·模拟预测）（ ）．
A．B．C．D．
2．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知，，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知 为函数 的最小正周期，则 （ ）
A．B．C．D．0
4．（2026·重庆万州·模拟预测）已知为锐角，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）设，则（ ）
A．1B．C．D．
6．（2026·广东茂名·二模）若函数图象的一条对称轴是，且在上有唯一零点，则的最小值为（ ）
A．B．4C．5D．
7．（2026·四川·模拟预测）已知函数，若在上无零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．(多选)（25-26高三上·四川遂宁·期中）下列各式的值为的是（ ）
A．B．C．D．
9．（多选）（24-25高三上·四川眉山·阶段检测）计算下列各式的值，其结果为2的有（ ）
A．B．
C．D．
10．（多选）（2026·湖南怀化·二模）已知，则的值可能为（ ）
A．1B．－1C．D．
11．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知，，则________．
12．（2026·江苏南京·模拟预测）已知，，则＝_________.
13．（2026·河南·模拟预测）函数的最大值为________.
14．（2026高三下·新疆·竞赛）__________.
15．（25-26高二上·广西贵港·开学考试）已知，，且，．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求．
16．（2026·广东广州·三模）已知函数，满足对于任意实数，都有恒成立，且函数相邻两个零点的距离是.
(1)求的解析式和单调递增区间；
(2)若，且满足，求.
17．（25-26高三上·重庆南岸·阶段检测）设函数，其中，已知函数的图象关于点成中心对称.
(1)求；
(2)当时，求函数的单调递增区间；
(3)若，，且，，求的值.
18．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知函数．
(1)若，求及的单调递增区间；
(2)已知在区间上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的最小正周期．
条件①：；条件②：是的一个极值点；条件③：是的一个零点．
注：如果选择的条件不符合题目要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
创新提升
1．（2026·河南周口·模拟预测）已知，均为锐角，且满足，，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2026·四川遂宁·二模）若函数在上单调递增，且方程在上有解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2026·辽宁沈阳·三模）已知两函数和的图象在区间上有三个交点，且三个交点构成一个正三角形，若交点横坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
4．(多选)（2026·福建福州·三模）已知，则（ ）
A．当时，
B．当时，
C．当时，
D．当时，
5．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数，其在上的零点从小到大依次为下列说法正确的是（ ）
A．是最小正周期为偶函数B．的值域为
C．D．
6．（2026·河北雄安·模拟预测）已知函数.若，且，，则___________.
7．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，且，，是在内的三个不同零点，则______.
8．（2026·河北承德·模拟预测）已知，，且，，则的值为_______．
9．（2026·陕西西安·模拟预测）某公园计划在一个扇形草坪内建设矩形花园，为了充分利用这块草坪，要求该矩形的四个顶点都落在边界上．经过测量，在扇形中，，记，共设计了两个方案：
(1)分别用表示两个方案中矩形的面积；
(2)分别求出的最大值，并比较二者最大值的大小．