第十五章 轴对称【章末复习】-培优课件-2026-2027学年人教版数学八年级上册

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人教版数学8年级上册精做课件授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月17日 小结与复习第十五章 轴对称第十五章 轴对称 全章终极复习大全（知识点+易错点+习题）一、全章知识思维导图（总框架）轴对称现象 → 轴对称性质 → 线段垂直平分线（性质+判定+作图） → 画轴对称图形 → 坐标表示轴对称 → 等腰三角形（性质+判定） → 等边三角形（性质+判定） → 含30°直角三角形性质 → 最短路径问题（将军饮马模型）二、15.1 轴对称（基础概念）1. 轴对称图形 vs 两个图形轴对称轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，两旁部分完全重合。两个图形轴对称：两个独立图形沿直线折叠后互相重合。区别：一个是自身对称，一个是位置关系；联系：都满足翻折重合、对应边相等、对应角相等。2. 轴对称核心性质（必考）① 成轴对称的图形一定全等，全等图形不一定轴对称；② 对称轴是对应点连线的垂直平分线；③ 对应线段相等、对应角相等，对应线段交点在对称轴上。3. 常见轴对称图形对称轴数量线段（2条）、角（1条）、等腰三角形（1条）、正方形（4条）、长方形（2条）、圆（无数条）、等边三角形（3条）。三、15.1.2 线段的垂直平分线（重难点）1. 定义过线段中点且垂直于线段的直线（注意：是直线，不是线段）。2. 性质定理（点在线上→距离相等）线段垂直平分线上的点，到线段两个端点距离相等。几何语言：∵点P在AB中垂线上，∴PA=PB。3. 判定定理（距离相等→点在线上）到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。几何语言：∵PA=PB，∴P在AB的中垂线上。4. 尺规作图：作线段垂直平分线以两端点为圆心，大于½线段长为半径画弧，上下得两交点，过交点作直线即可。用途：找线段中点、作图形对称轴。四、15.2 画轴对称图形与坐标轴对称1. 画轴对称图形万能步骤找关键点 → 作对称点 → 顺次连接，图形大小、形状不变，只变位置。2. 坐标轴对称口诀（必背）设点P(x，y)① 关于x轴对称：横不变、纵变号 → (x，-y)② 关于y轴对称：纵不变、横变号 → (-x，y)五、15.3 等腰三角形（本章核心大题考点）1. 等腰三角形性质① 等边对等角：AB=AC → ∠B=∠C；② 三线合一（重中之重）：顶角平分线、底边上中线、底边上的高互相重合；③ 轴对称图形，1条对称轴。⚠️ 注意：三线合一只针对底边，腰上三线不重合。2. 等腰三角形判定① 定义法：两边相等；② 定理法：等角对等边（同一三角形内两角相等→对边相等）。3. 角度结论底角只能是锐角，顶角可为锐角、直角、钝角；遇等腰无指定角，必须分类讨论。六、15.3.2 等边三角形1. 性质三边相等、三角均为60°、三条对称轴、三边三线合一。2. 判定三种方法① 三边相等；② 三角相等；③ 有一个60°的等腰三角形（最常用）。七、含30°角的直角三角形性质（计算必考）定理：在Rt△中，30°角所对的直角边 = 斜边的一半。逆定理：Rt△中，直角边=斜边一半 → 该边对角=30°。三边比：1:√3:2（短直角边:长直角边:斜边）八、最短路径问题（将军饮马 压轴基础）1. 核心原理两点之间，线段最短；思想：化折为直（轴对称转化）。2. 两大模型① 同侧两点：作其中一点对称点，连线交直线得动点，PA+PB最短；② 异侧两点：直接连接两点，与直线交点即为所求。九、全章超级易错汇总（考试扣分重灾区）1. 对称轴是直线，不是线段、射线；2. 全等≠轴对称，轴对称一定全等；3. 中垂线判定需要两个点，单点只能证点在线上；4. 三线合一仅限等腰三角形底边；5. 普通三角形一个60°≠等边三角形，必须是等腰+60°；6. 30°直角三角形定理只在直角三角形中成立；7. 坐标对称不要记反：x轴变y、y轴变x；8. 最短路径同侧必须作对称，异侧直接连。十、全章综合基础习题选择题1. 下列图形不是轴对称图形的是（）A. 线段 B. 平行四边形 C. 正方形 D. 等腰三角形2. 点(-3,4)关于y轴对称的坐标是（）A. (3,4) B. (-3,-4) C. (3,-4) D. (-3,4)3. 等腰三角形顶角80°，底角为（）A. 80° B. 50° C. 40° D. 60°4. Rt△中，30°角对直角边为4，则斜边为（）A. 4 B. 6 C. 8 D. 25. 最短路径同侧两点解题方法是（）A. 直接连线 B. 作对称点连线 C. 作垂线 D. 任意找点填空题6. 线段垂直平分线上的点到________距离相等。7. 等腰三角形________、________、________三线合一。8. 等边三角形每个内角为________度。9. 点(2,-5)关于x轴对称点坐标为________。10. 最短路径问题核心原理是________。解答题11. 已知AB=AC，∠B=65°，求△ABC各角度数。12. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=7，求AB长。13. 简述将军饮马最短路径作图与原理。十一、参考答案选择题1.B 2.A 3.B 4.C 5.B填空题6. 线段两个端点7. 顶角平分线；底边上的中线；底边上的高8. 609. (2,5)10. 两点之间，线段最短解答题11. 解：∵AB=AC，∴∠B=∠C=65°，∠A=180°−65°×2=50°。12. 解：∵Rt△中∠A=30°，∴BC=½AB，AB=2BC=14。13. 解：作图：作一点关于直线对称点，连接对称点与另一点，交直线于P。原理：轴对称性质转化线段，化折为直，两点之间线段最短。生活中的轴对称实际应用轴对称解决最短路径问题作轴对称图形的对称轴画轴对称图形关于坐标轴对称的点的坐标的关系通常利用轴对称、平移实现线段的转移画出的图形与原图形是全等的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线等腰三角形等腰三角形等边三角形等边三角形是特殊的等腰三角形写出等腰三角形和等边三角形的判定方法：含 30° 角的直角三角形等腰直角三角形说出它和等边三角形的联系：一. 轴对称图形和成轴对称1. 区别与联系两个图形的位置关系一个图形本身的特性对称点在两个图形上对称点在同一个图形上轴对称图形两个图形关于对称轴成轴对称轴对称图形(3) 轴对称图形的________，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 2. 性质(1) 关于某直线对称的两个图形是全等图形；(2) 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的____________；垂直平分线对称轴二. 线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质___________________与这条线段_________的距离_____与__________________距离_____的点在这条线段的___________互逆线段垂直平分线的点两个端点相等这条线段两个端点相等垂直平分线三. 用坐标表示轴对称点(x，y)点(-x，y)点(x，y)点(x，-y)四. 等腰、等边三角形的性质与判定1. 性质每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合三个角都相等，且都是 60°3 条对称轴1 条对称轴两个底角相等底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合两条边相等三条边都相等2. 等腰三角形的判定(1) 有两边相等的三角形是等腰三角形；(2) 如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“____________”）.等角对等边3. 等边三角形的判定(3) 有一个角是______的等腰三角形是等边三角形.(2) 三个角都______的三角形是等边三角形；(1) 三边都______的三角形是等边三角形；相等60°相等考点一 轴对称及轴对称图形例1 城市市标是城市的品牌形象.以下选取了国内部分城市市标中的图案，其中是轴对称图形有 ( )ACD 返回1．淮安中考下列交通标志中，属于轴对称图形的是(　　)C D  返回考点2 线段的垂直平分线的性质与判定 C  返回 B  返回 (1)若∠BAC＝50°，则∠EDA的度数为______；    返回6.下列各命题的逆命题是真命题的是( )A  返回7.定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是___________________________________. 有两个角相等的三角形是等腰三角形 返回 返回 1 返回9．沈阳期中如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点都在格点上，其中点A(3，4)，点B在y轴正半轴上，到x轴的距离为2，点C与点P(4，－1)关于x轴对称．(1)请写出点B和点C的坐标；(2)请画出△ABC以及△ABC关于y轴对称的△A1B1C1.解：(1)B(0，2)，C(4，1)．(2)如图，△ABC和△A1B1C1即为所求． C  返回 C  返回 DA.①②③B.①②④C.②③④D.①③④ 返回   返回 返回14．河北中考如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC＝AD，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，∠BAF＝∠EAD.(1)求证：△ABC≌△AFD；证明：∵∠BAF＝∠EAD，∴∠BAF－∠CAF＝∠EAD－∠CAF，即∠BAC＝∠FAD.又∵AC＝AD，∠ACB＝∠ADB，∴△ABC≌△AFD. 返回(2)若BE＝FE，求证：AC⊥BD.证明：∵△ABC≌△AFD，∴AB＝AF.又∵BE＝FE，∴AC⊥BD. B  A  返回 AA.100海里B.80海里C.70海里D.60海里 返回      返回   返回20．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝12，D为BC边上一点，连接AD，且AD＝AC，若CD＝2，则BD的长为(　　)A．4 B．5 C．6 D．8B   返回 DA.8B.10C.14D.10或14 返回        返回