西师大版小学数学五上第三单元知识梳理与易错精讲

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第三单元 小数加减法 · 知识梳理与易错精讲单 元 知 识 梳 理一、学习目标1. 理解小数加减法的算理，掌握小数加减法的计算方法，能正确进行小数加减法计算。2. 理解相同计数单位才能相加减的道理，能辨析和纠正小数加减法中的对位错误。3. 能运用加法运算律和减法性质进行小数加减法的简便计算，能根据判断目标选择合适的估算策略。4. 能从实际情境中搜索信息、提出数学问题，并用小数加减法解决多步综合应用问题。二、重点• 小数加减法计算时，小数点对齐（即相同数位对齐），按整数加减法规则计算。• 被减数小数位数少于减数时，在被减数末尾添0补位后再减。• 根据判断目标选择估算策略：确认够买用往大估，确认不够买用往小估。三、难点• 理解小数点对齐的本质是相同计数单位对齐，而不是末位对齐。• 区分往大估和往小估的使用条件，不与四舍五入混淆。学习支架小数加减法竖式正误对比用估算解决够不够买问题的步骤1. 读题：搜索金额和价格信息2. 判断：要确认够买还是不够买3. 选策略：确认够买用往大估；确认不够买用往小估4. 估算：把价格估成整数后计算剩余钱5. 比较：将估算剩余与目标价格比较6. 结论：估大后够则一定够；估小后不够则一定不够小数加减法单元知识结构表四、知识要点1. 小数加减法的算理小数加减法的本质是相同计数单位上的数相加减。整数加减法和小数加减法在这一点上完全一致——整数加减法中个位对个位、十位对十位，小数加减法中十分位对十分位、百分位对百分位。小数加减法中，只要小数点对齐了，相同数位上的数就对齐了。因为小数点的位置决定了每个数字所在的数位：小数点左边第一位是个位，第二位是十位；小数点右边第一位是十分位，第二位是百分位。所以小数点对齐就保证了相同数位对齐。需要特别注意：不能把小数的末位对齐。例如6.85+2.7，两个数的末位5和7分别在百分位和十分位，如果末位对齐就会把不同计数单位上的数相加，导致错误。正确做法是把2.7写成2.70后再对齐。计算结果要化简：根据小数的性质，小数末尾添上0或去掉0，小数的大小不变。所以得数末尾的0通常要去掉，如6.00写成6，9.40写成9.4。2. 小数加法的计算方法计算小数加法时，要把小数点对齐，也就是相同数位上的数对齐，然后按照整数加法的规则进行计算。当两个加数的小数位数不同时，可以在小数末尾添0，使小数位数相同后再加。这一步虽然不改变数的大小，但能避免对位错误。计算步骤：（1）小数点对齐；（2）按整数加法规则从右到左逐位相加；（3）得数的小数点与上面的小数点对齐；（4）得数末尾有0的要化简。例如：计算12.7+8.56时，先把12.7写成12.70。百分位：0+6=6；十分位：7+5=12，写2进1；个位：2+8+1=11，写1进1；十位：1+1=2。得数是21.26。整数和小数相加时同样要注意小数点对齐。例如0.52+52，要把52写成52.00，再与0.52对齐相加，得52.52。3. 小数减法的计算方法计算小数减法时，同样要把小数点对齐，按整数减法规则计算。当被减数的小数位数少于减数时，可以在被减数末尾添0，使小数位数相同后再减。这一步非常关键：如果不补0就直接减，很容易在不够减的数位上出错。例如：计算10-3.87时，被减数10是整数，需要写成10.00，使小数位数与减数3.87相同。百分位：0-7不够减，向十分位借1，10-7=3；十分位：0借1后变为9，9-8=1；个位：0借1后变为9，9-3=6。得数是6.13。再如：49.5-32.48，被减数49.5只有一位小数，在末尾添0写成49.50。百分位：0-8不够减，借1得10-8=2；十分位：5借1后剩4，4-4=0；个位：9-2=7；十位：4-3=1。得数是17.02。当被减数和减数的小数位数相同时，可以直接对齐计算，不需要补0。4. 小数加减法的简便计算有些小数加减法可以应用加法运算律和减法性质使计算简便。加法交换律：a+b=b+a加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)减法性质：a-b-c=a-(b+c)使用简便计算的关键是先观察数据特点，找到能凑整的数对。两个数相加能凑成整数（如25.5+34.5=60，3.17+1.83=5）时，可以运用运算律先把它们相加。例如：13.28+5.6+6.72+4.4，观察到13.28和6.72相加得20，5.6和4.4相加得10。运用加法交换律和结合律：(13.28+6.72)+(5.6+4.4)=20+10=30。再如：9.42-3.17-1.83，观察到3.17和1.83相加得5，运用减法性质：9.42-(3.17+1.83)=9.42-5=4.42。简便计算不是每道题都能用，只有当数据具备凑整特征时才适用。如果数据不能凑整，就按从左到右的顺序正常计算。5. 用估算解决实际问题在购物等实际问题中，判断够不够买时常用估算。估算不是四舍五入取近似值，而是根据判断目标选择估算方向。往大估：把商品价格往大取整数（如30.4元估成31元），这样算出的花费偏大、剩余钱偏少。如果往大估后剩余钱仍够买，实际一定够买。往小估：把商品价格往小取整数（如30.4元估成30元），这样算出的花费偏小、剩余钱偏多。如果往小估后剩余钱仍不够买，实际一定不够买。关键结论：确认够买则往大估，估大后够则实际一定够；确认不够买则往小估，估小后不够则实际一定不够。需要注意的是，往大估后不够买或往小估后够买时，无法确定实际情况，需要精确计算。估算与四舍五入的区别在于：四舍五入是根据数字大小决定进或舍，而估算是根据判断目标主动选择方向。6. 提出数学问题并解决从实际情境中解决数学问题，通常经历三个步骤。第一步搜索信息：从情境图中找出所有已知数据和数量关系，包括直接给出的条件和隐含的关系。第二步提出问题：根据已有信息提出可解决的数学问题，确保问题在当前信息范围内可解。第三步解决问题：列式计算，写出完整过程和答语。例如：电信塔建在小山上，小山高18.5m，电信塔高出小山顶部26.5m，电力塔高25.35m。要计算电信塔顶端与电力塔顶端的高度差，首先搜索信息明确：电信塔建在小山上，所以电信塔顶端高度=小山高度+电信塔高度=18.5+26.5=45（m），再用45-25.35=19.65（m）。提出问题时要注意：问题必须能利用已知信息解决；可以提出一步计算的问题，也可以提出多步计算的问题。7. 小数加减法的综合应用小数加减混合运算在生活中有广泛应用。购物找零：总花费=各商品价格之和，剩余=带的钱-总花费。工程进度：剩余工作量=总量-已完成量。赛程计算：剩余路程=总里程-已完成里程。储蓄变化：现有金额=原有-支出+收入。进行多步小数加减混合运算时，要注意运算顺序：同级运算从左到右依次计算；有括号的先算括号内的。例如：小亮原有零花钱25.6元，买文具用去8.8元，妈妈又给了他5.5元。小亮现在有多少元？列式：25.6-8.8+5.5=16.8+5.5=22.3（元）。分析表格数据时，要先读取并比较数据，再根据问题选择相应的数据进行计算。例如体温记录表、赛程表等，都需要先找到最高值和最低值，再进行加减运算。易错汇总易错点 1【错因】受整数加减法末位对齐的惯性影响，没有理解小数点决定数位的作用【自检方法】列完竖式后检查小数点是否在同一竖线上，再检查相同数位是否对齐易错点 2【错因】没有意识到整数可以看作小数位数足够多的小数，或者忘记补0这一步骤【自检方法】减法竖式列好后，先比较被减数和减数的小数位数，位数不够时在被减数末尾添0易错点 3【错因】忘记小数末尾去掉0不改变小数大小的性质，或没有养成化简的习惯【自检方法】计算完成后检查得数末尾是否有0，如果有就去掉易错点 4【错因】没有建立估算方向与判断目标的对应关系，凭感觉选择估算方向【自检方法】先明确判断目标（够买还是不够买），再选择对应方向：够买用往大估，不够买用往小估易错点 5【错因】把估算与求近似数混淆，没有理解估算的方向性是由判断目标决定的【自检方法】估算前先问自己：我要确认什么？确认够买就往大估，确认不够买就往小估易错点 6【错因】对运算顺序理解不牢固，或被数据特点干扰而随意改变计算顺序【自检方法】列式后先标注运算顺序，再逐步计算；每一步都检查是否符合运算顺序规则易错点 7【错因】没有养成先观察后计算的习惯，或对凑整特征不敏感【自检方法】计算前先扫描所有数据，看是否有两个数相加能凑成整数；如果没有就正常计算五、易错精讲【例1】某商店上午卖出苹果12.7千克，下午卖出苹果8.56千克。全天共卖出苹果多少千克？【例2】一根绳子长10米，剪去3.75米后还剩多少米？【例3】用简便方法计算：13.28+5.6+6.72+4.4【例4】小丽带了50元，买了2本书，每本14.6元；又买了一支笔8.8元。她还想买一个笔记本，大的22.5元，小的5.2元。请用估算判断她够不够买大笔记本或小笔记本。【例5】一个水池，用一根6.5米长的竹竿垂直插入池中。竹竿插入泥中的部分是0.45米，露出水面的部分是2.15米。（1）池水深多少米？（2）如果把池水放出1.2米深的水后，池水还剩多深？【例6】小宁计算小数减法时，把被减数百分位上的9看作了6，把减数十分位上的3看作了8。这样算出的结果与正确答案相差多少？易 错 专 练基础辨析1. 小数加减法中，只要（________）对齐了，相同数位上的数就对齐了。2. 计算小数加减法时，应该把两个数的末位对齐。（　　）3. 3.07+2.93=6.00，根据小数的性质，结果应化简为6。（　　）4. 用竖式计算。7.83+5.465. 用竖式计算。10-3.876. 购物估算时，确认够买要用（________）估，确认不够买要用（________）估。7. 把商品价格往大估后够买，实际一定够买。（　　）8. 用简便方法计算。3.68+1.25+0.75方法巩固9. 0.46+46的结果是（________）。　　A. 46.46　　B. 5.06　　C. 0.92　　D. 46.9210. 张老师带了50元，买了2本书，每本14.6元；又买了一支笔8.8元。她想再买一个笔记本，大的22.5元，小的5.2元。请用估算判断她够不够买大笔记本或小笔记本。11. 用简便方法计算。9.42-3.17-1.8312. 一座信号塔建在一座小山上。小山高25.5m，信号塔高出小山顶部18.8m。附近还有一座办公楼，高38.6m。信号塔顶端与办公楼顶端的高度相差多少米？13. 关于购物估算，下列说法正确的是（________）。　　A. 把价格往小估后够买，实际一定够买　　B. 把价格往大估后不够买，实际一定不够买　　C. 把价格往大估后够买，实际一定够买　　D. 把价格往小估后不够买，实际可能够买14. 一辆载重5吨的卡车要运送两批货物。第一批2.85吨，第二批比第一批多1.35吨。这辆卡车一次能运完这两批货物吗？15. 用简便方法计算。12.36+8.5+7.64+1.516. 小军计算50-18.76时，得到32.76。他错在哪里？请写出正确解答。综合易错自行车赛各赛段距离17. 一名自行车运动员参加为期5天的自行车赛，各赛段距离如下表所示。（1）第2赛段结束后，运动员还要骑多少千米才能完成比赛？（2）全部赛程结束后，运动员总共骑行了多少千米？（3）哪一段路程最长？最长的比最短的多多少千米？18. 小宁计算小数减法时，把被减数百分位上的9看作了6，把减数十分位上的3看作了8。这样算出的结果与正确答案相差多少？19. 一个水池，用一根6.5m长的竹竿垂直插入池中。竹竿插入泥中的部分是0.45m，露出水面的部分是2.15m。（1）池水深多少米？（2）如果把池水放出1.2m深的水后，池水还剩多深？20. 王老师带了80元去文具店，买了3本笔记本，每本12.5元；又买了一支钢笔15.8元。他还想买一个计算器，大的28.5元，小的22.3元。（1）用估算判断他够不够买小计算器。（2）算一算他实际还剩多少元，判断够不够买大计算器。21. 某修路队修路500m，第一天修了154.7m，第二天修了179.3m，第三天修了119.4m。请你提出两个不同的数学问题并解决。错误（末位对齐）正确（小数点对齐）6.85+2.7 6.85+ 2.7------5和7分别在百分位和十分位，数位错位，结果错误6.85+2.70 6.85+ 2.70------ 9.55把2.7写成2.70，小数点对齐，相同数位对齐知识模块核心方法关键注意算理相同计数单位相加减小数点对齐不等于末位对齐加法小数点对齐，补0使位数相同得数末尾0要化简减法小数点对齐，被减数补0位数不足时必须补0简便计算运用运算律和减法性质先观察能否凑整估算根据目标选方向往大估确认够买，往小估确认不够买综合应用多步混合运算注意运算顺序，有括号先算括号内常见错误正确认识列竖式时把两个小数的末位对齐，而非小数点对齐必须把小数点对齐，这样才能保证相同数位上的数对齐常见错误正确认识被减数小数位数少于减数时不补0就直接减在被减数末尾添0，使小数位数与减数相同后再减常见错误正确认识得数末尾的0保留不化简，如把6.00仍写成6.00根据小数的性质，得数末尾的0应去掉，6.00化简为6常见错误正确认识混淆往大估和往小估的使用条件，确认够买时用往小估确认够买用往大估（花费估多、剩余估少，偏少了还够则实际一定够）；确认不够买用往小估（花费估少、剩余估多，偏多了还不够则实际一定不够）常见错误正确认识把估算当作四舍五入，根据数字大小决定进或舍估算是根据判断目标主动选择方向，不是根据数字大小机械取舍常见错误正确认识多步运算中运算顺序错误，如先算后面的再算前面的同级运算从左到右依次计算，有括号的先算括号内的常见错误正确认识简便计算中没有发现可以凑整的数对，仍依次计算先观察数据特点，找到相加能凑成整数的数对，再运用运算律简便计算赛段日期距离（km）第1段3月20日39.5第2段3月21日98.8第3段3月22日163.4第4段3月23日80.2第5段3月24日102.2总里程484.1