西师大版小学数学五上第二单元知识梳理与易错精讲

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第二单元 图形的位置与运动(一) · 知识梳理与易错精讲 单 元 知 识 梳 理 一、学习目标 1. 理解数对（列数，行数）的含义，能在方格图上用数对确定位置并根据路线和距离计算位置变化 2. 掌握平移和旋转的特征，能用关键点法画平移后的图形，用绕点旋转法画旋转后的图形 3. 理解轴对称图形的概念，能判断轴对称图形并画出对称轴，用找对应点法画出轴对称图形的另一半 4. 能综合运用平移、旋转和轴对称设计图案，识别图案中的变换方式并说明制作方法 二、重点 • 用数对表示位置：列数在前，行数在后，顺序不能交换 • 用关键点法画平移后的图形：找顶点、逐点平移、按原方式连线 • 旋转三要素：旋转中心、旋转方向（顺时针或逆时针）、旋转角度 • 画轴对称图形另一半：找对应点，对应点到对称轴距离相等 • 平移、旋转和轴对称是制作图案的三种基本变换 三、难点 • 数平移距离时数关键点移动的格数，而不是数图形之间的空格数 • 旋转作图时旋转中心不动，先旋转关键边再补全图形 • 理解对应点到对称轴的距离相等，并据此找对应点 • 对折次数与变换类型的对应关系：一次对折产生轴对称，多次折叠产生旋转，多次对折产生平移 学习支架 在方格图上用数对表示位置 长方形向右平移7格 三角形绕点O沿顺时针方向旋转90° 常见图形的对称轴数量 平移与旋转的对比 折纸方式与图形变换对照表 画轴对称图形另一半的步骤 1. 确定对称轴的位置和方向 2. 找出已知图形的关键点（通常是顶点） 3. 逐个找对应点：对应点到对称轴的距离相等 4. 按原顺序连接各对应点 四、知识要点 1. 用数对表示位置的方法 在教室里，可以用“第几列第几行”来描述一个同学的位置。用数对表示位置时，把列数写在前面，行数写在后面，中间用逗号隔开，外面用括号括起来。例如：小红在第3列第2行，用数对表示为(3,2)。关键结论：数对中第一个数表示列，第二个数表示行，顺序不能交换。(3,2)表示第3列第2行，(2,3)表示第2列第3行，它们表示的是不同的位置。辨析方法：看到一个数对，先读出第一个数对应的列，再读出第二个数对应的行，最后在方格图上找到这两条线的交点，就是该数对表示的位置。养成“先列后行”的读法习惯，是避免顺序错误的关键。 2. 在方格图上用数对确定位置 在方格图上，横轴上的数字表示列数，纵轴上的数字表示行数。标点的方法：第一步，找到列数对应的竖线；第二步，找到行数对应的横线；第三步，两条线的交点就是该数对表示的位置。例如：要在方格图上标出点(4,3)，先找到第4列的竖线，再找到第3行的横线，它们的交点就是点(4,3)。反过来，看方格图上一个点在什么位置，就先看它在第几列的竖线上，再看它在第几行的横线上，写出数对即可。当需要标出多个点并连线时，先逐一标出所有点，再按指定顺序依次连接。如果同一行有两个点，它们的行数相同；如果同一列有两个点，它们的列数相同。利用这一规律可以判断连线后的图形类型——例如对边分别在同一行和同一列上且邻边互相垂直时，得到的是长方形。 3. 用数对描述路线和计算距离 数对不仅能表示位置，还能帮助解决路线和距离问题。路线描述：在方格图上，用数对依次记录途经的各点，就能描述行走路线。例如聪聪的路线是(1,1)→(8,1)→(8,3)→(14,3)→(14,7)→(15,7)。沿方格线行走时，每次只能水平或垂直移动，不能走斜线。距离计算：当方格图中每格代表一定的实际距离时，先算出格数，再乘以每格代表的距离。例如每格代表60m，走了7格，则路程是60×7=420(m)。方向与位置变化的规律：向东（右）走列数增加、行数不变；向西（左）走列数减少、行数不变；向北（上）走行数增加、列数不变；向南（下）走行数减少、列数不变。简记为“左右移变列，上下移变行；右加左减，上加下减”。 4. 平移的概念和关键点法 在方格纸上，把一个图形沿某一直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。平移的两个要素：（1）方向——向上、向下、向左、向右等；（2）距离——移动了多少格。关键点法：先在图形上确定几个关键点（通常是顶点），然后把这些关键点按指定方向平移指定的格数，最后按原来的连接方式连接平移后的关键点。例如长方形ABCD向右平移7格，点A由(7,3)平移到(14,3)，其余3个关键点也分别向右平移7格。重要结论：平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。图形上每个点移动的方向和距离都相同。 5. 在方格纸上画平移后的图形 画平移后图形的步骤：第一步：在原图形上确定关键点（通常选顶点）。第二步：把每个关键点按指定方向平移指定的格数，找到对应点的位置。第三步：按原图形的连接方式，依次连接平移后的各点。注意事项：数格数时，要数关键点移动的格数，而不是数两个图形之间的空格数。这是最常见的易错点——图形平移后，原图形和新图形之间会有间隔，但平移距离是关键点从原位置到新位置移动的格数，不是间隔的格数。验证方法：检查平移后的图形与原图形形状、大小是否完全相同，只是位置发生了变化。 6. 旋转的概念——方向与三要素 与时针旋转方向相同的旋转方向叫做顺时针方向，与时针旋转方向相反的旋转方向叫做逆时针方向。旋转的三个要素：（1）旋转中心——绕哪个点旋转；（2）旋转方向——顺时针方向或逆时针方向；（3）旋转角度——旋转了多少度。例如：三角尺绕点O沿顺时针方向旋转90°。描述一次旋转必须同时说明这三个要素，缺一不可。钟面旋转角度的计算：钟面一圈共360°，分12个大格，每格30°。从某一时刻到另一时刻，时针旋转的角度等于经过的大格数乘以30°。例如从6:00到9:00，走了3个大格，3×30°=90°。重要结论：旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置和方向。这是平移和旋转的共同特征——两者都是图形的全等变换。 7. 在方格纸上画旋转后的图形 画旋转后图形的步骤：第一步：确定旋转中心O（旋转过程中位置不变）。第二步：选择一条从O出发的关键边（如OA），将它绕O按指定方向旋转指定角度，找到旋转后的位置（如OA'）。第三步：以旋转后的边为基础，按照原图形的形状和大小画出完整图形。例如：将图形绕点O沿顺时针方向旋转90°，先将线段OA绕点O旋转90°，点A从(6,7)旋转到点A'(10,3)，再以OA'为基础画出图形。关键理解：旋转中心是固定不动的点，图形上其他所有点都绕它转动。顺时针旋转90°时，原来向上的边转后变向右，原来向右的边转后变向下。逆时针旋转90°时方向相反。验证时检查旋转后图形与原图形形状、大小完全相同，∠O仍为原来的角度。 8. 轴对称图形的概念和对称轴 把一个图形沿一条直线对折后，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形。折痕所在的直线叫作这个图形的对称轴。关键要点：（1）对称轴是一条直线，不是线段或射线，它可以向两端无限延伸。（2）对折后两部分完全重合，即对应点、对应线段都完全吻合。（3）对称轴通常用虚线表示。判断方法：想象沿某条直线对折，看两部分能否完全重合。注意平行四边形虽然看起来形状“对称”，但沿任何一条直线对折都不能完全重合，所以它不是轴对称图形。平行四边形是中心对称图形，但中心对称不等于轴对称。 9. 对称轴的数量 不同图形的对称轴数量不同：有的只有1条对称轴，有的不止1条。常见图形的对称轴数量：长方形有2条（过两组对边中点的连线）；正方形有4条（2条过对边中点的连线，2条对角线）；等腰三角形有1条（底边上的高所在的直线）；等边三角形有3条（3条高所在的直线）；圆有无数条（每条过圆心的直线都是对称轴）；平行四边形有0条（不是轴对称图形）。画对称轴的方法：找到对折后能完全重合的折痕位置，用虚线画出穿过整个图形的直线。画对称轴时要注意画的是直线而非线段，应穿过整个图形并向两端延伸。 10. 在方格纸上画轴对称图形的另一半 在方格纸上画轴对称图形的另一半，关键是用找对应点法。步骤：（1）确定对称轴的位置和方向（竖直、水平或斜线）。（2）找出已知图形的关键点（通常是顶点或转折点）。（3）逐个找对应点：每个对应点到对称轴的距离与原点到对称轴的距离相等，且对应点连线垂直于对称轴。（4）按原来的顺序连接各对应点，就得到轴对称图形的另一半。例如：已知点B(1,3)，对称轴是过第4列的竖直线，则B到对称轴的距离为4-1=3格，对应点B'在对称轴右侧3格处，即B'(7,3)。选择关键点时要选图形的顶点或转折点，这些点决定了图形的形状。如果某个点恰在对称轴上，则它的对应点就是它本身。 11. 利用平移、旋转和轴对称设计图案 利用图形的平移、旋转和轴对称，可以设计出各种美丽的图案。设计方法：（1）选择一个简单的基本图形。（2）确定一种变换方式：平移——将基本图形沿一个方向连续平移；旋转——将基本图形绕一个点旋转一定角度；轴对称——利用对称翻折产生镜像。（3）也可以组合多种变换，使图案更加丰富。设计图案时，先确定基本图形和变换方式，再逐步操作，最后检查图案的规律性和美观性。例如用一个简单图形通过连续平移就形成一幅漂亮的图案；用一片花瓣经过多次旋转也能制作出一朵花的图案。评价图案设计时要关注：是否正确运用了图形变换、图案是否有规律性、是否体现了创意。 12. 识别图案中的三种变换方式 生活中有许多美丽的图案，它们与数学知识密切相关。通过收集和观察图案，可以发现：有的图案是应用图形的旋转设计的——图案中某一部分围绕一个中心点旋转后能与另一部分重合；有的图案应用了图形的平移——图案中某一基本图形沿同一方向移动，形成连续的图案；有的图案应用了图形的轴对称——图案沿一条直线对折后，左右两边完全重合。识别方法：观察图案中是否有重复出现的部分，如果各部分沿同一方向排列且形状大小相同，可能是平移；如果各部分围绕一个中心点旋转排列，可能是旋转；如果图案可以沿某条直线对折后完全重合，则是轴对称。有的图案同时运用了多种变换。关键结论：平移、旋转和轴对称是制作美丽图案的三种基本数学方法。 13. 折剪方法与图案的对应关系 折纸剪纸是制作图案的常用方法，不同的折叠方式会产生不同的图形变换：（1）轴对称图案——只对折一次：将纸对折一次，在折好的纸上画出图案的一半，剪下展开后，左右两边关于折痕对称，得到一个轴对称图形。例如蝴蝶图案。（2）旋转图案——多次折叠：将纸多次折叠（如先对折再反复折叠），在折好的纸上画图案并剪下，展开后各部分围绕中心旋转对称。例如窗花、雪花图案。（3）平移图案——多次对折：将纸多次对折（如手风琴式折叠），在折好的纸上画图案并剪下，展开后各部分沿同一方向排列，形成平移图案。例如手拉手的小朋友图案。关键结论：只对折一次，剪出来的是轴对称图形；折的方式不同，剪出来的图案就不一样。对折次数和折叠方式决定了变换的类型。 14. 用旋转和拓印方法制作图案 除了折纸剪纸，还有其他方法可以制作图案：（1）花瓣旋转：用一片花瓣经过多次旋转，可以制作出一个简单图案。每次旋转一定角度，花瓣围绕中心点排列，形成一朵花。这是利用旋转的方法。（2）基本图案拓印：用一个基本图案拓印出一个连续图案，基本图案沿同一方向重复排列，形成连续图案。这是利用平移的方法制作的。这些方法的核心都是运用平移和旋转这两种图形变换。制作时要先确定基本图形和变换方式，再逐步操作，最后检查图案的规律性。 15. 圆规旋转与电脑绘图制作图案 除了折纸剪纸和花瓣旋转、拓印，还有更多制作图案的方法：（1）圆规旋转画花：用圆规多次旋转，可以制作漂亮图案。以同一点为圆心，改变半径画弧，旋转组合后形成花型图案。这也是利用旋转的方法。（2）电脑绘图：用电脑绘图软件能很快制作出许多漂亮的图案，可以方便地运用平移、旋转和轴对称。电脑绘图的优势是速度快、可调整、能尝试多种变换组合。关键结论：制作图案的方法很多，但核心都是运用平移、旋转和轴对称这三种图形变换。无论使用什么工具和材料，理解变换的数学原理是设计图案的基础。 易错汇总 易错点 1 【错因】没有理解数对中两个数分别代表列和行，以为交换位置不影响结果 【自检方法】在方格图上分别标出(3,2)和(2,3)，直观对比它们是不同的点 易错点 2 【错因】把图形之间的间隔当成了平移距离，没有理解平移距离是每个关键点移动的格数 【自检方法】选择一个顶点，从原位置数到对应位置，看移动了多少格 易错点 3 【错因】没有理解旋转中心的不动性，以为整个图形连同中心一起转 【自检方法】作图时先标出旋转中心，确认它的位置在旋转前后没有变化 易错点 4 【错因】混淆了折痕（线段）和对称轴（直线）的概念 【自检方法】画完对称轴后检查它是否向两端延伸，而不是只画在图形内部 易错点 5 【错因】看到平行四边形形状“对称”就以为是轴对称，混淆了中心对称和轴对称 【自检方法】想象沿不同直线对折平行四边形，验证两边能否完全重合 易错点 6 【错因】混淆了对折次数与变换类型的对应关系 【自检方法】对照制作方法表：一次对折→轴对称，多次折叠→旋转，多次对折→平移 易错点 7 【错因】混淆了方向与列数、行数的对应关系 【自检方法】记住方向口诀“左右移变列，上下移变行；右加左减，上加下减”，先算格数再定方向 五、易错精讲 【例1】 判断数对(4,3)和(3,4)是否表示同一个位置，并说明理由。 【解题思路】按数对的定义逐项检查：第一个数表示列，第二个数表示行。比较两个数对中对应位置的数是否相同。 【解答】(4,3)表示第4列第3行，(3,4)表示第3列第4行。它们列数和行数都不同，在方格图上分别对应不同的交点，所以不是同一个位置。数对中两个数的顺序不能交换。 【易错点】不能把数对中两个数的位置随意调换。在方格图上分别标出(4,3)和(3,4)，可以直观看到它们指向不同的点。 【例2】 方格纸上有长方形ABCD，点A在(3,5)的位置。将长方形向右平移6格后，点A的新位置用数对怎样表示？请说明判断方法。 【解题思路】向右平移只改变列数，行数不变。列数加上平移的格数即为新列数。 【解答】向右平移6格，列数增加6，行数不变。点A原来在第3列第5行，平移后列数变为3+6=9，行数仍为5。所以点A的新位置是(9,5)。验证方法：在方格图上标出原位置(3,5)，向右数6格，到达第9列第5行，确认为(9,5)。 【易错点】不要把向右平移理解为行数增加；向右移动改变的是列数（第一个数），不是行数。 【例3】 方格纸上有三角形OAB，其中∠O=90°。将三角形OAB绕点O沿顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形OA'B'，并说明步骤。 【解题思路】旋转作图时旋转中心O不动。先旋转从O出发的关键边，再补全图形。顺时针方向：向上的边转后变向右，向右的边转后变向下。 【解答】第一步：确定旋转中心。点O是旋转中心，旋转过程中位置不变。第二步：旋转关键边。将边OA绕点O沿顺时针方向旋转90°。原边OA竖直向上，顺时针旋转90°后变为水平向右，得到边OA'。将边OB绕点O沿顺时针方向旋转90°。原边OB水平向左，顺时针旋转90°后变为竖直向上，得到边OB'。第三步：连接A'B'，完成旋转后的三角形OA'B'。验证：旋转后的三角形OA'B'与原三角形OAB形状、大小完全相同，∠O仍为90°。 【易错点】旋转中心O的位置在旋转前后不变。不能只转图形的一部分而忽略整体。顺时针方向就像时钟走的方向。 【例4】 在方格纸上，已知轴对称图形的左半部分，顶点为A(3,1)、B(1,4)、C(3,7)，对称轴是过第6列的竖直线。画出图形的另一半并说明方法。 【解题思路】用找对应点法：先算每个点到对称轴的距离，再在对称轴另一侧同样距离的位置标出对应点。 【解答】对称轴是第6列的竖直线（即x=6）。步骤一：找各顶点的对应点。• 点A(3,1)到对称轴的距离：6-3=3格，对应点A'在对称轴右侧3格处，即A'(9,1)。• 点B(1,4)到对称轴的距离：6-1=5格，对应点B'在对称轴右侧5格处，即B'(11,4)。• 点C(3,7)到对称轴的距离：6-3=3格，对应点C'在对称轴右侧3格处，即C'(9,7)。步骤二：按原顺序A→B→C连接对应点A'→B'→C'，得到右半部分。验证：左半部分和右半部分的形状完全对称，对应点到对称轴的距离分别相等。 【易错点】找对应点的关键是先算出到对称轴的距离，再在对称轴另一侧等距处标点。连接对应点时要按原图顶点的顺序。 【例5】 钟面上从12:00到3:00，时针沿顺时针方向旋转了多少度？如果时针从9:00的位置沿逆时针方向旋转90°，指向几时？ 【解题思路】钟面一圈360°，分12个大格，每格30°。顺时针走几格就乘30°。逆时针旋转就是倒退。 【解答】从12:00到3:00：走了3个大格，3×30°=90°。从9:00沿逆时针方向旋转90°：逆时针就是倒退，90°÷30°=3个大格，9-3=6，指向6:00。验证：从9:00倒退3格，依次经过8、7、6，确认为6:00。 【易错点】逆时针方向就是倒退，不能把逆时针旋转的方向搞反。计算时先算格数（角度÷30°），再按方向加减。 【例6】 小明把一张纸只对折一次，画了蝴蝶的一半图案并剪下。展开后得到的是旋转图案吗？请判断并说明理由。 【解题思路】根据对折次数与变换类型的对应关系来判断。只对折一次产生什么类型的图案？ 【解答】不是旋转图案。只对折一次，剪出来的是一个轴对称图形。展开后左右两边关于折痕所在直线对称，折痕就是对称轴。要剪出旋转图案需要多次折叠（如窗花、雪花的制作方法）。对照：蝴蝶图案（对折一次）→轴对称；窗花图案（多次折叠）→旋转；手拉手的小朋友图案（多次对折）→平移。 【易错点】对折次数决定变换类型。不能认为所有折叠都产生同一种变换。 易 错 专 练 基础辨析 1. 用数对表示位置时，______在前，______在后，中间用逗号隔开，外面用括号括起来。 2. 图形平移后，它的形状和大小都不发生改变。（　　） 3. 图形旋转后，它的形状和大小都发生改变。（　　） 4. 旋转的三个要素是______、______和______。 5. 轴对称图形的对称轴是一条线段。（　　） 6. 正方形有______条对称轴，等边三角形有______条对称轴，圆有______条对称轴，平行四边形有______条对称轴。 7. 制作图案过程中经常用到______、______和______三种图形变换。 方法巩固 8. 在方格图上，点(3,4)向右移动2格后的位置是（________）。 　　A. (3,6)　　B. (5,4) 　　C. (3,2)　　D. (1,4) 9. 在方格纸上，三角形的一个顶点A在(3,5)的位置，将三角形向右平移6格后，点A的位置变为（________）。 　　A. (9,5)　　B. (3,11) 　　C. (6,5)　　D. (3,6) 10. 下面关于旋转的说法，正确的是（________）。 　　A. 旋转中心会随图形一起移动 　　B. 图形旋转后形状不变但大小会变 　　C. 旋转必须说明旋转中心、方向和角度 　　D. 只有顺时针方向的转动才叫旋转 11. 下面图形中，对称轴最多的是（________）。 　　A. 正方形　　B. 长方形 　　C. 等边三角形　　D. 圆 12. 下面图形中，不是轴对称图形的是（________）。 　　A. 等腰三角形　　B. 正方形 　　C. 平行四边形　　D. 等边三角形 13. 把纸只对折一次后剪纸，展开后得到的图案运用了什么变换？ 　　A. 旋转　　B. 平移 　　C. 轴对称　　D. 以上都不是 14. 方格图上每格代表50m。小芳从家(3,2)出发，以每分50m的速度向北走了4分到达图书馆。图书馆的位置用数对怎样表示？ 15. 从6:00到9:00，时针沿顺时针方向旋转了（________）。 　　A. 60°　　B. 90° 　　C. 180°　　D. 270° 综合易错 16. 在方格图上，聪聪从起点(1,1)出发，沿方格线走到目的地(8,6)。请写出至少两条不同的行走路线，用数对表示途经的各点。 17. 钟面上从12:00到3:00，时针沿顺时针方向旋转了多少度？从12:00到6:00呢？如果时针从9:00的位置沿逆时针方向旋转90°，指向几时？ 18. 方格纸上有图形①，先将其向右平移5格，再画出平移后图形的轴对称另一半（以平移后图形右边缘所在竖直线为对称轴）。说一说你的操作步骤。 19. 从长方形、三角形和梯形中任选一个图形作为基本图形，利用平移、旋转或轴对称的方法，在方格纸上设计一个漂亮的图案，并简要说明你的设计过程。 20. 方格纸上有图形①，先将其向右平移6格得到图形②，再将图形②绕某一点沿顺时针方向旋转90°得到图形③。请你说一说：平移和旋转分别改变了图形的什么？什么没有改变？ 21. 方格图上，点A(3,2)和点B(3,5)在同一列上，点A和点C(7,2)在同一行上。每格代表20m。(1) A到B的距离是多少米？(2) A到C的距离是多少米？(3) 顺次连接A→B→C→A，得到什么图形？ 22. 请自主设计一个图案，写出制作步骤，并说明运用了哪些数学知识。可以选择折纸剪纸、花瓣旋转、拓印平移、圆规旋转或电脑绘图等方法。  参 考 答 案 第1题：列数；行数 【解析】数对的书写规则是：列数在前，行数在后。 第2题：√ 【解析】平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。 第3题：× 【解析】旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置和方向。 第4题：旋转中心；旋转方向；旋转角度 【解析】描述旋转需要说明绕哪个点（旋转中心）、沿什么方向（顺时针或逆时针）、转了多少度（旋转角度）。 第5题：× 【解析】对称轴是一条直线，不是线段或射线。直线可以向两端无限延伸。 第6题：4；3；无数；0 【解析】正方形4条（2条过对边中点的连线，2条对角线）；等边三角形3条（3条高所在的直线）；圆无数条（每条过圆心的直线）；平行四边形0条（不是轴对称图形）。 第7题：平移；旋转；轴对称 【解析】这三种图形变换是制作美丽图案的基本数学方法，可以单独使用，也可以组合使用。 第8题：B 【解析】向右移动，列数增加，行数不变。原来在第3列，向右移2格后到第5列，行数仍为4，所以新位置是(5,4)。 第9题：A 【解析】向右平移6格，列数加6（3+6=9），行数不变（仍为5），所以点A平移到(9,5)。 第10题：C 【解析】A错误，旋转中心不动；B错误，旋转不改变大小；C正确；D错误，逆时针方向也是旋转。 第11题：D 【解析】正方形有4条对称轴，长方形有2条，等边三角形有3条，圆有无数条对称轴。所以圆的对称轴最多。 第12题：C 【解析】平行四边形沿任何直线对折都不能完全重合，不是轴对称图形。等腰三角形、正方形和等边三角形都是轴对称图形。 第13题：C 【解析】只对折一次，剪出来的是一个轴对称图形，折痕所在直线就是对称轴。 第14题：图书馆的位置是(3,6)。 【解析】先算总路程50×4=200m，再换算格数200÷50=4格。向北走行数增加，2+4=6，列数不变，所以图书馆在(3,6)。 第15题：B 【解析】钟面共360°，分12个大格，每格30°。从6:00到9:00走了3个大格，3×30°=90°。 第16题：路线1：(1,1)→(8,1)→(8,6)路线2：(1,1)→(1,6)→(8,6)路线3：(1,1)→(4,1)→(4,6)→(8,6) 【解析】沿方格线行走时，每次只能水平或垂直移动。可以先水平再垂直（如路线1），也可以先垂直再水平（如路线2），还可以中途转弯多次（如路线3）。只要起点和终点正确，中间途经的点都是整数格线的交点即可。 第17题：从12:00到3:00：3×30°=90°。从12:00到6:00：6×30°=180°。从9:00沿逆时针方向旋转90°（倒退3个大格）：9-3=6，指向6:00。 【解析】钟面一圈360°，共12个大格，每格30°。顺时针走几格就乘30°。逆时针旋转就是倒退，从9:00倒退3格到6:00。 第18题：步骤一：将原图形向右平移5格，用关键点法找各顶点的对应位置并连线。步骤二：以平移后图形右边缘所在竖直线为对称轴，找各顶点的对应点（到对称轴距离相等），连线得到另一半。（具体坐标取决于原图形位置，方法正确即可。） 【解析】本题综合了平移和轴对称两种变换。关键是先完成平移，再在新位置上找对应点画另一半。注意选择合适的对称轴。 第19题：示例设计：基本图形为等腰三角形，变换方式为旋转。设计过程：①在方格纸中心确定旋转中心O。②画一个等腰三角形作为基本图形。③将基本图形绕点O顺时针旋转90°，得到第2个图形。④继续旋转90°，得到第3个和第4个图形。⑤4个三角形围成一个风车图案。（答案不唯一，学生可以选择不同的基本图形和变换方式。） 【解析】设计图案时需要明确三要素：基本图形、变换方式和变换参数（如平移方向和格数、旋转中心和角度、对称轴位置）。设计完成后要检查图案的规律性。鼓励学生尝试组合多种变换。 第20题：平移改变了图形的位置，没有改变图形的方向、形状和大小。旋转改变了图形的位置和方向，没有改变图形的形状和大小。无论平移还是旋转，图形的形状和大小始终不变。 【解析】平移和旋转都是图形的全等变换。平移只改变位置，旋转改变位置和方向，但两者都不改变形状和大小。这是平移和旋转的共同特征。 第21题：(1) A(3,2)到B(3,5)，同一列，行差=5-2=3格，3×20=60(m)。(2) A(3,2)到C(7,2)，同一行，列差=7-3=4格，4×20=80(m)。(3) 连接A→B→C→A得到一个直角三角形。∠A是直角，因为AB是竖直方向（同一列），AC是水平方向（同一行），它们互相垂直。 【解析】先根据数对判断两个点是在同一列还是同一行，再计算对应的行差或列差，最后乘以每格代表的距离。AB在同一列上（列数相同），AC在同一行上（行数相同），所以AB⊥AC，三角形ABC是直角三角形。 第22题：示例设计——旋转花朵：制作步骤：①准备一张正方形纸，对折后再折叠三次。②在折好的纸上画出花瓣的形状。③沿画好的线剪下，展开。④将展开后的花朵贴在彩色卡纸上。运用的数学知识：运用了旋转——多次折叠后剪出的图案，展开后各部分围绕中心旋转对称。也运用了轴对称——每次对折都使图案关于折痕对称。（答案不唯一。） 【解析】此题为综合设计题，评价标准包括：①能清晰写出制作步骤；②能正确说出运用的图形变换；③图案有新意。学生可以选择不同的方法，关键是说明数学原理。图形对称轴数量说明长方形2条过两组对边中点的连线正方形4条2条过对边中点的连线，2条对角线等腰三角形1条底边上的高所在的直线等边三角形3条3条高所在的直线圆无数条每条过圆心的直线都是对称轴平行四边形0条不是轴对称图形平移旋转沿直线方向移动，改变位置，不改变方向、形状和大小绕定点转动，改变位置和方向，不改变形状和大小图案名称对折方法运用的图形变换蝴蝶对折一次轴对称窗花多次折叠旋转手拉手的小朋友多次对折平移雪花多次折叠旋转常见错误正确认识认为(3,2)和(2,3)表示同一个位置数对中第一个数是列、第二个数是行，交换顺序后指向不同的交点常见错误正确认识数平移距离时数两个图形之间的空格数找对应关键点，数关键点从原位置移动到新位置的格数常见错误正确认识旋转时旋转中心随图形一起移动旋转中心是固定不动的点，图形上其他点都绕它转动常见错误正确认识把对称轴画成只在图形内部的线段对称轴是直线，应穿过整个图形并向两端延伸常见错误正确认识认为平行四边形是轴对称图形平行四边形沿任何直线对折都不能完全重合，不是轴对称图形常见错误正确认识认为只对折一次就能剪出旋转图案只对折一次产生轴对称图形，多次折叠才能产生旋转图案常见错误正确认识计算移动后位置时方向搞反，如向西走却增加列数向西走列数减少，向东走列数增加，向北走行数增加，向南走行数减少