初中数学北师大版（2024）九年级下册圆课后测评

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TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc23281" PAGEREF _Tc23281 \h 1
\l "_Tc201321764" 模型来源 PAGEREF _Tc201321764 \h 1
\l "_Tc201321765" 真题现模型 PAGEREF _Tc201321765 \h 2
\l "_Tc201321766" 提炼模型3
\l "_Tc201321768" 模型运用4
\l "_Tc11793" 模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类）4
\l "_Tc18836" 12
“主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋转、全等和相似。
（2025·山东·二模）如图，点是上一个动点，点在外一个定点，已知是等边三角形．当点在上运动时，点的位置也跟着发生改变，则的最小面积为 ．
模型1、运动轨迹为圆弧
模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？
分析：如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。

模型1-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？
分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。

模型1-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？
分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。

模型1-4.为了便于区分动点P、Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”。
此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）。

分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。
（1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中）
如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。

（2） 定边对定角（或直角）模型
1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。
2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。
模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹）
例1（2026九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，已知点，半径为10，，，点是上的动点，点是的中点，连接，则的最小值是（ ）
A．15B．C．35D．
例2（2026九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作圆，使其经过原点和点，若点是圆上异于的一点，点是弦的中点，则长度的最小值是（ ）
A．B．C．D．
例3（2025·江苏·校考一模）如图，四边形为正方形，P是以边AD为直径的上一动点，连接，以为边作等边三角形，连接，若，则线段的最大值为 ．
例4（2026九年级上·江苏宿迁·期中）如图，正方形的边长为7，以C为圆心，3为半径作．点P为上的动点，将绕点逆时针旋转得到，连接．在点P运动的过程中，长度的最大值是 ．

例5（2025·江苏无锡·校考一模）如图，矩形中，，以为圆心，3为半径作，为上一动点，连接，以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为（ ）
A．B．C．D．
例6（2025·广东·校考一模）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作Rt，且使，连接，则长的最大值为 ．
例7（2026九年级上·安徽合肥·校考期末）如图，在中，，，，平面上有一点P，，连接，，取的中点G．连接，在绕点A的旋转过程中，则的最大值是（ ）
A．3B．4C．D．5
例8（北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，对于图形与图形给出如下定义：为图形上任意一点，将图形绕点顺时针旋转得到，将所有组成的图形记作，称是图形关于图形的“关联图形”．(1)已知，，，其中．若，请在图中画出点关于线段的“关联图形”；若点关于线段的“关联图形”与坐标轴有公共点，直接写出的取值范围；(2)对于平面上一条长度为的线段和一个半径为的圆，点在线段关于圆的“关联图形”上，记点的纵坐标的最大值和最小值的差为，当这条线段和圆的位置变化时，直接写出的取值范围（用含和的式子表示）．
1．（2026九年级上·江苏南通·期末）如图，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，P为上一动点，Q为弦上一点，且．若点A的坐标为，则的最小值为（ ）

A．B．C．D．
2.（2025·安徽芜湖·二模）如图，M是等腰直角三角形的边的中点，P是平面内一点，连接，将线段以点A为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点M，P之间的距离为1，则的最小值为（ ）
A．4B．5C．3D．
3．（2026九年级上·广东·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在以为圆心，为半径的圆上，关于的对称点为．连接，将绕点逆时针旋转得到．连接．则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
4．（2026九年级上·江苏·月考）如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025山东青岛·二模）如图，已知正方形的边长为4，以点A为圆心，1为半径作圆，E是上的任意一点，将绕点D按逆时针旋转，得到，连接，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与x轴的正半轴交于点A，点B是上一动点，点C为弦的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则点C到直线的最小距离为（ ）
A．1B．C．D．
7．（2026九年级上·江苏扬州·期中）如图，矩形中，，，以为圆心，2为半径作，为上一动点，连接．以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为 ．
8．（2026九年级上·山东德州·期中）如图，是的直径，C为上一点，且，P为圆上一动点，D为的中点，连接．若的直径为4，则长的最大值是 ．
9．（2026·湖北黄石·九年级校考阶段练习）如图，四边形为正方形，P是以边为直径的上一动点，连接，以为边作等边三角形，连接，若，则线段的最大值为 ．
10．（2026九年级上·陕西安康·期中）如图，，点是平面内一动点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转后得到线段，连接，则线段的最小值为 ．
11．（2025·海南·模拟预测）如图，在中，，，以点B为圆心，2为半径作圆，D是上的任意一点，将点D绕点A逆时针旋转90°得到点E，连接CE、BE，则 ，线段BE的最小值为 ．
12．（2026·江苏·九年级校考阶段练习）如图，正方形的边长为4，的半径为2，为上的动点，则的最大值是 ．
13．（2026九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，（1）当点A、E、O三点共线时， ，（2）线段长的最小值为 ．
14．（2026九年级上·江苏南京·开学考试）[模型建立]如图①、②，点P分别在外、在内，直线分别交于点A、B，则是点P到上的点的最短距离，是点P到上的点的最长距离．
[问题解决]请就图①中为何最长进行证明．
[初步应用]（1）已知点P到上的点的最短距离为3，最长距离为7．则的半径为______．
（2）如图③，在中，，，．点E在边上，且，动点P在半径为2的上，则的最小值是______．
[拓展延伸]如图④，点，动点B在以为圆心，为半径的圆上，的中点为C，则线段的最大值为______．
15．（2026九年级上·四川德阳·期末）如图，中，，，在以为圆心，半径为的圆上运动，为的中点，则的最小值是 ．
16．（2025·广东广州·二模）如图，已知的半径长为，为直径，点是一动点，，连结，以为斜边，在上方构造直角三角形且满足，．
（1）若是的切线，求 ．（2）求的最大值为 ．
16．（四川宜宾·统考中考真题）如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ．

17．（2025·江苏泰州·一模）已知：在矩形中，，，点G是边的中点，连接．以点A为圆心、2为半径作，点E是上的一个动点，连接、．将线段绕点E逆时针旋转得到线段，连接、、．
知识回顾（1）如图1，当点E在直线的左侧时，试证明，并求出的长；
初步探索（2）直接写出的最小值是 ，最大值是 ；
操作并思考（3）如图2，当点E落在边上时，试猜想和有怎样的位置关系，并说明理由；
（4）若点E到G、F之间的距离相等，请根据图1、图3两种情况，求的长．

专题11 圆中的最值模型之瓜豆原理（圆弧轨迹）
动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
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\l "_Tc201321764" 模型来源 PAGEREF _Tc201321764 \h 1
\l "_Tc201321765" 真题现模型 PAGEREF _Tc201321765 \h 2
\l "_Tc201321766" 提炼模型3
\l "_Tc201321768" 模型运用4
\l "_Tc11793" 模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类）4
\l "_Tc18836" 12
“主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋转、全等和相似。
（2025·山东·二模）如图，点是上一个动点，点在外一个定点，已知是等边三角形．当点在上运动时，点的位置也跟着发生改变，则的最小面积为 ．
【答案】
【详解】解：如图，以为边作等边，连接，
∵ ∴ ，即，
在和 中， ∴ ；∴
∴点的运动轨迹是以点为圆心，长为半径的圆上，
要使得 面积最小，则点到线段的距离最小，
∵是边长为2的等边三角形，∴点到的距离为，
∴点到的最小值为，∴面积最小值为： ．故答案为：．
模型1、运动轨迹为圆弧
模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？
分析：如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。

模型1-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？
分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。

模型1-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？
分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。

模型1-4.为了便于区分动点P、Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”。
此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）。

分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。
（1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中）
如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。

（2） 定边对定角（或直角）模型
1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。
2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。
模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹）
例1（2026九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，已知点，半径为10，，，点是上的动点，点是的中点，连接，则的最小值是（ ）
A．15B．C．35D．
【答案】B
【详解】解：如图，连接交于，连接，∴，
∵，，，∵点是的中点，即，
∴是的中位线，，当最小时，最小，当运动到时，最小，
∵半径为10，∴此时的最小值．故选：B．
例2（2026九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作圆，使其经过原点和点，若点是圆上异于的一点，点是弦的中点，则长度的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：连接、，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，连接，如图：
∵点的坐标是，，∴，，∴，
故是等腰直角三角形，∴，，故，
又∵，，∴是等腰直角三角形，∴，
∵，，∴是等腰直角三角形，∴，
∴，在中，，
∵点是弦的中点，∴，故点是在以点为圆心的圆上，
当点、、三点共线时，的值最小；此时．故选：C．
例3（2025·江苏·校考一模）如图，四边形为正方形，P是以边AD为直径的上一动点，连接，以为边作等边三角形，连接，若，则线段的最大值为 ．
【答案】/
【详解】解：连接、，将绕点B逆时针旋转得到，连接，

∵绕点B逆时针旋转得到，∴，，
∵为等边三角形，∴，，
∴，即，
在和中，，∴，
∵，四边形为正方形，∴，则，∴，
∴点Q在以点为圆心，为半径的圆上运动；∴当点O，，P三点在同一直线上时，取最大值，
在中，根据勾股定理可得：，
∵，， ∴为等边三角形，∴，
∴，故答案为：．
例4（2026九年级上·江苏宿迁·期中）如图，正方形的边长为7，以C为圆心，3为半径作．点P为上的动点，将绕点逆时针旋转得到，连接．在点P运动的过程中，长度的最大值是 ．

【答案】
【详解】解：如图，连接，，，，
，，．，
在以为圆心，3为半径的圆上，连接，则当在的延长线上时，最长，
根据勾股定理可得，此时，故答案为：．
例5（2025·江苏无锡·校考一模）如图，矩形中，，以为圆心，3为半径作，为上一动点，连接，以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】如图，取的中点，连接，，，DE．
∵，，∴，∵，，∴，
∵，∴，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，∴，
∵，∴，∴点的运动轨迹是以为圆心1为半径的圆，
∵，∴，∴，∴的最小值为．故选：A．
例6（2025·广东·校考一模）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作Rt，且使，连接，则长的最大值为 ．
【答案】/
【详解】解：如图，作，使得，，则，，，
，，，，，
，即（定长），点是定点，是定长，点在半径为1的上，
，的最大值为，故答案为：．
例7（2026九年级上·安徽合肥·校考期末）如图，在中，，，，平面上有一点P，，连接，，取的中点G．连接，在绕点A的旋转过程中，则的最大值是（ ）
A．3B．4C．D．5
【答案】A
【详解】解：如图，取的中点，连接，，
∵为的中点，，∴，∴在以为圆心，为半径的圆上，
当C，Q，G三点共线时，最大，，
∵，，，∴，∴，
∴，即的最大值为．故选A
例8（北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，对于图形与图形给出如下定义：为图形上任意一点，将图形绕点顺时针旋转得到，将所有组成的图形记作，称是图形关于图形的“关联图形”．(1)已知，，，其中．若，请在图中画出点关于线段的“关联图形”；若点关于线段的“关联图形”与坐标轴有公共点，直接写出的取值范围；(2)对于平面上一条长度为的线段和一个半径为的圆，点在线段关于圆的“关联图形”上，记点的纵坐标的最大值和最小值的差为，当这条线段和圆的位置变化时，直接写出的取值范围（用含和的式子表示）．
【答案】(1)①见详解；②或(2)
【详解】（1）解：如图所示：线段即为所求；

如图：当 时，点关于线段的“关联图形”与轴恰有公共点，
∴时，点关于线段的“关联图形”与轴有公共点；
当 时，点关于线段的“关联图形”与轴恰有公共点，
∴时，点关于线段的“关联图形”与轴有公共点；

综上所述：或；
（2）如图，画出分析图，如图所示，线段的长度为，圆的半径为，
点分别绕点顺时针旋转得到，分析可知且相似比为，
可得圆的半径均为，随意转动图，可得．
1．（2026九年级上·江苏南通·期末）如图，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，P为上一动点，Q为弦上一点，且．若点A的坐标为，则的最小值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：连接，过点Q作，交于点M，以点M为圆心，为半径作圆，连接交于点，如图所示：

∵，∴，∴，∵，∴，
∵点A的坐标为，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，∴，
∴，∴点Q在上，∴当M、Q、C在同一直线上，即Q与重合时，最小，
∵，，∴，
∴，∴最小值为，故B正确．故选：B．
2.（2025·安徽芜湖·二模）如图，M是等腰直角三角形的边的中点，P是平面内一点，连接，将线段以点A为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点M，P之间的距离为1，则的最小值为（ ）
A．4B．5C．3D．
【答案】C
【详解】解：连接，，将线段绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，，
由旋转性质得，，，即，
∴，是等腰直角三角形，∴，，
则点Q在以H为圆心，1为半径的圆上运动，
∵，∴当M、Q、H共线时，最小，最小值为，
∵点M是等腰直角三角形边的中点，，
∴，，∴，
∴的最小值为，故选：C．
3．（2026九年级上·广东·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在以为圆心，为半径的圆上，关于的对称点为．连接，将绕点逆时针旋转得到．连接．则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：∵点，，
∴点关于点的对称点的横坐标为，纵坐标为，即，
∵点在以为圆心，为半径的圆上，关于的对称点为，
∴点在以点为圆心，为半径的圆上，如图，连接，

∵，∴点到轴的距离为，到轴的距离为，∴，
将绕点逆时针旋转度得，则，∴与轴的负半轴的夹角为，
∴，∴点在以点为圆心，为半径的圆上，
∴当点在上顺时针运动时，根据轴对称的性质可得：
点在上逆时针运动，点在上顺时针运用，连接，∴，
∵点，的运动方向不同，∴线段与线段的关系是：相交（如图）与平行（如图），
∴如图，当时，延长交于点，过点作于点，
当，时，，∴最大时，的值最小，
∴当时，的值在四边形是平行四边形时最大，
∴，∴．故选：D．
4．（2026九年级上·江苏·月考）如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：如图，取点关于直线的对称点，连接、两线交于点，连接，，，过作于，
∵点是的中点，∴，∴点在以为圆心，半径为的圆上运动，
∵四边形为正方形，∴，，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴ 当、、、四点共线时，的值最小，的最小值为，∴的最小值为，故选：A．
5．（2025山东青岛·二模）如图，已知正方形的边长为4，以点A为圆心，1为半径作圆，E是上的任意一点，将绕点D按逆时针旋转，得到，连接，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：如图，连接，，，
∵四边形是正方形，，，，，
在和中，，，，
，即，∴当F在上时，最小，
∵正方形的边长为4，，的最小值是；故答案为：B．
6．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与x轴的正半轴交于点A，点B是上一动点，点C为弦的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则点C到直线的最小距离为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【详解】解：连接，如图，
∵点C为弦的中点，∴，∴，∴点C在以为直径的圆上（点O、A除外），
以为直径作，过P点作直线于H，交于M、N，
当时，，则，当时，，解得，则，
∴，∴，∵的半径为2，∴，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
即，解得，∴ ， ．
∴点C到直线的最小距离为．故选：C．
7．（2026九年级上·江苏扬州·期中）如图，矩形中，，，以为圆心，2为半径作，为上一动点，连接．以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为 ．
【答案】/
【详解】解：如图，取的中点，连接，，，∴，
∵四边形是矩形∴，，
四边形是矩形，，，
，，，，
点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，
，，，
的最小值为．故答案为：．
8．（2026九年级上·山东德州·期中）如图，是的直径，C为上一点，且，P为圆上一动点，D为的中点，连接．若的直径为4，则长的最大值是 ．
【答案】/
【详解】解：连接，，∵是的直径，∴O为的中点，，
∵D为的中点，∴是的中位线则，∴，
如图，当点P在上移动时，的中点的轨迹是以为直径的，
∵ 的直径为4，∴因此的延长线交于点，此时的长最大，
由题意得，，，
在中，，，∴，∴，故答案为：．
9．（2026·湖北黄石·九年级校考阶段练习）如图，四边形为正方形，P是以边为直径的上一动点，连接，以为边作等边三角形，连接，若，则线段的最大值为 ．
【答案】/
【详解】解：连接、，将绕点B逆时针旋转得到，连接，
∵绕点B逆时针旋转得到，∴，，
∵为等边三角形，∴，，
∴，即，
在和中，，∴，
∵，四边形为正方形，∴，则，
∴，∴点Q在以点为圆心，为半径的圆上运动；
∴当点O，，P三点在同一直线上时，取最大值，
在中，根据勾股定理可得：，
∵，， ∴为等边三角形，∴，
∴，故答案为：．
10．（2026九年级上·陕西安康·期中）如图，，点是平面内一动点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转后得到线段，连接，则线段的最小值为 ．
【答案】4
【详解】解：将线段绕点逆时针旋转后得到线段，连接，则：，
∴，∵将线段绕点逆时针旋转后得到线段，
∴，∴，∴，
∴，∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动，
∴当点在线段上时，的值最小为的长，即的最小值为；故答案为：4．
11．（2025·海南·模拟预测）如图，在中，，，以点B为圆心，2为半径作圆，D是上的任意一点，将点D绕点A逆时针旋转90°得到点E，连接CE、BE，则 ，线段BE的最小值为 ．
【答案】
【详解】连接，∵点D绕点A逆时针旋转90°得到点E，∴，
∵，∴，，∴，
在和中，∵，∴，∴，
∴点是在以为圆心，半径为的圆上，
∴当点在线段上时，线段BE最小，最小值为：，故答案为：，．
12．（2026·江苏·九年级校考阶段练习）如图，正方形的边长为4，的半径为2，为上的动点，则的最大值是 ．
【答案】2
【详解】如图：以为斜边构造等腰直角三角形，连接，，

∴，，四边形正方形，
又，
在与中，

故答案为：2．
解法2 如图：连接、、 根据题意正方形的边长为4，的半径为2
，
在上做点，使，则，连接
在与中，，则
在上做点，使，则，连接
在与中，
，则 如图所示连接
在与中，，
故答案为：2．
13．（2026九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，（1）当点A、E、O三点共线时， ，（2）线段长的最小值为 ．
【答案】 / /
【详解】解：（1）当点A、E、O三点共线时，是边的中点，∴，
∴，故答案为：；
（2）∵四边形是正方形，∴，，∴，
即，∴，
在和中，∴，∴，，
由于，所以点可以看作是以为圆心，2为半径的半圆上运动，
延长到点，使得，连接，
∵，∴，即，
∵，∴，∴，
当最小时，、、三点共线，，
∴∴线段长的最小值为．故答案为：．
14．（2026九年级上·江苏南京·开学考试）[模型建立]如图①、②，点P分别在外、在内，直线分别交于点A、B，则是点P到上的点的最短距离，是点P到上的点的最长距离．
[问题解决]请就图①中为何最长进行证明．
[初步应用]（1）已知点P到上的点的最短距离为3，最长距离为7．则的半径为______．
（2）如图③，在中，，，．点E在边上，且，动点P在半径为2的上，则的最小值是______．
[拓展延伸]如图④，点，动点B在以为圆心，为半径的圆上，的中点为C，则线段的最大值为______．
【答案】[问题解决]证明见解析；[初步应用]（1）2或5；（2）；[拓展延伸]
【详解】解：[问题解决]如图，点C为上任意一点，连接，，
当点C与点B不重合时，∵在中，，
又，∴，即，
当点C与点B重合时，，∴综上可得，，
∵点C为上任意一点，∴的长是点P到上的点的最长距离．
[初步应用]（1）若点P在外，如图①，
则，，∴，∴的半径为2；
若点P在内，如图②，则，，
∴，∴的半径为5；
综上所述，的半径为2或5．故答案为：2或5
（2）连接，交于点D，由[模型建立]可得的长是点A到上的点的最短距离，
∴的最小值是的长
∵在中，，，∴，
∴，∴的最小值是．
[拓展延伸]取点，连接，∵，，∴点A是线段的中点，
∵点C是线段的中点，∴，∴当线段取得最大值时，线段也取得最大值，
连接，并延长交于点，∴当点B位于点时，线段有最大值，
∵，，∴，∵的半径为，即，∴，
∴线段有最大值为，∴线段的最大值为．故答案为：
15．（2026九年级上·四川德阳·期末）如图，中，，，在以为圆心，半径为的圆上运动，为的中点，则的最小值是 ．
【答案】5
【详解】解：如图，设的中点为，连接，，
∵M是的中点，E是的中点，∴为的中位线，∴．
∴点在以为圆心，为半径的圆上运动，
∵中，E是的中点，，，
∴，∴，
当点在下方时，∴此时最小，为．故答案为：．
16．（2025·广东广州·二模）如图，已知的半径长为，为直径，点是一动点，，连结，以为斜边，在上方构造直角三角形且满足，．
（1）若是的切线，求 ．（2）求的最大值为 ．
【答案】 或 /
【详解】解：如图所示，
∵的半径长为，为直径，，∴
又∵是的切线，∴，∴
∵，．∴,
∵∴∴
在中，；
如图所示，过点作于点，
∵，∴
∵，∴，∴
在中，故答案为：或．
（2）如图所示，以为斜边构造直角三角形且满足，， 则；
∵，∴，∴即
又∵∴∴
∴∴，∴点在以为圆心，为半径的圆上运动，
∴的最大值为故答案为：．
16．（四川宜宾·统考中考真题）如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ．

【答案】
【详解】解，如图，连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，

的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，
如图，当、、三点共线时，的值最小，
四边形是正方形，，，
是的中点，，，
由旋转得：，，
，的值最小为．故答案：．
17．（2025·江苏泰州·一模）已知：在矩形中，，，点G是边的中点，连接．以点A为圆心、2为半径作，点E是上的一个动点，连接、．将线段绕点E逆时针旋转得到线段，连接、、．
知识回顾（1）如图1，当点E在直线的左侧时，试证明，并求出的长；
初步探索（2）直接写出的最小值是 ，最大值是 ；
操作并思考（3）如图2，当点E落在边上时，试猜想和有怎样的位置关系，并说明理由；
（4）若点E到G、F之间的距离相等，请根据图1、图3两种情况，求的长．

【答案】（1）见解析，；（2）；（3），见解析；（4）
【详解】解：（1）∵矩形中，，，点G是边的中点，
∴，，∴，，
∵，，∴，，
∴，，∴，∴，∵，∴；
（2）如图，∵，∴在以为圆心，为半径的圆上运动，记与的交点为，，

∴，∴，，
∴的最小值为，的最大值为；
（3）如图，过作于，∵，，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴；
（4）如图，连接，∵，，，∴，而，

∴，∴，
∵，∴，，∴；
如图，同理可得：，∴，，∴；
综上：当时，．