小学数学苏教版（2024）五年级上册（2024）☆ 钉子板上的多边形课堂检测

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本课核心问题
怎样用字母简洁地表示多边形面积规律和数量之间的关系？
一、学习目标
1. 能通过在钉子板上围多边形，探索并发现面积与边上钉子数、内部钉子数之间的关系，用字母公式表示规律
2. 能用字母表示数量关系（如年龄关系、速度时间路程），掌握省略乘号的书写规则，会代入求值
3. 理解等式的基本性质，能进行简单的等量传递推理
二、重点
• 钉子板多边形面积规律的探索与字母表达
• 用字母表示数量关系和公式，省略乘号的书写规则
• 等式的基本性质
三、难点
• 从特殊到一般归纳规律的过程理解
• a²与2a的区别，省略乘号规则的准确运用
学习支架
钉子板示意图
钉子板多边形数据记录表
a² 与 2a 的区别
探索规律的一般方法
1. 从最简单情况入手
2. 动手操作或画图
3. 列表整理数据
4. 观察数据间的关系
5. 用字母归纳一般规律
6. 验证规律是否正确
四、知识要点
1. 钉子板上的多边形——内部1枚钉子
在钉子板上围多边形时，如果多边形内部只有1枚钉子，那么多边形的面积S与边上的钉子数n之间有以下关系：S = n ÷ 2
验证：当边上钉子数n=4时，S=4÷2=2（平方单位）；当边上钉子数n=6时，S=6÷2=3（平方单位）；当边上钉子数n=8时，S=8÷2=4（平方单位）。注意：这里的面积单位是钉子板上相邻4个钉子围成的小正方形的面积。
2. 钉子板上的多边形——内部2枚钉子
当多边形内部有2枚钉子时，面积公式变为：S = n ÷ 2 + 1
验证：当n=4时，S=4÷2+1=3（平方单位）；当n=6时，S=6÷2+1=4（平方单位）。对比内部1枚钉子的公式S=n÷2，内部多1枚钉子，面积就多了1个平方单位。
3. 钉子板上的多边形——一般规律
如果多边形内部有a枚钉子，那么面积的一般公式为：S = n ÷ 2 + a - 1
其中n表示多边形边上的钉子数，a表示多边形内部的钉子数，S表示多边形的面积（平方单位）。这就是著名的皮克定理的初步形式。验证：当a=1时：S=n÷2+1-1=n÷2 ✓（与KP-1一致）
当a=2时：S=n÷2+2-1=n÷2+1 ✓（与KP-2一致）
当a=0时：S=n÷2+0-1=n÷2-1 ✓（与KP-4一致）
4. 特殊情况——内部0枚钉子
当多边形内部没有钉子时（a=0），面积公式为：S = n ÷ 2 - 1
例如：在钉子板上围一个三角形，边上有4枚钉子，内部没有钉子，则面积S=4÷2-1=1（平方单位）。
5. 探索规律的方法
探索数学规律的一般步骤：第一步：从简单情况入手——先研究内部钉子数最少的情况。第二步：动手操作——在钉子板上实际围出不同的多边形。第三步：列表整理——把边上钉子数n和对应面积S记录在表格中。第四步：观察比较——寻找数据之间的固定关系。第五步：归纳规律——用含有字母的式子表示发现的规律。第六步：验证规律——用新的数据检验公式是否仍然成立。
6. 用字母表示数量关系
用字母可以简洁地表示数量之间的关系。例如：妹妹今年a岁，哥哥比妹妹大4岁，哥哥今年（a+4）岁。当a=10时，a+4=10+4=14，哥哥今年14岁。注意：这里的字母a表示一个确定的数，可以根据实际情况代入不同的值。再如：摆1个五边形需要5根小棒，摆x个五边形需要5x根小棒。当x=3时，5x=5×3=15根小棒。
7. 用字母表示公式与省略乘号规则
正方形的边长用a表示：周长 C = 4a（即C=4×a，数字与字母间的乘号可以省略）
面积 S = a²（即S=a×a，a²读作"a的平方"）
省略乘号的规则：① 数字与字母相乘：省略乘号，数字写在字母前面。如4×a写作4a
② 字母与字母相乘：省略乘号。如a×b写作ab
③ 1与字母相乘：1省略不写。如1×a写作a
④ 相同字母相乘：写成平方形式。如a×a写作a²
注意：加号、减号、除号不能省略！a+b不能写成ab。特别注意：a²表示a×a，不等于a×2（即2a）。例如：当a=5时，a²=5×5=25，而2a=2×5=10。
8. 速度、时间与路程的关系
如果用s表示路程，v表示速度，t表示时间，则：s = v × t（即s=vt）
由此还可以推出：v = s ÷ t
t = s ÷ v
例如：一辆汽车每小时行60千米，行了3小时。路程s = vt = 60×3 = 180（千米）
9. 等量传递推理
数学家韦达最早系统地用字母表示数。在推理中，有一条重要性质：如果a=b，b=c，那么a=c。即：等量的等量相等。例如：小明身高=a厘米，小华身高和小明一样为b厘米，小丽身高和小华一样为c厘米。因为a=b，b=c，所以a=c，即小明和小丽身高相同。
10. 等式的基本性质
性质一：等式两边同时加上（或减去）同一个数，所得结果仍然是等式。如果a=b，那么a+c=b+c，a-c=b-c。性质二：等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。如果a=b，那么a×c=b×c，a÷c=b÷c（c≠0）。注意：除以的数不能为0！因为0不能作除数。这些性质是今后解方程的重要基础。
五、典型例题
【例1】
在钉子板上围一个多边形，量得内部有1枚钉子，边上有10枚钉子。这个多边形的面积是多少平方单位？如果内部有3枚钉子呢？
【解答】（1）内部1枚钉子时，使用公式S=n÷2：当n=10时，S=10÷2=5（平方单位）
（2）内部3枚钉子时，使用一般公式S=n÷2+a-1：当n=10，a=3时，S=10÷2+3-1=5+3-1=7（平方单位）
答：内部1枚钉子时面积是5平方单位；内部3枚钉子时面积是7平方单位。
【点拨】先判断内部钉子数a的值，再选择对应的公式。一般公式S=n÷2+a-1适用于所有情况。
【例2】
用含有字母的式子表示下面的数量关系，并求值：（1）一本故事书x元，买3本这样的书需要多少元？当x=25时，需要多少元？（2）水果店有苹果a千克，香蕉的质量是苹果的2倍。香蕉有多少千克？当a=40时，香蕉有多少千克？
【解答】（1）买3本书需要的钱数：3x元
当x=25时，3x=3×25=75（元）
答：买3本故事书需要75元。（2）香蕉的质量：2a千克
当a=40时，2a=2×40=80（千克）
答：香蕉有80千克。
【点拨】先用字母写出数量关系式，再代入具体数值计算。注意3x表示3×x，不是3+x。
【例3】
判断下面各式的书写是否正确，正确的画"√"，错误的画"×"并改正：（1）a×5写作a5
（2）b×b写作b²
（3）1×m写作1m
（4）(a+b)×2写作2(a+b)
（5）a+a写作a²
【解答】（1）×。数字与字母相乘，数字应写在字母前面，应写作5a。（2）√。相同字母相乘写成平方形式，b×b=b²。（3）×。1与字母相乘，1省略不写，应写作m。（4）√。数字与括号相乘可以省略乘号，数字写在前面。（5）×。a+a是两个a相加，结果是2a，而不是a²。a²表示a×a。
【点拨】牢记省略乘号的四条规则，特别注意a+a=2a（加法），a×a=a²（乘法），两者含义完全不同。
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. 在钉子板上围多边形，当内部有1枚钉子时，面积S与边上钉子数n的关系是S=（________）。
2. 在钉子板上围多边形，当内部有2枚钉子时，面积S与边上钉子数n的关系是S=（________）。
3. 钉子板上围多边形的一般公式是S=n÷2+a-1，其中n表示（________），a表示（________）。
4. 在钉子板上围一个多边形，内部有3枚钉子，边上有8枚钉子，这个多边形的面积是（________）平方单位。
5. 正方形边长为a厘米，它的周长C=（________），面积S=（________）。
6. 省略乘号后，3×a写作（________），x×y写作（________），1×b写作（________）。
7. 一辆汽车每小时行v千米，t小时行了（________）千米。当v=80，t=3时，行了（________）千米。
8. 等式两边同时加上（或减去）（________）数，所得结果仍然是等式。
9. 小明今年a岁，爸爸比小明大28岁，爸爸今年（________）岁。当a=11时，爸爸今年（________）岁。
10. a²一定大于2a。（ ）
11. a×b可以写成ab。（ ）
12. 等式两边同时除以同一个数，所得结果仍然是等式。（ ）
13. 在钉子板上，内部没有钉子的多边形，面积S=n÷2-1（n为边上钉子数）。（ ）
★★ 能力提升
14. 当a=4时，a²=（________）。
A. 8 B. 16
C. 42 D. 6
15. 下面哪个式子的书写是规范的？
A. a×3写作a3 B. m+n写作mn
C. x×1写作x D. 5+a写作5a
16. 在钉子板上围多边形，内部有4枚钉子，边上有12枚钉子，面积是（________）平方单位。
A. 6 B. 8
C. 9 D. 10
17. 已知a=b，b=c。下面哪个结论正确？
A. a>c B. a