第十七章 因式分解【章末复习】-培优课件-2026-2027学年人教版数学八年级上册

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人教版数学8年级上册精做课件授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月22日 章末复习第十七章 因式分解第十七章 因式分解 全章知识点总结与综合练习一、因式分解核心基础（全章总纲）1. 定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。2. 与整式乘法的关系互逆运算：整式乘法：积 → 和差（展开变繁）因式分解：和差 → 积（化简变简）3. 三大硬性解题要求（考试必守）① 分解彻底：直到每个因式不能再分解为止；② 结果为纯乘积形式：括号内无加减运算；③ 结果最简：括号首项为正、无重复括号、合并同类项完毕。4. 因式分解万能顺序（必考口诀）一提、二套、三检查1. 一提：优先提取公因式（数字、字母、多项式整体）；2. 二套：二项式套平方差，三项式套完全平方；3. 三检查：复查是否有剩余公因式、能否继续分解。二、17.1 提公因式法（基础方法）1. 公因式寻找三步法① 系数：取各项系数最大公约数；② 字母：取各项公共字母；③ 指数：取公共字母最低次幂。2. 两类公因式（1）单项式公因式：数字、单个字母、多字母单项式例：$$6x^2-9x=3x(2x-3)$$（2）多项式整体公因式（进阶）核心符号变形（必背）：$$b-a=-(a-b)$$$$(b-a)^2=(a-b)^2$$（偶次幂不变号）$$(b-a)^3=-(a-b)^3$$（奇次幂变号）口诀：偶同、奇反例：$$a(x-y)-b(y-x)=(x-y)(a+b)$$3. 提公因式高频易错点① 某项全部提完剩1，不可漏写；② 首项为负，优先提负公因式，括号内全部变号；③ 公因式找不全，漏系数、漏低次幂。三、17.2 公式法（核心重难点）1. 平方差公式（二项式专用）公式：$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$适用条件（缺一不可）：① 只有两项；② 两项符号一正一负；③ 两项均可写成平方形式口诀：两项、异号、皆平方常见考法：基础平方、带系数平方、先提后套、多次分解例：$$x^4-16=(x^2+4)(x^2-4)=(x^2+4)(x+2)(x-2)$$2. 完全平方公式（三项式专用）公式：$$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$$$$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$适用条件（缺一不可）：① 二次三项式；② 首尾平方项同为正；③ 中间项为首尾平方根乘积的2倍口诀：首平方，尾平方，首尾两倍放中央常见考法：标准型、带系数型、先提后套、整体换元型例：$$(m+n)^2-6(m+n)+9=(m+n-3)^2$$四、两大公式核心对比（防混淆神器）对比项目平方差公式完全平方公式项数二项式三项式符号特征一正一负首尾为正，中间可正可负分解结果两个不同因式相乘一个整式的平方（两个相同因式）核心结构平方相减平方±两倍积五、全章终极解题步骤（标准满分流程）步骤1：提公因式（无论有无公式结构，先彻底提公因式）步骤2：判断结构套公式• 剩两项 → 判平方差• 剩三项 → 判完全平方步骤3：彻底分解（多次分解、整体换元分解）步骤4：检查化简（去括号、合并同类项、首项为正）六、全章高频易错汇总（扣分重灾区）1. 混淆公式：$$a^2+b^2$$不能分解，$$a^2-b^2$$可用平方差分解；2. 完全平方漏中间项：严禁出现 $$(a\pm b)^2=a^2\pm b^2$$ 错误；3. 平方系数遗漏：$$4x^2=(2x)^2$$，不可忽略系数平方；4. 变号不彻底：提负公因式、相反数变形时，部分项漏变号；5. 分解不彻底：一次分解结束，未检查剩余因式是否可继续分解；6. 结果不规范：保留和差形式、括号首项为负、多余未化简项。七、全章综合真题演练（基础+拔高）一、基础分解题1. $$8x^2-12xy$$    2. $$-3a^2+6a-3$$3. $$x^2-49$$    4. $$36a^2-25b^2$$5. $$x^2-12x+36$$    6. $$9x^2+12x+4$$二、进阶综合题（先提后套）7. $$2x^2-18$$    8. $$4a^3-16a^2+16a$$三、拔高整体换元题9. $$4(x-y)^2-9(x+y)^2$$10. $$(a-b)^2-8(a-b)+16$$八、真题参考答案及详细解析1. 原式$$=4x(2x-3y)$$ 【提公因式】2. 原式$$=-3(a^2-2a+1)=-3(a-1)^2$$ 【先提负公因式，再套完全平方】3. 原式$$=(x+7)(x-7)$$ 【平方差公式】4. 原式$$=(6a+5b)(6a-5b)$$ 【平方差公式】5. 原式$$=(x-6)^2$$ 【完全平方差公式】6. 原式$$=(3x+2)^2$$ 【完全平方和公式】7. 原式$$=2(x^2-9)=2(x+3)(x-3)$$ 【先提后套平方差】8. 原式$$=4a(a^2-4a+4)=4a(a-2)^2$$ 【先提后套完全平方】9. 原式$$=[2(x-y)]^2-[3(x+y)]^2$$$$=[2(x-y)+3(x+y)][2(x-y)-3(x+y)]$$$$=(5x+y)(-x-5y)=-(5x+y)(x+5y)$$10. 原式$$=(a-b-4)^2$$ 【整体换元，完全平方公式】整式的乘法乘法公式(a + b)(a－b) = a2－b2(a±b)2= a2±2ab + b2 相反变形因式分解相反变形特殊形式①提公因式法②公式法因式分解 把一个多项式化为几个______的____的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式.1. 因式分解的定义整式积整式的乘法因式分解2. 因式分解的方法(1) 提公因式法：(2) 公式法① 平方差公式：② 完全平方公式：pa + pb + pc = p( a + b + c )a2 - b2 = (a + b)(a - b)a2±2ab + b2 = (a±b)2例1 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是 ( ) A．a(x－y)＝ax－ay B．x2－1＝(x＋1)(x－1) C．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3 D．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1考点一 因式分解的概念B【归纳总结】 判断是否是因式分解的关键是结果必须为几个整式的乘积的形式 . 【变式训练】1. 下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是 ( ).A. a(m + n) = am + an B. x²-y²+1= (x + y)(x - y) + 1C. 10x² - 5x = 5x(2x - 1) D. (a + b)² = a²+2ab+b²2.下列式子从左到右变形是因式分解的是 ( ).A. 10xy² = 2x · 5y² B. (x+y)(x-y) = x² - y²C. x² - 3x + 1 = x(x - 3) + 1 D. x²+x-6 = (x + 3)(x - 2)CD考点一 因式分解的概念考点二 提公因式法因式分解例2 把下列各式分解因式： (1) 5xy - 10x； (2) m(a² + b²) - n(a² + b²).解：(1) 原式 = 5x · y - 5x · 2 = 5x(y - 2)；(2) 原式 = (a² + b²)(m - n).3.利用提公因式法分解多项式 x3 + x2 可以得到( ).A. x² - 1 B. x²(x + 1) C. x² + 1 D. x² - x 解析：x3 + x2 = x2(x + 1) .【变式训练】B考点三 公式法因式分解例3 (1)下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是( ).A. a² + 4 B. a3 - 8 C. -a² + 4 D. -a² - 4(2) 下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为 ( ) .① x² - 10x + 25；② -4a² + 4a - 1； ③ x² - 2x - 1；A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个  CB考点三 公式法因式分解例4 利用因式分解说明：当 n 为自然数时，(n + 7)2 - (n - 5)2 能被 24 整除.解：(n + 7)2 - (n - 5)2= [ (n + 7) + (n - 5) ][ (n + 7) - (n - 5) ]= ( 2n + 2 )( n + 7 - n + 5)= 12( 2n + 2 )= 24(n + 1). 因为 n 为自然数 ，故 n + 1 也为自然数，24(n + 1) 能被 24 整除，所以 (n + 7)2 - (n - 5)2 能被 24 整除.例5 先阅读下面的内容，再解答问题：求多项式 m² + 2mn + 2n² - 6n + 13 的最小值.解：m² + 2mn + 2n² - 6n + 13= (m² + 2mn + n²) + (n² - 6n + 9) + 4= (m + n)² + (n - 3)² + 4.因为(m+ n)²≥0，(n-3)²≥0，所以多项式 m² + 2mn + 2n² - 6n + 13 的最小值是 4 .求多项式 -2x² + 4xy - 3y² - 6y + 7 的最大值.考点三 公式法因式分解求多项式 -2x² + 4xy - 3y² - 6y + 7 的最大值.解：-2x² + 4xy - 3y² - 6y + 7= -2x² + 4xy - 2y² - y² - 6y - 9 + 16= -2( x² - 2xy + y²) -( y² + 6y + 9 ) + 16= -2( x - y)² - (y + 3)2 + 16.因为 -2( x - y)²≤0，-(y + 3)2≤0，所以多项式 -2x² + 4xy -3y² - 6y + 7 的最大值是 16.考点三 公式法因式分解1．深圳期末下列从左到右的变形中，属于因式分解的是( )C  返回 A  返回 返回3．若x2－ax－2可以因式分解为(x－2)(x＋b)，则a－b的值为(　　)A．－1 B．1 C．－2 D．0D 返回4．把－6a3＋4a2－2a分解因式时，提出公因式后，另一个因式是(　　)A．3a2－2a＋1 B．6a2－4a＋2C．3a2－2a D．3a2＋2a－1A 返回5．青岛期末下列多项式能用平方差公式分解因式的是( )D  返回6.下列因式分解正确的是( )D  返回 D  返回8．教材P132习题T7变式对于任意自然数n，关于代数式(n＋7)2－(n－5)2的值，下列说法错误的是(　　)A．总能被3整除 B．总能被4整除C．总能被6整除 D．总能被7整除D 返回9．内江中考已知实数a，b满足a＋b＝2，则a2－b2＋4b＝________．410.分解因式：             返回11．教材P132习题T4变式利用因式分解计算：     返回12．(1)已知a－b＝3，ab＝4，求a4b2－2a3b3＋a2b4的值；解：∵a－b＝3, ab＝4，∴a4b2－2a3b3＋a2b4＝a2b2(a2－2ab＋b2)＝(ab)2(a－b)2＝42×32＝144.(2)已知a2＋2ab＋b2－c2＝10，a＋b＋c＝5，求a＋b－c的值． 返回解：∵a2＋2ab＋b2－c2＝10，∴(a＋b)2－c2＝10, ∴(a＋b＋c)(a＋b－c)＝10.∵a＋b＋c＝5，∴ 5(a＋b－c)＝10, ∴a＋b－c＝2.13．如图是由六块纸板拼成的一块大长方形纸板，其中一块是边长为a的大正方形，两块是边长为b的小正方形，三块是长为a、宽为b的小长方形(a＞b)．观察图形，发现多项式a2＋3ab＋2b2可因式分解为____________________．(a＋b)(a＋2b) 返回14．淄博期末【阅读材料】分解因式：(x＋y)2＋2(x＋y)＋1.解：将“x＋y”看成一个整体，令x＋y＝t，则原式＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2.再将“t”还原，原式＝(x＋y＋1)2.上述解题过程用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．【问题解决】(1)分解因式：(a＋b)(a＋b－4)＋4； 返回(2)证明：若n为正整数，则代数式(n＋1)(n＋2)·(n2＋3n)＋1的值一定是某个整数的平方．证明：原式＝(n2＋3n＋2)(n2＋3n)＋1.设n2＋3n＝C，则原式＝(C＋2)C＋1＝C2＋2C＋1＝(C＋1)2，还原，得原式＝(n2＋3n＋1)2.∵n为正整数，∴n2＋3n＋1为正整数．∴代数式(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某个整数的平方．