17.3.3 综合运用各种方法分解因式（课件）2025-2026学年人教版八年级数学上册

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R·八年级上册第3课时综合运用各种方法分解因式 能灵活运用提公因式法和公式法对多项式进行因式分解.2. 分解因式：(1) 2x4y3 – x3y4 = _____________； (2) 25a2 – 1 = ________________； (3) m2n2 + 8mn + 16 = _________. x3y3(2x – y)(5a + 1)(5a – 1)(mn + 4)21. 我们目前学习了哪些因式分解的方法？提公因式法，公式法：平方差公式、完全平方公式 例5　分解因式：　(1) x4 – y4；解：(1) x4 – y4= (x2)2 – (y2)2分析：可以用___________分解因式= (x2 + y2)(x2 – y2)平方差公式其中 a = ____，b = ____x2y2结束了吗？还能用平方差公式再分解= (x2 + y2)(x + y)(x – y)(2) a3b – ab.解：(2) a3b – ab= ab(a2 – 1)= ab(a + 1)(a – 1)还能用____________再分解分析：可以用___________分解因式提公因式法平方差公式将下列各式因式分解：（1）p4 – 1；（2）x4 – 81y4；(2) x4 – 81y4解：(1) p4 – 1= (p2 + 1)(p2 – 1)= (p2 + 1)(p – 1)(p + 1)= (x2)2 – (9y2)2= (x2 + 9y2)(x2 – 9y2)= (x2 + 9y2)[x2 – (3y)2]= (x2 + 9y2)(x + 3y)(x – 3y)（3）a3 – 9a；（4）4x4 – 36x2y2.(4) 4x4 – 36x2y2(3) a3 – 9a= a(a2 – 9)= a(a + 3)(a – 3)= 4x2(x2 – 9y2)= 4x2(x + 3y)(x – 3y) 例6　分解因式：　(1) 3ax2 + 6axy + 3ay2；(2) – ax2 + 2a2x – a3 .解：(1) 3ax2 + 6axy + 3ay2= 3a(x2 + 2xy + y2)先提出公因式，再用公式法进一步分解因式(2) – ax2 + 2a2x – a3= –a(x2 – 2ax + a2)= –a(x – a)2= 3a(x + y)2把下列各式分解因式：（1）12a2b – 12ab + 3b；（2）x4 – 8x2 + 16；解：(1) 原式 = 3b(4a2 – 4a + 1)= 3b(2a – 1)2(2) 原式 = (x2 – 4)2= [(x + 2)(x – 2)]2= (x + 2)2(x – 2)2（3）(x2 – 2x)2 + 2(x2 – 2x) + 1.(3) 原式 = (x2 – 2x + 1)2= [(x – 1)2]2= (x – 1)4你会把 x2 + 3x + 2 分解因式吗？完全平方公式1 + 1提公因式方法一：x2 + 3x + 2 = (x2 + 2x + 1) + x + 1 = (x + 1)2 + (x + 1) = (x + 1)(x + 1 + 1) = (x + 1)(x + 2) 2x + x方法二：x2 + 3x + 2 = x2 + 2x + x + 2 = x(x + 2) + (x + 2) = (x + 1)(x + 2) 提公因式提公因式还有其他方法吗？x2 + (p + q)x + pq 型式子的因式分解多项式乘法法则：(x + p)(x + q) = x2 + (p + q)x + pq 由等式性质可得：x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q) 方法三：x2 + 3x + 2 = x2 + (1 + 2)x + 1×2 = (x + 1)(x + 2) 竖分二次项系数和常数项交叉相乘十字相乘法x2 + (p + q)x + pq 11pq×1·qx2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q) 1·p + = p + q积相加把下列各式分解因式：（1）x2 + 7x + 10；（2）x2 – 2x – 8；11251×5 + 1×2 = 7解：(1)原式 = (x + 2)(x + 5)112–41×(–4) + 1×2 = –2(2) 原式 = (x + 2)(x – 4)（3）y2 – 7y + 12；（4）x2 + 7x – 18.11–3–41×(–4) + 1×(–3) = –7原式 = (y – 3)(y – 4)119–21×(–2) + 1×9 = –18原式 = (x + 9)(x – 2)分解因式的一般步骤有哪些？（1）如果多项式的各项含有公因式，那么应先提取公因式；（2）如果多项式的各项不含有公因式，那么可以尝试运用公式法、十字相乘法因式分解；（3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止.1. 分解因式：（1）x2y – 4y；（2）a3 – 2a2 + a；【教材P132练习 第1题】（3）ax2 + 2a2x + a3；解：(1) 原式 = y(x2 – 4)= y(x + 2)(x – 2)(2) 原式 = a(a2 – 2a + 1)= a(a – 1)2(3) 原式 = a(x2 + 2ax + a2)= a(x + a)2（4） – a4 + 16；(4) 原式 = – (a4 – 16)= – (a2 + 4)(a2 – 4)= – (a2 + 4)(a + 2) (a – 2)（5）3a – 6ax + 3ax2；（6） – 4bx2 + 8bxy – 4by2.(5) 原式 = 3a(1 – 2x + x2)= 3a(x – 1)2(6) 原式 = – 4b(x2 – 2xy + y2)= – 4b(x – y)22. 分解因式：（1）(a – b)2 + 4ab； （2）(p – 4)(p + 1) + 3p .【教材P132练习 第2题】解：(1) 原式 = a2 – 2ab + b2 + 4ab= a2 + 2ab + b2= (a + b)2(2) 原式 = p2 + p – 4p – 4 + 3p= p2 – 4= (p + 2)(p – 2)3. 分解因式：（1）4a2 – b2 + 4a – 2b； （2）x2 – 2xy + y2 – 1；(2) 原式 = (x – y)2 – 12= (x – y + 1)(x – y – 1)解：(1) 原式 = (4a2 – b2) + (4a – 2b) = (2a + b)(2a – b) + 2(2a – b) = (2a – b)(2a + b + 2) （3）x2 – 6x + 8； （4）x2 + 3x – 10 . (3) 原式 = x2 + [(–2) + (–4)]x + (–2)×(–4)= (x – 2)(x – 4) (4) 原式 = x2 + [5 + (–2)]x + 5×(–2)= (x + 5)(x – 2)4. (1)已知 n 为整数，(2n + 1)2 – 25 能否被 4 整除？解：原式 = (2n + 1 + 5)(2n + 1 – 5) = (2n + 6)(2n – 4) = 4(n + 3)(n – 2) 所以 (2n + 1)2 – 25 能被 4 整除.4. (2)已知 224 – 1 能被 60 到 70 之间的两个整数整除，求这两个整数.解： 224 – 1 = (212 + 1)(212 – 1) = (212 + 1)(26 + 1)(26 – 1) = (212 + 1)(64 + 1)(64 – 1) 所以这两个整数是 65 和63.= (212 + 1)×65×63分解因式的一般步骤：（1）如果多项式的各项含有公因式，那么应先提取公因式；（2）如果多项式的各项不含有公因式，那么可以尝试运用公式法、十字相乘法因式分解；（3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止.1.从教材习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.