第十七章 因式分解【章末复习】（培优课件）-2026-2027学年人教版数学八年级上册（新教材）

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人教版数学八年级上册培优精做课件授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月20日 章末小结第十七章 因式分解第十七章 因式分解 全章超级总结（完整版）【前置核心概念】因式分解定义因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式。必考区分整式乘法：积 → 和差（展开、变多）因式分解：和差 → 积（收拢、变少）终极铁律：因式分解必须分解彻底，直到不能再分解为止！【全章万能解题顺序（必背）】第一步：提公因式（提干净、提彻底）第二步：套公式两项 → 平方差公式三项 → 完全平方公式第三步：复查（有无剩余公因式、能否二次分解）17.1 提取公因式法（全小节汇总）17.1.1 简单提公因式1. 找公因式三步法系数：取最大公约数字母：取全部都有的相同字母指数：取字母的最低次幂2. 基础公式$$ma+mb+mc=m(a+b+c)$$3. 基础易错点某项全部提完，剩余是1，不能空；只提公共部分，独有部分保留在括号内。17.1.2 稍复杂提公因式（进阶核心）1. 符号变形口诀（超级重要）奇次变号，偶次不变$$a-b=-(b-a)$$$$(a-b)^2=(b-a)^2$$$$(a-b)^3=-(b-a)^3$$2. 复杂题型① 整体公因式：把括号看作一个字母直接提取② 相反数变形：先统一结构，再提公因式③ 四项分组分解：两两分组 → 分组提公 → 整体再提公3. 高阶易错平方永远正：$$(a-b)^2$$ 不用变号分组必须合理，保证两组分解后出现相同公因式17.2 公式法分解因式（全小节汇总）17.2.1 平方差公式（两项专用）1. 公式$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$2. 适用三条件（缺一不可）① 只有两项② 两项一正一负（异号）③ 两项都能写成平方形式3. 常见模型普通型：$$x^2-25=(x+5)(x-5)$$系数型：$$4x^2-9y^2=(2x+3y)(2x-3y)$$整体型：$$(x+2)^2-16=(x+6)(x-2)$$17.2.2 完全平方公式（三项专用）1. 两大公式$$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$$$$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$2. 判定三条件① 一共三项② 首尾两项是正的平方项③ 中间项 = 2×首底×尾底（可正可负）3. 口诀首平方，尾平方，首尾两倍放中央4. 必考坑点首尾为负 ❌ 不是完全平方式中间没有2倍 ❌ 不能套公式17.2.3 综合运用（本章压轴）所有难题统一套路：先提干净公因式 → 再看项数套公式 → 复查彻底三大综合模型1. 提公因式 + 平方差（两项残留）例：$$2x^2-50=2(x+5)(x-5)$$2. 提公因式 + 完全平方（三项残留）例：$$3x^2-12x+12=3(x-2)^2$$3. 多次分解（二次、三次分解）例：$$x^4-16=(x^2+4)(x+2)(x-2)$$【全章公式一页背完】1. 提公因式：$$ma+mb+mc=m(a+b+c)$$2. 平方差：$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$3. 完全平方和：$$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$$4. 完全平方差：$$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$【全章满分避坑清单（考试90%扣分点）】1. 不先提公因式，直接套公式 → 分解不彻底必扣分2. 平方差看错：两项同号不能分解3. 完全平方漏2ab、看错首尾符号4. 相反数括号乱变号：偶次不变，奇次才变5. 高次式子分解一次就停，没有二次分解6. 结果不是纯乘积形式（还有加减号就是错）【全章标准解题模板（直接照着写）】模板1：普通综合题原式 = 提取公因式= 判断两项/三项套用公式= 化简、整理符号、分解到底模板2：首项为负题型原式 = −(括号内变号)= 提公因式/套公式= 最终最简乘积模板3：整体换元题型把括号整体看作a，套平方差/完全平方，最后展开化简第十七章 因式分解 综合测试题一、填空题1. $$6x^2-12x=$$________2. $$4-x^2=$$________3. $$x^2-14x+49=$$________4. $$3a^2-27=$$________5. $$-x^2+2x-1=$$________二、解答题（全章必考综合题型）1. $$5x^3-5x$$2. $$4a^2-16ab+16b^2$$3. $$(x-1)^2-4$$4. $$x^2-y^2+2y-1$$5. $$2m^2-8(m-n)^2$$参考答案一、填空题1. $$6x(x-2)$$2. $$(2+x)(2-x)$$3. $$(x-7)^2$$4. $$3(a+3)(a-3)$$5. $$-(x-1)^2$$二、解答题1. 解：原式$$=5x(x^2-1)=5x(x+1)(x-1)$$2. 解：原式$$=4(a^2-4ab+4b^2)=4(a-2b)^2$$3. 解：原式$$=(x-1+2)(x-1-2)=(x+1)(x-3)$$4. 解：原式$$=x^2-(y^2-2y+1)=x^2-(y-1)^2=(x+y-1)(x-y+1)$$5. 解：原式$$=2\left[m^2-4(m-n)^2\right]=2\left[m+2(m-n)\right]\left[m-2(m-n)\right]=2(3m-2n)(2n-m)$$整式的乘法因式分解具体方法概念：把一个多项式化为几个整式的______的形式，叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式___________.与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是方向相反的变形.乘积分解因式知识点一 因式分解注意：因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止.知识点二 提公因式法公因式：一个多项式的各项都含有的公共的因式.确定公因式：①定______，②定______，③定______.提公因式：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式.系数字母指数知识点三 公式法十字相乘法：x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q) 综合运用多种方法分解因式分解因式（第1~3题）.1.（1）15a3 + 10a2； （2）12abc – 3bc2；（3）6p(p + q) – 4q(p + q)；（4）m(a – 3) + 2(3 – a).【教材P136复习题17 第1题】解：(1) 原式 = 5a2(3a + 2)(2) 原式 = 3bc(4a – c)(3) 原式 = (6p – 4q)(p + q)= 2(3p – 2q)(p + q)(4) 原式 = m(a – 3) – 2(a – 3)= (m – 2)(a – 3)2.（1）1 – 36b2； （2）12x2 – 3y2； （3）0.49p2 – 144；（4）(2x + y)2 – (x + 2y)2 .解：(1) 原式 = (1 + 6b)(1 – 6b)(2) 原式 = 3(4x2 – y2)(3) 原式 = (0.7p + 12)(0.7p – 12)(4) 原式 = [(2x + y) + (x + 2y)][(2x + y) – (x + 2y)]= 3(2x + y)(2x – y)= (3x + 3y)(x – y)【教材P136复习题17 第2题】= 3(x + y)(x – y)3.（1）1 + 10t2 + 25t2；（2）m2 – 14m + 49；解：(1) 原式 = (5t + 1)2(2) 原式 = (m – 7)2【教材P136复习题17 第3题】（4）25a2 – 80a + 64；(4) 原式 = (5a – 8)2（5）(m + n)2 – 4m(m + n) + 4m2 ；（6）a2 + 2a(b + c) + (b + c)2 .(5) 原式 = (m + n – 2m)2(6) 原式 = (a + b + c)2= (n – m)24. 利用因式分解计算：（1）21×3.14 + 62×3.14 + 17×3.14；（2）7582 – 2582 .解：(1) 原式 = 3.14×(21 + 62 + 17)= 314= 3.14×100(2) 原式 = (758 + 258)(758 – 258)= 1016×500= 508000【教材P136复习题17 第4题】5. 分解因式：（1）3ax2 – 3ay2；（2）4xy2 – 4x2y – y3 .【教材P136复习题17 第5题】解：(1) 原式 = 3a(x2 – y2)(2) 原式 = – y(4x2 – 4xy + y2)= – y(2x – y)2= 3a(x + y)(x – y)6. 如图，在半径为 R 的圆形钢板上，挖去半径为 r 的四个小圆，计算当 R = 5.6 cm，r = 1.2 cm 时剩余部分的面积（π取3.14）.解：S剩余部分 = πR2 – 4πr2= π(R2 – 4r2)【教材P132复习题17第6题】= π(R + 2r)(R – 2r)当 R = 5.6 cm，r = 1.2 cm 时，S剩余部分 = 3.14×(5.6 + 2×1.2)(5.6 – 2×1.2)= 3.14×8×3.2= 80.384（cm2）【核心考点整合】考点1 因式分解的定义1. ［2025上海黄浦区期中］下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是( )A  返回 A  返回考点2 用提公因式法和公式法分解因式 AA. ①④B. ①②C. ③④D. ②③ 返回4. 下列因式分解正确的是( ) C 返回5.因式分解：     返回      返回