2025-2026学年上海市浦东新区南汇中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年上海市浦东新区南汇中学高一（上）期中数学试卷（含解析）试卷主要包含了填空题.，选择题．，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，1，，，2，3，，则 ．
2．陈述句“或”的否定形式是 ．
3．若，，化简 ．
4．已知正实数、满足，则的最大值为 ．
5．已知函数的图象恒过定点．则定点的坐标为 ．
6．已知是幂函数，且在区间上是严格减函数，则实数的值为 ．
7．已知恒成立，则 ．
8．已知集合有且仅有两个子集，则实数 ．
9．已知，，则用、的代数式表示 ．
10．设关于的方程解集为，关于的不等式的解集为，若集合，则 ．
11．对非空集合中的每个元素，都乘以再求和，称为集合的交叉数，例如，3，，则集合的交叉数为．若集合，2，3，4，5，，则的所有非空子集的交叉数的总和为 ．
12．对于任意两个正实数，，定义，其中常数．若，且与都是集合的元素，则 ．
二、选择题．（本大题共4小题，每小题3分，减分12分）
13．若，则“”是“”的条件．
A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．非充分非必要
14．设，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，则
C．若，，则D．若，则
15．数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算，对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．而位数是指一个自然数有效位的个数，例如：，所以的位数为4．请你运用所学过的对数运算的知识，估计的位数是（ ）
A．6697B．6698C．6699D．6700
16．设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则（ ）
A．B．C．D．
三、解答题：（第17-18题每题8分，第19-20题每题12分，第21题14分，共52分）
17．已知集合为不等式的解集．
（1）求集合；
（2）若，且，求实数的取值范围．
18．已知，关于的不等式的解集为．
（1）若，求集合；
（2）若，求实数的取值范围．
19．漫漫暑期，某制冷杯成了畅销商品．该制冷杯遵循牛顿冷却定律，即如果某液体的初始温度为（单位：，则经过分钟后，温度满足，其中为室温，为参数．为观察制冷杯的降温效果，小侯把一杯的茶水放在的房间，10分钟后茶水降温至．
（1）若欲将这杯茶水继续降温至，大约还需要多少分钟？（精确到个位）
（2）某企业生产制冷杯每月的成本（万元）由两部分构成：①固定成本（与生产产品的数量无关）20万元；②材料成本：万元，其中（万套）为每月产品的产量．则当每月产量为多少时，平均每万套的成本最低？最低为多少？
20．已知、是关于的一元二次方程的两个实根．
（1）求实数的取值范围；
（2）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由；
（3）若，求整数的值．
21．如果正整数集的子集，，，满足：
①；
②任意，存在，，使得，则称为集．
（1）分别判断，3，与，2，3，是否为集（直接写出结论）；
（2）当时，对于集，，，，设，求证：；
（3）当时，若，求集中所有元素的和的最小值．
参考答案
一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）.
1．已知集合，1，，，2，3，，则 ， ．
解：集合，1，，，2，3，，
，．
故答案为：，．
2．陈述句“或”的否定形式是 且 ．
解：命题为全称命题，则“或”的否定形式为且，
故答案为：且．
3．若，，化简 ．
解：
，
故答案为：．
4．已知正实数、满足，则的最大值为 ．
解：正实数、满足，则，当且仅当，时等号成立．
故答案为：．
5．已知函数的图象恒过定点．则定点的坐标为 ．
解：函数的图象恒过定点，
由，得，
此时，
定点的坐标为．
故答案为：．
6．已知是幂函数，且在区间上是严格减函数，则实数的值为 2 ．
解：是幂函数，
，
解得或，
当时，在上是减函数，满足题意．
当时，在上不是减函数，不满足题意．
故答案为：2．
7．已知恒成立，则 7 ．
解：原式转化为：恒成立，
则，解得，
所以．
故答案为：7．
8．已知集合有且仅有两个子集，则实数 1或 ．
解：若恰有两个子集，
所以关于的方程恰有一个实数解，
①当时，，满足题意；
②当时，△，所以，
综上所述，或．
故答案为：1或．
9．已知，，则用、的代数式表示 ．
解：，
．
故答案为：．
10．设关于的方程解集为，关于的不等式的解集为，若集合，则 ．
解：由，可得或，
所以或，
当时，，可得，
当时，，可得，
因此有，
当，时，；
当，时，．
故答案为：．
11．对非空集合中的每个元素，都乘以再求和，称为集合的交叉数，例如，3，，则集合的交叉数为．若集合，2，3，4，5，，则的所有非空子集的交叉数的总和为 96 ．
解：由题意可知，元素1，2，3，4，5，6在集合的所有非空子集中分别出现次数是一样的，
它们每一个出现的次数都相当于另外5个元素组成的集合的子集个数，故其出现次数均为次，
则这些和的总和是：
．
故答案为：96．
12．对于任意两个正实数，，定义，其中常数．若，且与都是集合的元素，则 ．
解：由与都是集合的元素，
不妨设，，，，
因为，所以，
因为，
所以，
因为，
所以，
即，
所以，
所以，，
则，
因为，
所以，．
故答案为：．
二、选择题．（本大题共4小题，每小题3分，减分12分）
13．若，则“”是“”的条件．
A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．非充分非必要
解：若，则，
若，则，
所以“”是“”的充分非必要条件．
故选：．
14．设，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，则
C．若，，则D．若，则
解：对于，若，，取，，，，可得，故不正确；
对于，若，则，故不正确；
对于，若，，取，，，，则，故不正确；
对于，若，则，所以，故正确．
故选：．
15．数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算，对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．而位数是指一个自然数有效位的个数，例如：，所以的位数为4．请你运用所学过的对数运算的知识，估计的位数是（ ）
A．6697B．6698C．6699D．6700
解：设，所以，
因为，所以，
所以，，
所以 的位数为6699．
故选：．
16．设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则（ ）
A．B．C．D．
解：关于的不等式即，，
的解集中的整数恰有3个，，
不等式的解集为，所以解集里的整数是，，0 三个．
，
，，
，
，
，
综上，，
故选：．
三、解答题：（第17-18题每题8分，第19-20题每题12分，第21题14分，共52分）
17．已知集合为不等式的解集．
（1）求集合；
（2）若，且，求实数的取值范围．
解：（1）原不等式等价于，即，
解得；
（2），
若，则，，
解得实数的取值范围是，．
18．已知，关于的不等式的解集为．
（1）若，求集合；
（2）若，求实数的取值范围．
解：（1）已知关于的不等式，
若时，则，即，则，
则；
（2）若，即关于的不等式恒成立，
若时，即或，
当时，，不恒成立；
当时，恒成立；
若时，则，则或，
综上，的取值范围为，．
19．漫漫暑期，某制冷杯成了畅销商品．该制冷杯遵循牛顿冷却定律，即如果某液体的初始温度为（单位：，则经过分钟后，温度满足，其中为室温，为参数．为观察制冷杯的降温效果，小侯把一杯的茶水放在的房间，10分钟后茶水降温至．
（1）若欲将这杯茶水继续降温至，大约还需要多少分钟？（精确到个位）
（2）某企业生产制冷杯每月的成本（万元）由两部分构成：①固定成本（与生产产品的数量无关）20万元；②材料成本：万元，其中（万套）为每月产品的产量．则当每月产量为多少时，平均每万套的成本最低？最低为多少？
解：（1）根据温度满足，
把，，，，代入上式，
得，解得，
设经过分钟，这杯茶水由降温至，即，
解得，
所以欲将这杯茶水继续降温至，大约还需要8分钟．
（2）设平均每一万套所需的成本费用为万元，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以该企业每月产量20万套时，一万套的成本最低，一万套的最低成本为12万元．
20．已知、是关于的一元二次方程的两个实根．
（1）求实数的取值范围；
（2）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由；
（3）若，求整数的值．
解：（1）因为—元二次方程有两个实数根，
可得，解得，
即实数的取值范围为；
（2）假设存在实数，使成立，
由一元二次方程可得：，，
因为，
解得，而，
所以不存在实数，使成立；
（3）因为，
要使其值是整数，，只需能被4整除即可，故，，，
而，所以使的值为整数的实数的整数值为，，．
21．如果正整数集的子集，，，满足：
①；
②任意，存在，，使得，则称为集．
（1）分别判断，3，与，2，3，是否为集（直接写出结论）；
（2）当时，对于集，，，，设，求证：；
（3）当时，若，求集中所有元素的和的最小值．
解：（1），3，不是集，，2，3， 是集；
因为的元素3和5都不存在两个元素和与之相等，所以不是集，
由于，，，符合集定义，所以是集；
（2）证明：因为，，，是集，且，
因为是集合中最大的元素，且，
所以，，即，
又因为，所以，，即，
同理，，，
相加可得，
即，
因为，所以，所以；
（3）因为，且是集，所以7可以表示为集合中其他两个元素的和，
由于，所以集合中至少有4个元素，
由，且7是最大元素，，
若集合中含有元素6，则必有3，若有3，则必有2，此时，2，3，6，，
若集合中含有元素5，则必有2和3，此时，2，3，5，，
若集合中含有元素4，则必有2和3，此时，2，3，4，，
所以集合中所有元素的和的最小值为．