2022-2023学年上海市浦东新区南汇中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年上海市浦东新区南汇中学高一（上）期中数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年上海市浦东新区南汇中学高一（上）期中数学试卷
一、填空题：（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．已知集合，若全集，则　　．
2．陈述句“或”的否定形式是 　　．
3．不等式的解为　　．
4．设，，若是的必要条件，则实数的取值范围为 　　．
5．已知关于的不等式的解集为，则　　．
6．设，，则　　．
7．若，，则　　（结果用、表示）．
8．已知，则的最小值为　　．
9．已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合为 　　．
10．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 　　．
11．设集合，3，5，，若非空集合同时满足：①，②（A），（其中表示中元素的个数，（A）表示集合中最小的元素）称集合为的一个好子集，则的所有好子集的个数为 　　．
12．已知，，且，则的最小值为 　　．
二、选择题：（共4小题，每小题3分，满分12分）
13．设命题甲：“”，命题乙：“”，那么命题甲是命题乙的　　
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．若，，则下列正确的是　　
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
15．已知、、，下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的个数是　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．设集合，，，，其中，，下列说法正确的是　　
A．对任意，是的子集，对任意，不是的子集
B．对任意，是的子集，存在，使得是的子集
C．对任意，使得不是的子集，对任意，不是的子集
D．对任意，使得不是的子集，存在，使得不是的子集
三、解答题：（第17题8分，第18题8分，第19题10分，第20题12分，第21题14分，共52分）
17．（8分）设集合，，若，求实数的取值范围．
18．（8分）设，，，是四个正数．
（1）已知，比较与的大小；
（2）已知，求证：，，，中至少有一个小于1．
19．某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，如图所示，在相邻区域之间间隔，三块矩形区域的前、后与内墙各保留宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留宽的通道．设矩形温室的室内长为，三块种植植物的矩形区域的总面积为．
（1）用表示；
（2）当为何值时，最大，并求出该最大值．

20．（12分）若设为曼哈顿扩张距离，它由个绝对值之和组成，其中为正整数．
（1）若，求的取值范围；
（2）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（3）是否存在最小值？若存在，求出该最小值，若不存在，说明理由．
21．法国数学家佛朗索瓦韦达，在欧洲被尊称为“现代数学之父”，他最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，由于其最早发现代数方程的跟与系数之间的关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理．韦达定理有着广泛的应用，是高中阶段非常重要的知识内容，为了致敬前辈数学家，请同学们利用韦达定理完成以下问题．
（1）关于的方程的一个实数根为2，求另一实数根及实数的值；
（2）关于的方程有两个实数根、，若，求实数的值；
（3）已知集合，，有且仅有3个元素，这3个元素恰为直角三角形的三条边长，求，的值．

2022-2023学年上海市浦东新区南汇中学高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．已知集合，若全集，则　或　．
解：因为集合，全集，
所以或．
故答案为：或．
2．陈述句“或”的否定形式是 　且　．
解：由命题的否定方法，的否定为，的否定为，
所以“或”的否定形式是且．
故答案为：且．
3．不等式的解为　或　．
解：
即
即
解得或
故答案为或
4．设，，若是的必要条件，则实数的取值范围为 　，　．
解：是的必要条件，
，
，
的取值范围为，．
故答案为：，．
5．已知关于的不等式的解集为，则　　．
解：关于的不等式的解集是，
所以方程的解为：和3，
由根与系数的关系知，，，
解得，
所以．
故答案为：．
6．设，，则　　．
解：，，
则，
原式，
故答案为：．
7．若，，则　　（结果用、表示）．
解：由题意可得，
故答案为：．
8．已知，则的最小值为　　．
解：，
，
，当且仅当时，取等号．
故答案为：
9．已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合为 　，，　．
解：由已知可得集合，，
因为，则，，，，，
当时，，
当时，，当时，，
当，时，不成立，
故的取值集合为，，，
故答案为：，，．
10．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 　　．
解：当时，不等式为，此时解集为，符合题意，
当，即时，由开口向上的二次函数可知不可能为空集，故不符合题意，舍去，
当即时，此时△，解得，
综上所述，实数的取值范围是．
故答案为：．
11．设集合，3，5，，若非空集合同时满足：①，②（A），（其中表示中元素的个数，（A）表示集合中最小的元素）称集合为的一个好子集，则的所有好子集的个数为 　8　．
解：①当，即集合中元素的个数为1时，的可能情况为：，，，，
②当，即集合中元素的个数为2时，的可能情况为：，，，，，，
③当，即集合中元素的个数为3时，的可能情况为：，5，，
的所有好子集的个数为8．
故答案为：8．
12．已知，，且，则的最小值为 　　．
解：令，，
则，且，
，

，
当且仅当取等号，即，，时成立．
故答案为：．
二、选择题：（共4小题，每小题3分，满分12分）
13．设命题甲：“”，命题乙：“”，那么命题甲是命题乙的　　
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：由得，由得，
由于，
故命题甲是命题乙的充分不必要条件，
故选：．
14．若，，则下列正确的是　　
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
解：对于，若，则，故错误；
对于，若，则，故正确；
对于，若，则，，故错误；
对于，若，则，故错误．
故选：．
15．已知、、，下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的个数是　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：①，若，，则，所以①错误．
②，若，则，所以②正确．
④，若，如，，，则，所以④错误．
③，若，即，同号，所以，所以③正确．
所以正确的个数是2个．
故选：．
16．设集合，，，，其中，，下列说法正确的是　　
A．对任意，是的子集，对任意，不是的子集
B．对任意，是的子集，存在，使得是的子集
C．对任意，使得不是的子集，对任意，不是的子集
D．对任意，使得不是的子集，存在，使得不是的子集
解：对于集合，，
可得当，即，可得，
即有，可得对任意，是的子集；
当时，，，
可得是的子集，故错误，正确；
当时，，且，
可得不是的子集．
综上可得，对任意，是的子集，存在，使得是的子集，故错误，错误．
故选：．
三、解答题：（第17题8分，第18题8分，第19题10分，第20题12分，第21题14分，共52分）
17．（8分）设集合，，若，求实数的取值范围．
解：若，则，即
故．
若，则，即，即
．（7分）
因为，即，
所以．
解得，
故实数的取值范围为，（12分）
18．（8分）设，，，是四个正数．
（1）已知，比较与的大小；
（2）已知，求证：，，，中至少有一个小于1．
解：（1）由，且，，两边同乘以得，，
由于，，，，均为正数，所以，
故．
（2）证明：假设，，，都不小于1，即，，，均大于等于1，
即，，，，
由均值不等式得：，
故，当且仅当时等号成立，
这与矛盾，故假设不成立，原命题成立．
19．某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，如图所示，在相邻区域之间间隔，三块矩形区域的前、后与内墙各保留宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留宽的通道．设矩形温室的室内长为，三块种植植物的矩形区域的总面积为．
（1）用表示；
（2）当为何值时，最大，并求出该最大值．

解：（1）由题意得矩形温室的室内长为，则矩形温室的室内宽为，
则三块种植植物的矩形区域的总面积为，
由题意得，解得，
，且；
（2）由（1）可得，，
，（当且仅当时取等号），
，此时长为．
故长度为60米，的最大值676平方米，
20．（12分）若设为曼哈顿扩张距离，它由个绝对值之和组成，其中为正整数．
（1）若，求的取值范围；
（2）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（3）是否存在最小值？若存在，求出该最小值，若不存在，说明理由．
解：（1），
当时，，解得：，与取交集得，
当时，，故，
当时，，解得：，与取交集得，
综上：的取值范围是；
（2）对一切实数恒成立，
因为，故，
实数的取值范围为，．
（3），，
其中的几何意义为：在数轴上一点到的距离之和，
要想距离之和最小，其中时，取得最小值，
当时，取得最小值，
当时，取得最小值，
综上：当时，取得最小值，
最小值为，
故的最小值为9．
21．法国数学家佛朗索瓦韦达，在欧洲被尊称为“现代数学之父”，他最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，由于其最早发现代数方程的跟与系数之间的关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理．韦达定理有着广泛的应用，是高中阶段非常重要的知识内容，为了致敬前辈数学家，请同学们利用韦达定理完成以下问题．
（1）关于的方程的一个实数根为2，求另一实数根及实数的值；
（2）关于的方程有两个实数根、，若，求实数的值；
（3）已知集合，，有且仅有3个元素，这3个元素恰为直角三角形的三条边长，求，的值．
解：（1）设另外一个根为，由韦达定理得，，
解得，．
（2）方程有两个实数根、，
由韦达定理得，
故，
代入得，解得或，
由得，故，
（3）由题意可知：函数与的图象恰好有3个交点，
即方程有两个实数根、，不妨设且满足，关于对称轴对称，
第三个根，，时，，①
故，，②
由勾股定理得，进而得，
由于，所以，进而得，将其代入①②可得，
由于，所以，则．