2025-2026学年上海市浦东新区川沙中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年上海市浦东新区川沙中学高一（上）期中数学试卷（含解析）试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若集合，1，，，0，，则 ．
2．已知集合，，，2，，若，则实数的值是 ．
3．已知，，则与的大小关系为 ．
4．已知集合，，则 ．
5．若，则 ．
6．已知一元二次方程的两个实数根分别为，，则 ．
7．使得有意义的的取值范围是 ．
8．已知，，则 ．（用含、的式子表示）
9．设命题，，如果是的充分非必要条件，则的取值范围是 ．
10．若对一切都成立，则的取值范围是 ．
11．已知命题有两个不相等的负根，无实根，若和一真一假，则的取值范围是 ．
12．设，若且，则的最小值为 ．
二、单选题
13．满足，，，，，，的集合的个数是（ ）
A．4B．8C．16D．32
14．已知，，，，则下列不等式成立的有（ ）
A．B．
C．D．
15．不等式的解集是，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
16．已知集合，，集合，若对于中的任意两个不同的元素和，都有，则中元素个数的最大值是（ ）
A．676B．675C．672D．671
三、解答题（52分）
17．设全集，集合，．
（1）若，求与．
（2）若，求的取值范围．
18．设集合，集合，．
（1）若且，求集合．
（2）若且，记的最小值为，写出集合的所有真子集．
19．为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：满足关系：．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和．
（1）求的值及用表示；
（2）当隔热层的厚度为多少时，总费用达到最小，并求最小值．
20．设集合，集合．
（1）若，求集合．
（2）若，求的取值范围．
（3）设集合，，其中是整数集．是否存在使得集合有且仅有两个子集？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
21．设集合，，，，，．如果集合满足：对任意，，与至少有一个属于，则称集合为“单封集”．
（1）判断集合，2，与，2，是否为“单封集”，请直接写出结论．
（2）若，，是“单封集”，且，，求．
（3）若，，，是“单封集”，证明：，并求出的值．
参考答案
一、填空题
1．若集合，1，，，0，，则 ．
解：集合，1，，，0，，则．
故答案为：．
2．已知集合，，，2，，若，则实数的值是 2或3 ．
解：因为集合，，，2，，
又因为，则或．
故答案为：2或3．
3．已知，，则与的大小关系为 ．
解：，
则．
故答案为：．
4．已知集合，，则 ．
解：集合，，
联立，解得，，
故．
故答案为：．
5．若，则 ．
解：由题意可知，，
所以，，
所以．
故答案为：．
6．已知一元二次方程的两个实数根分别为，，则 16 ．
解：由，为一元二次方程的两个实数根，
得，，
则．
故答案为：16．
7．使得有意义的的取值范围是或 ．
解：有意义，则，解得或，
故所求的取值范围为或．
故答案为：或．
8．已知，，则 ．（用含、的式子表示）
解：因为，，
即，，
所以，
则．
故答案为：．
9．设命题，，如果是的充分非必要条件，则的取值范围是， ．
解：因为，，
若是的充分非必要条件，则，，，
则，解得．
故答案为：，．
10．若对一切都成立，则的取值范围是 ．
解：因为，
所以，即，
解得，
所以的取值范围是．
故答案为：．
11．已知命题有两个不相等的负根，无实根，若和一真一假，则的取值范围是或 ．
解：设，为的两个不等的负根，则，
解得，记集合，
而方程无实根，则，
解之得，记集合，
若真假，则，
若假真，则．
综上．若、一真一假，则或．
故答案为：或．
12．设，若且，则的最小值为 ．
解：若，
则且，
即，
则，
令，则，
令，
，
当且仅当，即时取等号，此时．
故答案为：．
二、单选题
13．满足，，，，，，的集合的个数是（ ）
A．4B．8C．16D．32
解：因为，，，，，，，
则满足题意的集合分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有16种．
故选：．
14．已知，，，，则下列不等式成立的有（ ）
A．B．
C．D．
解：对于，令，，满足，但，故错误，
对于，令，，满足，但，故错误，
对于，令，，满足，但，故错误，
对于，，
又，
，故正确．
故选：．
15．不等式的解集是，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
解：不等式的解集是，
，3为方程的两个根
则
，得
则不等式可化为
解得
故选：．
16．已知集合，，集合，若对于中的任意两个不同的元素和，都有，则中元素个数的最大值是（ ）
A．676B．675C．672D．671
解：对于中的任意两个不同的元素，，都有，
不妨设，都有，
要想所含元素个数最大，则要尽可能小，故需使得的最小值为3，
将这2027个元素按如下分组：
，2，，，5，，，，2024，，，，
故应在前675组中按周期3每组取一个元素，且第一组中不能取3，
第一组中取1时，可得，4，7，，2023，或，4，7，，2023，这样的集合，
第一组取2可得，5，8，，2024，，
其中任意两元素差值都大于2，满足题意，
故所含元素个数的最大值为．
故选：．
三、解答题（52分）
17．设全集，集合，．
（1）若，求与．
（2）若，求的取值范围．
解：（1）由可得，即，
当时，，
则，或，
；
（2）若，，
若，则，解得，
若，则，解得，
故的范围为或．
18．设集合，集合，．
（1）若且，求集合．
（2）若且，记的最小值为，写出集合的所有真子集．
解：（1）若，则，
因为，且集合，中有2个元素，
所以集合中也有2个元素，
所以，，
当时，，此时，，
所以，则，，
当时，，此时，，
所以，则，，
综上所述，，或，；
（2）由，可得，即，
又因为，所以，，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为2，即，
所以，，
所以集合的所有真子集为，，．
19．为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：满足关系：．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和．
（1）求的值及用表示；
（2）当隔热层的厚度为多少时，总费用达到最小，并求最小值．
解：（1）设隔热层厚度，依题意，每年的能源消耗费用为：，而当时，，
则，解得，
显然建造费用为，所以隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和为：
．
（2）由（1）知
，
当且仅当，即时取等号，
所以当隔热层的厚度为时，总费用取得最小值110万元．
20．设集合，集合．
（1）若，求集合．
（2）若，求的取值范围．
（3）设集合，，其中是整数集．是否存在使得集合有且仅有两个子集？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
解：（1）当时，集合中的不等式为，
两边同时平方去掉绝对值符号，得到，
展开式子得，移项合并同类项得．
因式分解得．解得，所以集合．
（2）若，则一元二次不等式无解．
当，即时，不等式变为，显然无解，满足．
当时，要使不等式无解，则二次函数的图象开口向下，且与轴无交点，
即，解不等式，
因式分解得，解得．
结合，即，所以．
综上，的取值范围是，．
（3）因为，所以的取值范围是或，即集合或．
解不等式，两边同时平方得．
展开式子得移项合并同类项得．
因式分解得．
当时，不等式的解集为；
当时，不等式变为，无解；
当时，不等式的解集为．
因为集合有且仅有两个子集，所以集合中只有一个元素．
当时，，要使中只有一个元素，
则，解得，不满足，舍去．
当时，，要使中只有一个元素，
则，解得，不满足，舍去．
因此，不存在这样的值．
21．设集合，，，，，．如果集合满足：对任意，，与至少有一个属于，则称集合为“单封集”．
（1）判断集合，2，与，2，是否为“单封集”，请直接写出结论．
（2）若，，是“单封集”，且，，求．
（3）若，，，是“单封集”，证明：，并求出的值．
解：（1）对于集合，2，
因为，，，，
，，，所以集合为“单封集”；
对于集合，2，
因为，，所以集合不为“单封集”；
（2）因为集合，，是“单封集”，
又，，则，
因为，则，则，
由集合的互异性可知：，
所以；
（3）因为，，，具有性质，且，
则，，
又，
则，
又因为，2，，，
则，可得，
则，2，，，即，2，，，
可得，
所以．