2025-2026学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）期中数学试卷（含解析）

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1．集合，可用列举法表示为 ．
2．不等式的解集为 ．
3．若是偶函数，则 ．
4．若，则 ．（填“”或“”
5．已知全集，，集合，，则 ．
6．已知函数和的部分取值如表所示．则（2） ．
7．已知方程的两个根为、，则 ．
8．满足，，的集合共有 个．
9．函数的定义域为 ．
10．已知或，或．若是的充分非必要条件，则实数的取值范围是 ．
11．设、，．已知定义在，上的两个函数和具有相同的最大值，则（2）的最大值为 ．
12．已知，，则的最小值是 ．
二.选择题
13．若集合，下列关系式中成立的是（ ）
A．B．C．D．
14．若函数的定义域为，则实数不可能等于（ ）
A．0B．1C．2D．3
15．已知、，则“”是“”的条件．
A．充分非必要B．必要非充分
C．充要D．既非充分也非必要
16．设．已知、是两个数集．若对任意，都存在，使得，则称是的一个“一邻集”．有下列两个命题：
①，是的一个一邻集；
②若是的一个一邻集，则也是的一个一邻集．
则（ ）
A．①真②假B．①假②真C．①真②真D．①假②假
三.解答题
17．已知，集合．
（1）若，，求的值；
（2）若，，，求的取值范围．
18．已知、，关于的不等式的解集为开区间．
（1）若，求、的值；
（2）若，求．
19．已知函数，，的图像如图所示．
（1）写出函数的解析式；
（2）若对一切恒成立，求实数的取值范围．
20．设，记．
（1）若是上的奇函数，求的值；
（2）若，解关于的不等式；
（3）若满足不等式的的最大值为0，求的值．
21．已知，设，．
（1）当时，用定义证明：在上是严格减函数；
（2）若在区间，上是严格减函数，求的取值范围；
（3）若集合恰有3个元素，求的所有可能取值．
参考答案
一、填空题
1．集合，可用列举法表示为，2， ．
解：集合，可用列举法表示为，2，．
故答案为：，2，．
2．不等式的解集为 ．
解：，
，
，
．
不等式的解集为．
故答案为：．
3．若是偶函数，则 1 ．
解：因为是偶函数，
所以，
即，
两边平方得，，
即，所以．
故答案为：1．
4．若，则 ．（填“”或“”
解：因为，则，
所以，即．
故答案为：．
5．已知全集，，集合，，则， ．
解：全集，，集合，，则，．
故答案为：，．
6．已知函数和的部分取值如表所示．则（2） 10 ．
解：由题可得：（2），（3）．
故（2）．
故答案为：10．
7．已知方程的两个根为、，则 4 ．
解：因为方程的两个根为、，可得，，
可得．
故答案为：4．
8．满足，，的集合共有 4 个．
解：根据，，可得可以为，，，，，，，，故共有4个符合条件的集合．
故答案为：4．
9．函数的定义域为且 ．
解：函数，可得，解得且．
故函数的定义域为且．
故答案为：且．
10．已知或，或．若是的充分非必要条件，则实数的取值范围是 ．
解：因为或，或，
若是的充分非必要条件，则或或，
则，解得．
故答案为：．
11．设、，．已知定义在，上的两个函数和具有相同的最大值，则（2）的最大值为 3 ．
解：根据对勾函数单调性可知，在，上单调递减，在，上单调递增，
故或时，函数取得最大值5，
故函数在，上的最大值也为4，
又二次函数的图象开口向上，最大值一定在端点处取得，
故（1），（4），
则（1），（4），
即，，
则（2），即最大值为3．
故答案为：3．
12．已知，，则的最小值是 ．
解：设，则
，当且仅当，
即时取等号，此时，，
则的最小值为．
故答案为：．
二.选择题
13．若集合，下列关系式中成立的是（ ）
A．B．C．D．
解：元素与集合间不能使用“”，故错误，
因为，所以，故正确；
对，，集合与集合之间不能使用“”符号，故错误．
故选：．
14．若函数的定义域为，则实数不可能等于（ ）
A．0B．1C．2D．3
解：函数的定义域为，可得①恒成立，
若，解得或，
时，①式为恒成立，符合题意；
时，①式为不恒成立，不符合题意；
若，可得，解得；
综上可得：．
结合选项可得实数不可能等于3．
故选：．
15．已知、，则“”是“”的条件．
A．充分非必要B．必要非充分
C．充要D．既非充分也非必要
解：若，，满足，但不成立，充分性不成立；
当时，平方得，
所以，即，必要性成立．
故选：．
16．设．已知、是两个数集．若对任意，都存在，使得，则称是的一个“一邻集”．有下列两个命题：
①，是的一个一邻集；
②若是的一个一邻集，则也是的一个一邻集．
则（ ）
A．①真②假B．①假②真C．①真②真D．①假②假
解：由于任意实数均可被有理数逼近，故①真；
注意到一邻集的定义关于，不对称，如，时，是的一个邻集，而不是的一个邻集，故②假．
故选：．
三.解答题
17．已知，集合．
（1）若，，求的值；
（2）若，，，求的取值范围．
解：（1）．
若，，则，即，
经检验符合题意，即；
（2）若，，，则，，
当时，，解得，
当时，，解得，
故的取值范围为．
18．已知、，关于的不等式的解集为开区间．
（1）若，求、的值；
（2）若，求．
解：（1）时，2，3是方程的两实根，
根据韦达定理：，；
（2）根据题意：，
所以，解得，，
所以．
19．已知函数，，的图像如图所示．
（1）写出函数的解析式；
（2）若对一切恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）结合函数图象可得，；
（2）由图可得当且仅当，
故，
因此
解得，
故的范围为．
20．设，记．
（1）若是上的奇函数，求的值；
（2）若，解关于的不等式；
（3）若满足不等式的的最大值为0，求的值．
解：（1）因为是上的奇函数，
所以，得，
则的定义域为，
对任意，
即是上的奇函数，故；
（2）当时，，
所以等价于且，
所以且，则或或，
所以，，，；
（3）由题意，必有，故，
若，则，且，矛盾；
若，设，，则，
从而
，矛盾；
当时，对任意；
综上，．
21．已知，设，．
（1）当时，用定义证明：在上是严格减函数；
（2）若在区间，上是严格减函数，求的取值范围；
（3）若集合恰有3个元素，求的所有可能取值．
解：（1）证明：当时，，
对任意，，
由三角不等式得，
故，
即函数在上是严格减函数；
（2）在区间，上是严格减函数，
所以在区间，上是严格减函数，
因此函数也在区间，上是严格减函数，
所以或，解得：，
又当时，同（1）可证函数在上严格减，进而满足条件，
当时，由于二次函数的对称轴为，
而，
故在区间，上严格减，从而在区间，上也严格减，
综上，的取值范围是；
（3）令，，
则，，
从而，
由且知，关于的方程，无公共根，
①当时，方程，均有两异号实根，
得到的元素个数为4，不合要求；
②当时，同（1）可证在上严格减，得到的元素个数为2，不合要求；
③当时，注意的判别式，
故方程总有两相异实根，
从而的判别式只能为0，
解得．
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