上海市上海南汇中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份上海市上海南汇中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题（原卷版+解析版），共19页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
满分：100分 完成时间：90分钟 命题人：高二数学命题组
一、填空题（每小题3分，共12题，共36分）
1. 已知集合，，则______.
2. 若扇形的面积是，圆心角为2弧度，则半径是___________.
3. 已知，则______.
4. 将化为形式，其中，则______.
5. 若，是第四象限角，则___________.
6. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则______.
7. 若，化简的结果是______.
8. 已知且，且函数过点，则函数，的值域为______.
9. 已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，则函数的图像不经过第______象限.
10. 若函数恰有两个零点，则实数取值范围是______.
11. 偶函数在区间上是严格减函数，若，则关于的不等式的解集是______
12. 对于函数，，若存在正常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质.已知函数具有性质，则实数的取值范围为______.
二、选择题（每小题3分，共4题，共12分）
13. 已知实数，满足，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
14. 已知，则角的终边所在的象限为第（ ）象限．
A. 一B. 二C. 三D. 四
15. 设)，则“函数的图象经过点（-1，-1）”是“函数为奇函数”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
16. 定义函数，其中，符号表示，中的较大者.现有以下命题：
①为偶函数；
②若不等式对一切都成立，则实数的最大值为1；
③当时，的最小值为9；
④“”是“”成立的充要条件.
正确命题的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
三、解答题（共5题，共52分）
17. 设函数定义域为集合，函数的定义域为集合.
（1）若全集为，求：
（2）若，求实数的取值范围.
18. 如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为
（1）求的值； （2）求的值．
19. 某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买台机器人的总成本万元.
（1）若使每台机器人平均成本最低，问应买多少台？
（2）现购买台智能机器人，需要安排人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验可得，每台机器人的日平均分拣量（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为件，当机器人日平均分拣量达最大值时，若完成这些分拣任务，求所需要的传统的人工数量.
20. 设，函数．
（1）否存在，使函数为奇函数，并说明理由；
（2）当时，判断的单调性，并用单调性的定义加以证明；
（3）当时，若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围．
21. 设表示不小于的最小整数，例如，，.
（1）解方程；
（2）设，求在区间上的值域；
（3）已知函数的值域为，且当或或时，取到最大值1，当或或时，取到最小值，现设实数，，，若对于任意，都有，求实数的取值范围.
上海南汇中学2025学年第一学期期末考试
高一数学
满分：100分 完成时间：90分钟 命题人：高二数学命题组
一、填空题（每小题3分，共12题，共36分）
1. 已知集合，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】由交集的定义，计算即可.
【详解】，，
.
故答案为：
2. 若扇形的面积是，圆心角为2弧度，则半径是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形面积公式进行求解即可.
【详解】设圆心角为2弧度所对的弧的弧长为，半径为，
所以有，
故答案为：
3. 已知，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据齐次式求解即可.
【详解】因为，所以
故答案为：
4. 将化为形式，其中，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据两角和的正弦公式求解即可.
【详解】，
所以.
又，所以.
故答案为：.
5. 若，是第四象限角，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用二倍角的正弦公式求解.
【详解】解：因为，且是第四象限角，
所以，
所以，
故答案为：
6. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据奇函数的性质结合函数解析式求解即可.
【详解】因为是定义在上的奇函数，
所以，.
所以.
故答案为：
7. 若，化简的结果是______.
【答案】
【解析】
【分析】先利用二倍角公式将转化，再结合的取值范围判断的正负，最后化简根式.
详解】，
因，所以，
所以.
故答案为：
8. 已知且，且函数过点，则函数，的值域为______.
【答案】
【解析】
【分析】由函数经过的点先算出，然后根据对数函数的单调性求值域即可得解.
【详解】因为函数过点，
所以，即，解得，
所以，
所以，
由对数函数的单调性知，在上单调递增，
所以，即，
故答案为：
9. 已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，则函数的图像不经过第______象限.
【答案】一
【解析】
【分析】先由不等式解集求出，再代入指数函数，根据图象平移即可得出答案.
【详解】由题可得方程的两根为1和2，
根据韦达定理，得，
所以函数为，相当于（单调递减且经过一、二象限）向下平移两个单位（经过二、三、四象限），
因此图象不经过第一象限.
故答案为：一.
10. 若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是______.
【答案】或
【解析】
【分析】求解方程的根，即可分情况讨论求解.
【详解】令，得，令，解得或.
函数的零点只能从中产生.
要使恰有两个零点，分以下情况讨论：
1) 零点为和，需满足，解得.
2) 零点为和，需满足，即23λ≤2λ≤6，该不等式组无解.
综上，实数的取值范围是或.
故答案为：或.
11. 偶函数在区间上是严格减函数，若，则关于的不等式的解集是______
【答案】
【解析】
【分析】令，通过的奇偶性和单调性来确定的奇偶性和单调性，再将变形为，再利用奇偶性和单调性可得答案.
【详解】令，
在区间上是严格减函数，，在区间上是严格增函数，
在区间上是严格减函数，
又
也是上的偶函数，
由得，又，
即，
，解得
故答案为：
12. 对于函数，，若存在正常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质.已知函数具有性质，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】结合的图象以及图象变换的知识求得的取值范围.
【详解】因为,
所以作出函数的图象如图，
因为的图象是由的图象向左平移个单位所得，
由图可知，当时，使得对任意的，都有恒成立，
所以存在正常数，使得函数具有性质，且.
所以实数的取值范围为.
故答案为：
二、选择题（每小题3分，共4题，共12分）
13. 已知实数，满足，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质及相关函数的单调性，逐一分析各项.
【详解】对于选项A，因为，根据不等式的传递性，所以，故选项A一定成立；
对于选项B，对数函数的定义域为，当不都为正数时，该不等式无意义，例如当时，无意义，故选项B不一定成立；
对于选项C，函数在上单调递增，因为，所以，故选项C一定成立；
对于选项D，函数在上单调递增，因为，所以，故选项D一定成立.
故选：B
14. 已知，则角的终边所在的象限为第（ ）象限．
A. 一B. 二C. 三D. 四
【答案】C
【解析】
【分析】借助象限角的三角函数符号判断即可得.
【详解】由，则角的终边所在的象限为第三象限.
故选：C.
15. 设)，则“函数的图象经过点（-1，-1）”是“函数为奇函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由图象过点解得a的值的集合，再由奇函数解得a的值的集合，由两个集合相等确定充要条件关系.
【详解】∵的图象经过点，，
∴
又∵
∴
∵为奇函数，
∴
∴ “的图象经过点”是“为奇函数”的充要条件.
故选：C.
16. 定义函数，其中，符号表示，中的较大者.现有以下命题：
①为偶函数；
②若不等式对一切都成立，则实数的最大值为1；
③当时，的最小值为9；
④“”是“”成立的充要条件.
正确命题的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】函数等价于.利用奇偶性判断①，利用分离常数法，判断②.利用绝对值三角不等式判断③.由判断④.
【详解】函数等价于，这是一个偶函数，故①正确.
对于②，不等式等价于，即,
由于，故，故②正确.
对于③，当时，，,
两式相加得,，
而，，以此类推，可得,等号成立时,,故③正确.
对于④，，，即，这对任意的都成立，故不是它的充要条件.故④错误.
故选:C
三、解答题（共5题，共52分）
17. 设函数的定义域为集合，函数的定义域为集合.
（1）若全集为，求：
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由函数有意义进行求解；
（2）求出集合，由,则进行求解．
【小问1详解】
对于函数,由,得,
得,
若全集为，则.
【小问2详解】
对于函数,由,
得,
得,
若,则,得,
得实数的取值范围为：
18. 如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为
（1）求的值； （2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据题意，由三角函数的定义可得 与的值，进而可得出与的值，从而可求与的值就，结合两角和正切公式可得答案；（2）由两角和的正切公式，可得出 的值，再根据的取值范围，可得出的取值范围，进而可得出的值.
由条件得csα＝，csβ＝.
∵ α，β为锐角，
∴ sinα＝＝，sinβ＝＝.
因此tanα＝＝7，tanβ＝＝.
(1) tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2) ∵ tan2β＝＝＝，
∴ tan(α＋2β)＝＝＝－1.
∵ α，β为锐角，∴ 0