2025-2026学年上海市浦东新区香山中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年上海市浦东新区香山中学高一（上）期中数学试卷（含解析）试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，，则 ．
2．已知集合，0，1，2，，集合，则 ．
3．已知集合，，，，，，且，则的值为 ．
4．设、是两个非空集合，则“”是“”的 条件 “充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要” ．
5．不等式的解集为 ．
6．不等式的解集为 ．
7．已知方程的两个根为、，则 ．
8．若，，且，则的最小值为 ．
9．在2025年9月3日纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年的阅兵式中，某方阵总人数为120人，行数（排与列数（人排）满足．受场地限制，行数需满足安全间距不等式．则满足条件的行数可能为 （写出所有可能值）．
10．已知不等式对所有实数恒成立，求等号成立时的取值范围是 ．
11．如图，在半径为4（单位：的半圆形为圆心）铁皮上截取一块矩形材料，其顶点，在直径上，顶点，在圆周上，则矩形面积的最大值为 （单位：．
12．若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”．
（1）且；
（2）若、，则，且当时，有．
给出以下命题：
①集合，0，是“好集合”；
②是“好集合”；
③是“好集合”；
④设集合是“好集合”，若、，则；
⑤设集合是“好集合”，若、，则，
其中真命题的序号是 ．
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
13．用反证法证明结论“、、至少有一个是正数”时，应假设（ ）
A．、、都是正数B．、、都不是正数
C．、、至多有一个正数D．、、至多有两个正数
14．下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，，则
15．设全集，或，，如图，阴影部分所表示的集合为（ ）
A．B．C．或D．
16．给定集合，若对于任意，，有，且，则称集合为闭集合，下列结论正确的个数是（ ）
①集合，，0，1，为闭集合；
②集合，为闭集合；
③若集合，为闭集合，则为闭集合；
④若集合，为闭集合，且，，则存在，使得．
A．0B．1C．2D．3
三、解答题（本大题满分48分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤。
17．已知集合，．
（1）求；
（2）若全集，求及．
18．已知．若不等式的解集为，求实数的取值范围．
19．2021年8月3日，旅居法国的中国大熊猫欢欢，在法国博瓦勒动物园顺利地产下了一对双胞胎，暂时取名为“棉花”和“小雪”．为了让妈妈更好地喂养两个小幼崽，动物园决定在原来的矩形居室的基础上，拓展建成一个更大的矩形居室，使活动的空间更大．为不影响现有的生活环境，建造时要求点在上，点在上，且对角线过点，如图所示．已知，．设（单位：，矩形的面积为．
（1）写出关于的表达式，并求出为多少米时，有最小值；
（2）要使矩形的面积大于，则的长应在什么范围内？
20．已知命题：方程没有实数根．
（1）若是真命题，求实数的取值集合；
（2）集合，若是的必要条件，求的取值范围．
21．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
阅读材料一：
利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：
①整体观察；
②整体设元；
③整体代入；
④整体求和等．
例如，，求证：．
证明：原式．
阅读材料二：
解决多元变量问题时，其中一种思路是运用消元思想将多元问题转化为一元问题，再结合一元问题处理方法进行研究．
例如，正实数，满足，求的最小值．
解：由，得，
，当且仅当，即时，等号成立．
的最小值为．
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征．
结合阅读材料解答下列问题：
（1）已知，求的值；
（2）若正实数，满足，求的最小值．
参考答案
一、填空题
1．已知集合，，，则， ．
解：集合，，，则，．
故答案为：，．
2．已知集合，0，1，2，，集合，则，0，1， ．
解：由集合，0，1，2，，，
故，0，1，．
故答案为：，0，1，．
3．已知集合，，，，，，且，则的值为 ．
解：集合，，，，，，且，
，则或，解得，或（舍去），
综上所述：．
故答案为：．
4．设、是两个非空集合，则“”是“”的 必要非充分 条件 “充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要” ．
解：，
所以“”是“”的必要非充分条件．
故答案为：必要非充分．
5．不等式的解集为， ．
【解答】积：由，则，得，
所以不等式解集为，．
故答案为：，．
6．不等式的解集为， ．
解：不等式，即，解得，
故所求解集为，．
故答案为：，．
7．已知方程的两个根为、，则 ．
解：方程的两个根为、，，，
，
故答案为：．
8．若，，且，则的最小值为 9 ．
解：，，且，
则
，
当且仅当时，等号成立，
则的最小值为9．
故答案为：9．
9．在2025年9月3日纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年的阅兵式中，某方阵总人数为120人，行数（排与列数（人排）满足．受场地限制，行数需满足安全间距不等式．则满足条件的行数可能为，8，10， （写出所有可能值）．
解：行数需满足安全间距不等式，
则，且，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
则的所有可能取值为，8，10，．
故答案为：，8，10，．
10．已知不等式对所有实数恒成立，求等号成立时的取值范围是， ．
解：由绝对值的几何意义可知不等式对所有实数恒成立，
当且仅当，时，等号成立．
故答案为：，．
11．如图，在半径为4（单位：的半圆形为圆心）铁皮上截取一块矩形材料，其顶点，在直径上，顶点，在圆周上，则矩形面积的最大值为 16 （单位：．
解：如下图所示，
连接，设，则，，
所以，由基本不等式可得，矩形的面积为，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故答案为：16．
12．若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”．
（1）且；
（2）若、，则，且当时，有．
给出以下命题：
①集合，0，是“好集合”；
②是“好集合”；
③是“好集合”；
④设集合是“好集合”，若、，则；
⑤设集合是“好集合”，若、，则，
其中真命题的序号是 ③④⑤ ．
解：对于①，由集合，0，，若，，可得，所以集合不满足性质（2），
所以集合，0，不是个“好集合”，所以①是假命题；
对于②，取，此时，但，所以不是“好集合”，所以②是假命题；
对于③，对于实数集，其中且，且任意，，则，
且当时，有所以实数集是“好集合”，所以③是真命题；
对于④，集合是“好集合”，由，，根据“好集合”的定义，可得，
因为，，可得，所以④是真命题；
对于⑤，若集合是“好集合”，任取，，若，中有0和1时，显然；
设，均不含0和1，由“好集合”的定义知，，
所以，所以，
由④可得，同理可得，
若或，显然；
若或，则，
所以，，所以，
由，则，所以⑤是真命题．
故答案为：③④⑤．
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
13．用反证法证明结论“、、至少有一个是正数”时，应假设（ ）
A．、、都是正数B．、、都不是正数
C．、、至多有一个正数D．、、至多有两个正数
解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”，
即“，，都不是正数”．
故选：．
14．下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，，则
解：对于，，
，
，故正确，
对于，，
，当时，，
故选项错误，
对于，当，，，时，满足，，但，故错误，
对于，当，，，时，满足，，但，故错误．
故选：．
15．设全集，或，，如图，阴影部分所表示的集合为（ ）
A．B．C．或D．
解：因为或，，
所以或，
所以阴影部分所表示的集合为．
故选：．
16．给定集合，若对于任意，，有，且，则称集合为闭集合，下列结论正确的个数是（ ）
①集合，，0，1，为闭集合；
②集合，为闭集合；
③若集合，为闭集合，则为闭集合；
④若集合，为闭集合，且，，则存在，使得．
A．0B．1C．2D．3
解：对于①：，，0，1，，
当，时，，，但，不满足闭集合的定义，故①错误；
对于②：，，任意，，可设，，，，
则，，由，，
所以，且，故集合为闭集合．故②正确；
对于③：设，，
任意，，
可设，，，，
则，，
由，，所以，且，
则集合为闭集合；
由②分析可知，也为闭集合，
，，，，0，2，3，4，，
当，时，，，
但，
即不是闭集合，故③错误；
对于④：设，
若，，则，，
则，都为闭集合，
又且，
不存在，使得，
即不存在，使得，故④错误．
故选：．
三、解答题（本大题满分48分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤。
17．已知集合，．
（1）求；
（2）若全集，求及．
解：（1），，
．
（2）根据题意，，
．
，所以或，
或．
18．已知．若不等式的解集为，求实数的取值范围．
解：的解集为，
即恒成立，
当时，解集不是，不符合题意；
当时，，解得，
故的范围为．
19．2021年8月3日，旅居法国的中国大熊猫欢欢，在法国博瓦勒动物园顺利地产下了一对双胞胎，暂时取名为“棉花”和“小雪”．为了让妈妈更好地喂养两个小幼崽，动物园决定在原来的矩形居室的基础上，拓展建成一个更大的矩形居室，使活动的空间更大．为不影响现有的生活环境，建造时要求点在上，点在上，且对角线过点，如图所示．已知，．设（单位：，矩形的面积为．
（1）写出关于的表达式，并求出为多少米时，有最小值；
（2）要使矩形的面积大于，则的长应在什么范围内？
解：（1）由图知，
则，即，
，
由基本不等式可知时，，
当且仅当即时，；
（2）要使矩形的面积大于，
，
，解得或，
故的长应在．
20．已知命题：方程没有实数根．
（1）若是真命题，求实数的取值集合；
（2）集合，若是的必要条件，求的取值范围．
解：（1）若是真命题，则△，
解得，．
（2）是的必要条件，，
①当时，由，得，
②当时，由，解得，
综上所述，的取值范围为，．
21．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
阅读材料一：
利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：
①整体观察；
②整体设元；
③整体代入；
④整体求和等．
例如，，求证：．
证明：原式．
阅读材料二：
解决多元变量问题时，其中一种思路是运用消元思想将多元问题转化为一元问题，再结合一元问题处理方法进行研究．
例如，正实数，满足，求的最小值．
解：由，得，
，当且仅当，即时，等号成立．
的最小值为．
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征．
结合阅读材料解答下列问题：
（1）已知，求的值；
（2）若正实数，满足，求的最小值．
解：（1）已知，由题意得，
则；
（2）若正实数，满足，可得
，
由于，故，
当且仅当，即，时等号成立，
因为有最小值，此时有最大值，
则有最小值．
即的最小值为．