数学比例优秀学案设计

这是一份数学比例优秀学案设计，共18页。学案主要包含了解题思路，完整解答等内容，欢迎下载使用。
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? 知识梳理
1. 比的意义
两个数相除又可以叫作两个数的比。比表示两个数量之间的倍数关系。
例如：3杯橙汁和2杯水，橙汁与水的杯数比是3∶2，读作3比2。
比的各部分名称：
3 ∶ 2 = 1.5
⋮ ⋮ ⋮
前项 比号 比值
2. 比与除法、分数的关系
a∶b = a ÷ b = a/b （b ≠ 0）
注意：比的后项不能为0（类比除数、分母不能为0）。
3. 比值的意义
比的前项除以后项所得的商，叫作比值。
例如：6000∶10 = 6000 ÷ 10 = 600（平方米/分），比值表示工作效率。
比值的形式：可以是整数、小数或分数。
4. 比的基本性质
比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。这是比的基本性质。
字母表示：a∶b = (a×c)∶(b×c) = (a÷c)∶(b÷c)（c ≠ 0）
最简整数比：比的前项和后项只有公因数1的比。
5. 化简比的方法
（1）整数比化简：前项和后项同时除以它们的最大公因数。
例：12∶18 = (12÷6)∶(18÷6) = 2∶3
（2）分数比化简：前项和后项同时乘分母的最小公倍数，转化为整数比再化简。
例：56 ∶ 34 = (56×12)∶(34×12) = 10∶9
（3）小数比化简：前项和后项同时扩大相同的倍数，转化为整数比再化简。
例：1.8∶0.09 = (1.8×100)∶(0.09×100) = 180∶9 = 20∶1
6. 按比例分配
把一个数量按照一定的比来进行分配，这种分配方法通常叫作按比例分配。
解题方法：
方法一：先求每份是多少，再求各部分量。
方法二：先求各部分量占总量的几分之几，再用分数乘法计算。
7. 比例的意义
表示两个比相等的式子叫作比例。
例如：6∶3 = 4∶2，或 63 = 42
比例的各部分名称：
外项
╭─────╮
6 ∶ 3 = 4 ∶ 2
╰───╯
内项
组成比例的四个数，叫作比例的项。两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。
8. 比例的基本性质
在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫作比例的基本性质。
字母表示：如果 a∶b = c∶d，那么 a×d = b×c（b、d不为0）
应用：判断两个比能否组成比例；解比例。
⚠️ 易错汇总
易错1：比是有顺序的，前后项不能颠倒。如3∶2和2∶3表示不同的意义。
易错2：比的后项不能为0，因为除数和分母都不能为0。
易错3：化简比的结果是一个比（有前项和后项），求比值的结果是一个数，二者不能混淆。
易错4：按比例分配时，要找准总量对应的总份数，部分量与份数要对应。
易错5：比例有四项，内项和外项要分清：两端的两项是外项，中间的两项是内项。
易错6：解比例时要根据比例的基本性质，将比例转化为方程，注意计算要准确。
易错7：判断两个比能否组成比例，关键看它们的比值是否相等，而不是只看数字。
? 易错精讲
【易错一】比的前后项顺序混淆
题目：甲数是乙数的3倍，甲数与乙数的比是多少？乙数与甲数的比是多少？
【解题思路】首先明确谁与谁的比，比的前项和后项是有顺序的。甲数是乙数的3倍，把乙数看作1份，甲数就是3份。求甲数与乙数的比，甲数作前项；求乙数与甲数的比，乙数作前项。
【完整解答】
把乙数看作1份，则甲数是3份。
甲数与乙数的比：3∶1
乙数与甲数的比：1∶3
【易错点】容易忽略比的顺序，把两个比都写成3∶1。记住：谁与谁的比，谁就作前项。
【易错二】化简比与求比值混淆
题目：化简比：20∶8，并求出比值。
【解题思路】化简比要根据比的基本性质，把比化成最简整数比（前项和后项只有公因数1），结果仍然是一个比；求比值是用前项除以后项，结果是一个数（可以是整数、小数或分数）。
【完整解答】
化简比：20∶8 = (20÷4)∶(8÷4) = 5∶2
求比值：20∶8 = 20 ÷ 8 = 2.5（或 52）
【易错点】容易把化简比的结果写成一个数（如2.5），或者把求比值的结果写成比的形式（如5∶2）。化简比的结果是比，求比值的结果是数。
【易错三】按比例分配总量对应错误
题目：用一根长48厘米的铁丝围成一个长方形，长与宽的比是5∶3，这个长方形的面积是多少平方厘米？
【解题思路】这是一道按比例分配的题目，但要注意48厘米是长方形的周长，包含2条长和2条宽，所以要先除以2求出一组长与宽的和，再按5∶3分配。
【完整解答】
（1）一组长与宽的和：48 ÷ 2 = 24（厘米）
（2）总份数：5 + 3 = 8
（3）长：24 × 58 = 15（厘米）
（4）宽：24 × 38 = 9（厘米）
（5）面积：15 × 9 = 135（平方厘米）
答：这个长方形的面积是135平方厘米。
【易错点】容易直接用48厘米按5∶3分配，忽略了周长包含2组对边。按比例分配时一定要确认总量与总份数是否对应。
【易错四】比例的内项外项判断错误
题目：在比例 3∶4 = 9∶12 中，指出比例的内项和外项。
【解题思路】比例有四个项，两端的两项是外项，中间的两项是内项。记住：外项在外面，内项在中间。
【完整解答】
外项
╭─────╮
3 ∶ 4 = 9 ∶ 12
╰─╯
内项
比例的外项是3和12，内项是4和9。
验证：外项积 = 3 × 12 = 36，内项积 = 4 × 9 = 36，外项积等于内项积。
【易错点】容易把内项和外项搞反。记住位置：两端是外项，中间是内项。
【易错五】解比例计算错误
题目：解比例：24∶x = 6∶5
【解题思路】根据比例的基本性质，两个外项的积等于两个内项的积，将比例转化为方程，然后解方程求出未知数x的值。
【完整解答】
24∶x = 6∶5
解：6x = 24 × 5 （比例的基本性质）
6x = 120
x = 120 ÷ 6
x = 20
【易错点】容易把比例的基本性质记错，用错外项和内项；或者解方程时计算出错。解完比例后要代入检验。
【易错六】不同类量比的意义理解错误
题目：一辆汽车3小时行驶240千米。这辆汽车行驶的路程与时间的比是多少？比值是多少？这个比值表示什么？
【解题思路】路程与时间是不同类的量，不同类量的比的比值会产生一个新的量。路程∶时间的比值表示速度。
【完整解答】
路程与时间的比：240∶3 = 80∶1
比值：240∶3 = 240 ÷ 3 = 80
这个比值表示这辆汽车的行驶速度，即每小时行驶80千米。
【易错点】容易忽略不同类量比值的实际意义，只把比值当作一个单纯的数。不同类量的比的比值有特定的含义，如路程与时间的比的比值表示速度，总价与数量的比的比值表示单价。
✏️ 易错专练
一、选择题
1. 比的前项相当于除法算式中的（ ）。
A. 除数 B. 被除数 C. 商 D. 除号
2. 下面各比中，比值是2的是（ ）。
A. 10∶5 B. 2∶1 C. 0.5∶1 D. 1∶2
3. 把10克糖放入100克水中，糖与糖水质量的比是（ ）。
A. 1∶10 B. 1∶11 C. 10∶1 D. 11∶1
4. 一个三角形三个内角的度数比是1∶2∶3，这个三角形是（ ）三角形。
A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 等腰
5. 下面各组的两个比，能组成比例的是（ ）。
A. 6∶9和9∶12 B. 0.2∶2.5和4∶50 C. 12∶13和2∶3 D. 1.4∶2和7∶10
6. 在比例里，两个外项的积是1，其中一个内项是15，另一个内项是（ ）。
A. 15 B. 5 C. 1 D. 无法确定
7. 男生人数与女生人数的比是5∶4，男生人数比女生多（ ）。
A. 15 B. 14 C. 19 D. 无法确定
8. 甲、乙两数的比是3∶5，甲数是15，乙数是（ ）。
A. 9 B. 25 C. 30 D. 10
9. 一本书，已看的页数与剩下页数的比是2∶3，已看了全书的（ ）。
A. 23 B. 35 C. 25 D. 12
二、填空题
1. 5÷8 =（ ）∶（ ）=（ ）/（ ）
2. 一个比的前项是6，后项是15，比值是（ ）；如果前项加上12，要使比值不变，后项应加上（ ）。
3. 甲是乙的45，甲与乙的比是（ ），甲与甲、乙之和的比是（ ）。
4. 在一个比例中，两个外项分别是12和4，两个比的比值都是32，这个比例是（ ）。
5. 用18的因数组成一个比例是（ ）。
6. 把34∶916化成最简整数比是（ ），比值是（ ）。
7. 一个长方形的周长是36厘米，长与宽的比是7∶2，长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米。
三、判断题
1. 比的后项可以是0。（ ）
2. 5米∶7米的比值是57米。（ ）
3. 化简比 12∶6 的结果是2。（ ）
4. 比例的两个内项交换位置后，仍然能组成比例。（ ）
四、计算题
1. 化简下面各比（写出化简过程）：
（1）36∶24 （2）0.32∶0.8 （3）34 ∶ 56
2. 解比例：
（1）x∶8 = 12∶32 （2）1.5∶0.6 = x∶0.4
五、解答题
1.（基础应用）学校篮球队有男生25人，女生20人。男生人数与女生人数的比是多少？女生人数与总人数的比是多少？
2.（比的基本性质）在3∶5中，如果前项加上9，要使比值不变，后项应加上多少？
3.（按比例分配）幼儿园把60块饼干按2∶3分给小班和中班，小班和中班各分得多少块？
4.（按比例分配）一个三角形三个内角的度数比是2∶3∶5，这个三角形中最大的角是多少度？这是一个什么三角形？
5.（按比例分配）用120厘米长的铁丝做一个长方体框架，长、宽、高的比是3∶2∶1。这个长方体的长、宽、高分别是多少厘米？
6.（比的应用）一种药水是把药粉和水按1∶100的质量比配制而成的。（1）用500克水配制这种药水，需要药粉多少克？（2）要配制3030克药水，需要药粉多少克？
7.（比例的意义）下面哪几组的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来。
（1）6∶8和9∶12 （2）0.3∶0.2和1.5∶1
（3）13∶12和2∶3 （4）1.4∶2和7∶10
8.（比例的基本性质）根据3×6 = 2×9，你能写出几个比例？请写出来。
9.（解比例）解比例：96 = x/10
10.（比例尺应用）在一幅比例尺是1∶5000000的地图上，量得A、B两地的距离是6厘米。A、B两地的实际距离是多少千米？
11.（正比例判断）判断下面每题中的两种量是不是成正比例，并说明理由。
（1）每袋大米的质量一定，大米的总质量和袋数。
（2）一个人的身高和年龄。
12.（反比例判断）判断下面每题中的两种量是不是成反比例，并说明理由。
（1）路程一定，速度和时间。
（2）长方形的周长一定，长和宽。
13.（综合提升）甲、乙两车同时从A、B两地相向开出，2小时后相遇。已知甲、乙两车的速度比是5∶4，A、B两地相距270千米。甲、乙两车的速度各是多少？
14.（综合提升）修一条路，第一天修了全长的13，第二天修了剩下的25，这时还剩下600米没有修。第一天修了多少米？（用比例方法解）
15.（综合提升）盒子里有黑、白两种颜色的棋子，黑子与白子的数量比是3∶2。又放入10颗白子后，黑子与白子的数量比变成了4∶3。盒子里原来有多少颗棋子？
? 参考答案
一、选择题
1. B 2. B 3. B 4. B 5. D 6. B 7. B 8. B 9. C
二、填空题
1. 5，8，58
2. 25（或0.4），30
3. 4∶5，4∶9
4. 12∶8 = 6∶4（答案不唯一）
5. 1∶2 = 3∶6（答案不唯一）
6. 4∶3，43
7. 14，4
三、判断题
1. × 2. × 3. × 4. √
四、计算题
1. 化简比：
（1）36∶24 = (36÷12)∶(24÷12) = 3∶2
（2）0.32∶0.8 = (0.32×100)∶(0.8×100) = 32∶80 = 2∶5
（3）34 ∶ 56 = (34×12)∶(56×12) = 9∶10
2. 解比例：
（1）x∶8 = 12∶32
解：32x = 8 × 12
32x = 96
x = 3
（2）1.5∶0.6 = x∶0.4
解：0.6x = 1.5 × 0.4
0.6x = 0.6
x = 1
五、解答题
1. 【解题思路】求男生人数与女生人数的比，男生作前项，女生作后项；求女生人数与总人数的比，先求总人数，再用女生人数比总人数。
【完整解答】
男生人数与女生人数的比：25∶20 = 5∶4
总人数：25 + 20 = 45（人）
女生人数与总人数的比：20∶45 = 4∶9
答：男生人数与女生人数的比是5∶4，女生人数与总人数的比是4∶9。
【易错点】容易把比的前后项搞反，注意看清谁与谁的比。
2. 【解题思路】前项加上9后变成12，相当于前项乘4。根据比的基本性质，要使比值不变，后项也要乘4，算出后项变成多少，再减去原来的后项。
【完整解答】
前项加上9后：3 + 9 = 12
前项扩大的倍数：12 ÷ 3 = 4
后项应变为：5 × 4 = 20
后项应加上：20 - 5 = 15
答：后项应加上15。
【易错点】容易直接加上9，而不是乘相同的倍数。比的基本性质是同时乘或除以相同的数，不是同时加相同的数。
3. 【解题思路】按2∶3分配60块饼干，先求总份数，再分别求出小班和中班各占总数的几分之几，最后用乘法计算。
【完整解答】
总份数：2 + 3 = 5
小班分得：60 × 25 = 24（块）
中班分得：60 × 35 = 36（块）
答：小班分得24块，中班分得36块。
【易错点】容易把份数搞反，小班对应2份，中班对应3份。
4. 【解题思路】三角形的内角和是180°，按2∶3∶5分配，最大的角占5份，也就是占内角和的5/(2+3+5)。
【完整解答】
总份数：2 + 3 + 5 = 10
最大角：180° × 510 = 90°
答：最大的角是90°，这是一个直角三角形。
【易错点】容易忘记三角形内角和是180°，或者把最大角的份数搞错。
5. 【解题思路】长方体有12条棱（4条长、4条宽、4条高），所以要先用120÷4求出一组长、宽、高的和，再按3∶2∶1分配。
【完整解答】
一组长、宽、高的和：120 ÷ 4 = 30（厘米）
总份数：3 + 2 + 1 = 6
长：30 × 36 = 15（厘米）
宽：30 × 26 = 10（厘米）
高：30 × 16 = 5（厘米）
答：长是15厘米，宽是10厘米，高是5厘米。
【易错点】容易直接用120按比例分配，忽略了长方体有4组长、宽、高。
6. 【解题思路】药粉和水的质量比是1∶100，即药粉占1份，水占100份。（1）已知水的质量，先求每份是多少，再求药粉；（2）先求总份数，再用药水总质量乘药粉占的比例。
【完整解答】
（1）每份的质量：500 ÷ 100 = 5（克）
需要药粉：5 × 1 = 5（克）
（2）总份数：1 + 100 = 101
需要药粉：3030 × 1101 = 30（克）
答：（1）需要药粉5克；（2）需要药粉30克。
【易错点】第（2）题容易把药水的总份数搞错，当成100份而不是101份。
7. 【解题思路】判断两个比能否组成比例，要看它们的比值是否相等。分别计算每组中两个比的比值，相等就能组成比例。
【完整解答】
（1）6∶8 = 6÷8 = 34，9∶12 = 9÷12 = 34
比值相等，能组成比例：6∶8 = 9∶12
（2）0.3∶0.2 = 0.3÷0.2 = 1.5，1.5∶1 = 1.5÷1 = 1.5
比值相等，能组成比例：0.3∶0.2 = 1.5∶1
（3）13∶12 = 13 ÷ 12 = 23，2∶3 = 2÷3 = 23
比值相等，能组成比例：13∶12 = 2∶3
（4）1.4∶2 = 1.4÷2 = 0.7，7∶10 = 7÷10 = 0.7
比值相等，能组成比例：1.4∶2 = 7∶10
答：四组都能组成比例。
【易错点】容易只看数字而不计算比值就下结论，或者计算比值时出错。
8. 【解题思路】根据等式写比例，要利用比例的基本性质。把等式左边的两个数同时作为外项（或内项），右边的两个数同时作为内项（或外项），可以写出多个比例。
【完整解答】
根据 3×6 = 2×9，可以写出以下比例：
（1）3∶2 = 9∶6 （2）3∶9 = 2∶6
（3）6∶2 = 9∶3 （4）6∶9 = 2∶3
（5）2∶3 = 6∶9 （6）2∶6 = 3∶9
（7）9∶3 = 6∶2 （8）9∶6 = 3∶2
答：一共能写出8个比例。
【易错点】容易写不全，或者写的比例不符合基本性质。记住：等式左边两个数要么都是外项，要么都是内项。
9. 【解题思路】96 = x/10是分数形式的比例，交叉相乘后9和10是外项，6和x是内项。根据比例的基本性质，外项积等于内项积，转化为方程求解。
【完整解答】
96 = x/10
解：6x = 9 × 10
6x = 90
x = 15
【易错点】容易搞反外项和内项。分数形式的比例，交叉相乘：左上×右下 = 右上×左下。
10. 【解题思路】比例尺 = 图上距离∶实际距离。已知图上距离和比例尺，求实际距离。可以用比例方法解，也可以用图上距离÷比例尺 = 实际距离。
【完整解答】
设A、B两地的实际距离是x厘米。
6∶x = 1∶5000000
x = 6 × 5000000
x = 30000000
30000000厘米 = 300千米
答：A、B两地的实际距离是300千米。
【易错点】容易搞错比例尺的含义（前项是图上距离，后项是实际距离），或者忘记单位换算。
11. 【解题思路】判断两种量是否成正比例，要看它们的比值（商）是否一定。比值一定就成正比例，否则不成。
【完整解答】
（1）成正比例。
理由：大米的总质量÷袋数 = 每袋大米的质量（一定），所以大米的总质量和袋数成正比例。
（2）不成正比例。
理由：一个人的身高和年龄的比值不一定，所以一个人的身高和年龄不成正比例。
【易错点】容易错误地认为两种相关联的量就一定成正比例。判断正比例的关键是比值一定。
12. 【解题思路】判断两种量是否成反比例，要看它们的乘积是否一定。乘积一定就成反比例，否则不成。
【完整解答】
（1）成反比例。
理由：速度 × 时间 = 路程（一定），所以速度和时间成反比例。
（2）不成反比例。
理由：长 + 宽 = 周长÷2（一定），是和一定不是积一定，所以长和宽不成反比例。
【易错点】容易把和一定当成积一定。只有两种量的乘积一定时，才成反比例。
13. 【解题思路】这是相遇问题。相遇时间×速度和 = 路程。先求速度和，再按5∶4分配求甲、乙两车的速度。
【完整解答】
甲、乙两车的速度和：270 ÷ 2 = 135（千米/时）
总份数：5 + 4 = 9
甲车速度：135 × 59 = 75（千米/时）
乙车速度：135 × 49 = 60（千米/时）
答：甲车的速度是75千米/时，乙车的速度是60千米/时。
【易错点】容易直接用270按5∶4分配，忽略了270是总路程而不是速度和。
14. 【解题思路】第一天修了全长的13，剩下全长的23；第二天修了剩下的25，即修了全长的23×25 = 415。这时还剩下全长的1 - 13 - 415 = 25，对应600米。先求全长，再求第一天修的长度。用比例方法解。
【完整解答】
第二天修了全长的：(1 - 13) × 25 = 23 × 25 = 415
还剩下全长的：1 - 13 - 415 = 25
设全长为x米。
600∶x = 25 ∶1
25 x = 600
x = 600 × 52
x = 1500
第一天修的长度：1500 × 13 = 500（米）
答：第一天修了500米。
【易错点】容易把第二天修的25当成全长的25，而不是剩下的25。解题时要注意单位1的变化。
15. 【解题思路】这是一道单量不变的比例问题。放入白子前后，黑子的数量不变。原来黑子与白子的比是3∶2 = 12∶8，放入白子后是4∶3 = 12∶9。黑子都是12份，白子增加了1份，对应10颗。由此可以求出每份的数量，再求原来棋子的总数。
【完整解答】
原来：黑子∶白子 = 3∶2 = 12∶8
后来：黑子∶白子 = 4∶3 = 12∶9
白子增加了：9 - 8 = 1（份）
每份对应：10 ÷ 1 = 10（颗）
原来棋子总数：(12 + 8) × 10 = 20 × 10 = 200（颗）
答：盒子里原来有200颗棋子。
【易错点】容易忽略黑子数量不变这个关键条件，不知道如何入手。解决这类问题的关键是找到不变的量，统一不变量的份数。
图1 比的各部分名称示意图
图3 按比例分配示意图（2∶3）
图2 比例的内项和外项示意图类别
对应项1
对应项2
对应项3
比
前项
比号（∶）
后项（不能为0）
除法
被除数
除号（÷）
除数（不能为0）
分数
分子
分数线（—）
分母（不能为0）