六年级上册（2024）二 混合运算和数量关系（三）优秀学案

这是一份六年级上册（2024）二 混合运算和数量关系（三）优秀学案，共18页。学案主要包含了解题思路，完整解答等内容，欢迎下载使用。
? 知识梳理
知识点1：分数四则混合运算的运算顺序
分数四则混合运算的运算顺序与整数相同。在一个没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先算第二级运算（乘除），后算第一级运算（加减）。在有括号的算式里，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。
知识点2：整数运算律推广到分数
整数加法的交换律、结合律，整数乘法的交换律、结合律和分配律，对分数加法和乘法同样适用。运用运算律可以使一些计算简便。公式：a×b=b×a；(a×b)×c=a×(b×c)；(a+b)×c=a×c+b×c
知识点3：小数和分数混合运算
在小数和分数混合运算时，可以根据题目特点灵活选择算法：能化成有限小数的分数可以化成小数计算；不能化成有限小数的，一般把小数化成分数再计算。运用运算律可以使计算简便。
知识点4：用估算解决实际问题
解决够不够的实际问题时，要根据问题选择恰当的估算策略。判断够不够时，要看是往大估还是往小估：如果所有数据都往大估后总数仍不超过限额，则实际一定够；如果所有数据都往小估后总数仍超过限额，则实际一定不够。
知识点5：稍复杂的分数乘法问题（求剩余）
已知总量和其中一部分占总量的几分之几，求另一部分是多少。解题方法：方法一：总量 - 总量×对应分率 = 剩余量；方法二：总量×(1 - 对应分率) = 剩余量。关键是找准单位"1"和各部分对应的分率。
知识点6：稍复杂的分数乘法问题（比多比少）
已知一个数，另一个数比它多（或少）几分之几，求另一个数。解题方法：方法一：单位"1"的量 ± 单位"1"的量×多（少）的分率 = 比较量；方法二：单位"1"的量×(1 ± 多（少）的分率) = 比较量。关键是理解比多比少的含义。
知识点7：工程问题
把工作总量看作单位"1"，工作效率用单位时间内做的工作量的几分之一来表示。基本数量关系：工作总量÷工作效率和 = 合作工作时间。公式：1÷(1/a + 1/b)，其中a、b分别是甲、乙单独完成的时间。
知识点8：相遇问题
两人（两车）从两地同时出发，相向而行，相遇时两人走过的路程之和等于总路程。基本数量关系：总路程÷速度和 = 相遇时间。在环形跑道上反向而行也属于相遇问题，总路程为一圈的长度（看作单位"1"）。
⚠️ 易错汇总
易错提醒1：进行分数混合运算时，容易忽略运算顺序，特别是有中括号时，要先算小括号，再算中括号。
易错提醒2：运用乘法分配律时，容易漏乘括号内的某一项，或忘记括号外的数要乘括号内每一项。
易错提醒3：分数应用题中找不准单位"1"，导致列错算式。一般占、是、比后面的量是单位"1"。
易错提醒4：理解比多比少问题时出错，要注意是多（少）单位"1"的几分之几。
易错提醒5：工程问题中不会把总工作量设为单位"1"，或工作效率表示错误。
易错提醒6：估算够不够时，估算方向搞反：判断够要往大估，判断不够要往小估。
易错提醒7：小数和分数混合运算时，盲目化小数或化分数，不看题目特点选择简便方法。
? 易错精讲
【易错一】运算顺序错误
题目：计算：35 + 25 × 56
【解题思路】这道题含有加法和乘法两级运算，应先算乘法，再算加法。易错点是容易从左往右依次计算，先算加法再算乘法。
【完整解答】
35 + 25 × 56
= 35 + 1030
= 35 + 13
= 915 + 515
= 1415
【易错点】易错点：没有按先乘除后加减的运算顺序计算，错误地先算加法。
【易错二】乘法分配律运用错误
题目：简便计算：(56 + 34) × 12
【解题思路】这道题可以运用乘法分配律进行简便计算，即用12分别乘括号里的两个加数，再把两个积相加。易错点是容易漏乘其中一个加数。
【完整解答】
(56 + 34) × 12
= 56 × 12 + 34 × 12
= 10 + 9
= 19
【易错点】易错点：运用乘法分配律时漏乘括号内的某一项，或忘记把括号外的数与括号内每一项分别相乘。
【易错三】找不准单位"1"
题目：六年级有学生84人，其中男生占47，女生有多少人？
【解题思路】这道题中男生占47是指男生占总人数的47，所以单位"1"是总人数。求女生人数，可以用总人数减去男生人数，也可以先求女生占总人数的几分之几再乘总人数。
【完整解答】
方法一：
84 - 84 × 47
= 84 - 48
= 36（人）
方法二：
84 × (1 - 47)
= 84 × 37
= 36（人）
答：女生有36人。
【易错点】易错点：找不准单位"1"，或错误地用男生人数乘47。
【易错四】比多比少理解错误
题目：商店运来苹果120千克，运来的梨比苹果多14，运来梨多少千克？
【解题思路】梨比苹果多14是指梨比苹果多的部分是苹果的14，单位"1"是苹果的质量。方法一：先求梨比苹果多多少千克，再加苹果的质量；方法二：先求梨是苹果的几分之几，再乘苹果质量。
【完整解答】
方法一：
120 + 120 × 14
= 120 + 30
= 150（千克）
方法二：
120 × (1 + 14)
= 120 × 54
= 150（千克）
答：运来梨150千克。
【易错点】易错点：误以为多14就是多加14千克，或单位"1"找错。
【易错五】工程问题
题目：一项工程，甲队单独做需要8天完成，乙队单独做需要12天完成。两队合作，多少天可以完成？
【解题思路】这是典型的工程问题。把总工作量看作单位"1"，甲队每天完成18，乙队每天完成112，两队合作每天完成(18 + 112)。用工作总量÷工作效率和 = 工作时间。
【完整解答】
1 ÷ (18 + 112)
= 1 ÷ (324 + 224)
= 1 ÷ 524
= 245
= 4.8（天）
答：两队合作，245天（或4.8天）可以完成。
【易错点】易错点：不会把总工作量设为单位"1"，或错误地用总天数除以2。
【易错六】估算方向错误
题目：妈妈带50元去超市，买了2千克苹果，每千克12.6元；又买了1.5千克香蕉，每千克8.4元。剩下的钱够买一盒10元的饼干吗？
【解题思路】判断够不够需要估算。要判断剩下的钱够不够买饼干，需要估算最少剩下多少钱（即最多花多少钱），所以要把单价往大估。如果往大估后剩下的钱还够，那实际一定够。
【完整解答】
往大估：
12.6 < 13，8.4 < 9
苹果：13 × 2 = 26（元）
香蕉：9 × 1.5 = 13.5（元）
最多花：26 + 13.5 = 39.5（元）
最少剩：50 - 39.5 = 10.5（元）
10.5 > 10
答：剩下的钱够买一盒10元的饼干。
【易错点】易错点：估算方向错误。判断够时应该往大估，判断不够时应该往小估。
✏️ 易错专练
一、选择题
1. 计算 23 + 13 × 65，正确的结果是（ ）
A. 65
B. 1615
C. 25
D. 1
2. 下面算式中，与 (34 + 56) × 24 结果相等的是（ ）
A. 34 × 24 + 56
B. 34 + 56 × 24
C. 34 × 24 + 56 × 24
D. 34 × 56 × 24
3. 一根绳子长20米，用去 35，还剩多少米？正确列式是（ ）
A. 20 × 35
B. 20 - 35
C. 20 × (1 - 35)
D. 20 ÷ 35
4. 一件衣服原价150元，现价比原价降低了 15，现价多少元？列式错误的是（ ）
A. 150 - 150 × 15
B. 150 × (1 - 15)
C. 150 × 15
D. 150 × 45
5. 甲比乙多 14，那么乙是甲的（ ）
A. 34
B. 45
C. 54
D. 14
6. 一项工程，甲单独做10天完成，乙单独做15天完成，甲乙合作（ ）天完成
A. 25
B. 12.5
C. 6
D. 5
7. 下列算式中，计算正确的是（ ）
A. 56 × 3 ÷ 56 × 3 = 1
B. 23 + 13 × 34 = 34
C. (12 + 13) × 6 = 5
D. 34 × 4 ÷ 34 × 4 = 1
8. 小明带了30元去买文具，买了2支钢笔，每支9.8元；又买了一个文具盒，12.5元。请你估算一下，小明带的钱（ ）
A. 够
B. 不够
C. 无法确定
D. 正好
9. 两列火车同时从两地相对开出，快车行完全程需要10小时，慢车行完全程需要15小时，两车开出后（ ）小时相遇
A. 25
B. 6
C. 12.5
D. 5
二、填空题
1. 分数四则混合运算的运算顺序与（ ）相同，在有括号的算式里，要先算（ ）括号里面的，再算（ ）括号里面的。
2. 25 + 35 × 56 = 25 + 12 = （ ）
3. 一根铁丝长30米，第一次用去全长的 13，第二次用去全长的 25，还剩下全长的（ ），还剩（ ）米。
4. 比20千克多 14 是（ ）千克；比20千克少 14 是（ ）千克。
5. 一件上衣原价180元，打八折后是（ ）元，便宜了（ ）元。
6. 一条路，甲队单独修8天完成，乙队单独修12天完成，两队合修（ ）天完成。
7. 一桶油重50千克，倒出 25 后，又倒进倒出的 25，这时桶里有油（ ）千克。
三、判断题
1. 整数乘法的运算律对分数乘法同样适用。（ ）
2. 12 + 12 × 13 = 1 × 13 = 13。（ ）
3. 甲比乙多 15 米，也就是乙比甲少 15 米。（ ）
4. 一件商品先涨价 110，再降价 110，现价比原价低。（ ）
四、计算题
1. 计算下面各题，能简算的要简算。
(1) 58 + 38 × 49
(2) 712 × 11 + 712
(3) (56 - 34) × 24
2. 计算下面各题，注意运算顺序。
(1) 23 ÷ [411 × (16 + 34)]
(2) 58 × 1625 + 14 ÷ 12
(3) 解方程：34 x - 12 x = 58
五、解答题
1. 果园里有果树120棵，其中苹果树占 25，其余是梨树。梨树有多少棵？
2. 食堂运来大米150袋，第一个月用去总数的 13，第二个月用去总数的 25。两个月一共用去多少袋？
3. 一件上衣原价200元，现在降价 14 出售。现在售价多少元？
4. 某小学六月份用电1200千瓦时，七月份比六月份节约了 16。七月份用电多少千瓦时？
5. 修一条长1200米的公路，第一天修了全长的 14，第二天修了全长的 13。第二天比第一天多修多少米？
6. 一批货物，甲车单独运需要6次运完，乙车单独运需要8次运完。如果两车一起运，多少次可以运完？
7. 一项工程，甲队单独做需要20天完成，乙队单独做需要30天完成。两队合作多少天能完成这项工程的一半？
8. 甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行全程的 110，乙车每小时行全程的 115。两车经过几小时相遇？
9. 如图，一块长方形菜地，种黄瓜的面积占总面积的 13，种西红柿的面积占总面积的 25，剩下的种茄子。种茄子的面积占总面积的几分之几？如果这块菜地的面积是300平方米，种茄子的面积是多少平方米？
10. 妈妈带了100元钱，买了2千克牛肉，每千克35.8元；又买了1.5千克猪肉，每千克22.4元。剩下的钱够买一袋10元的面粉吗？够买一袋20元的大米吗？（用估算方法解答）
11. 一根绳子，第一次用去全长的 14，第二次用去全长的 25，还剩21米。这根绳子全长多少米？
12. 书店有故事书和科技书共240本，其中故事书占总数的 38，后来又买进一些故事书，这时故事书占总数的 12。又买进多少本故事书？
13. 在周长为400米的环形跑道上，小明和小红同时从同一地点出发，反向而行。小明跑一圈需要2分钟，小红跑一圈需要3分钟。两人出发后多少分钟第一次相遇？
14. 六年级一班有学生48人，每人至少参加一个兴趣小组。参加美术组的占全班人数的 23，参加音乐组的占全班人数的 34。两个小组都参加的有多少人？
15. 修一条公路，甲队单独修需要15天完成，乙队单独修需要20天完成。甲队先修3天后，剩下的由两队合修，还需要多少天才能修完？
（第9题示意图）
? 参考答案
一、选择题
1. B
2. C
3. C
4. C
5. B
6. C
7. C
8. B
9. B
二、填空题
1. 整数；小；中
2. 910
3. 415；8
4. 25；15
5. 144；36
6. 245（或4.8）
7. 38
三、判断题
1. √
2. ×
3. √
4. √
四、计算题
1.
(1) 1924
(2) 7
(3) 2
2.
(1) 2
(2) 910
(3) x = 52
五、解答题
第1题
【解题思路】把果树总棵数看作单位"1"，苹果树占25，那么梨树占(1-25)。用总棵数乘梨树所占的分率即可。
【完整解答】
120 × (1 - 25)
= 120 × 35
= 72（棵）
答：梨树有72棵。
【易错点】易错点：直接用120 × 25求梨树棵数，没有用单位"1"减去苹果树的分率。
第2题
【解题思路】第一个月用去总数的13，第二个月用去总数的25，两个月一共用去总数的(13 + 25)。用总数乘两个月一共用去的分率。
【完整解答】
150 × (13 + 25)
= 150 × (515 + 615)
= 150 × 1115
= 110（袋）
答：两个月一共用去110袋。
【易错点】易错点：两个月的分率单位"1"相同，可以直接相加，但容易错把分率相加后忘记乘总袋数。
第3题
【解题思路】降价14出售，即现价比原价少14。用原价 × (1 - 14) = 现价。
【完整解答】
200 × (1 - 14)
= 200 × 34
= 150（元）
答：现在售价150元。
【易错点】易错点：直接用200 × 14求现价，混淆了降价的钱和现价。
第4题
【解题思路】七月份比六月份节约了16，即七月份用电量是六月份的(1 - 16)。用六月份用电量乘这个分率。
【完整解答】
1200 × (1 - 16)
= 1200 × 56
= 1000（千瓦时）
答：七月份用电1000千瓦时。
【易错点】易错点：搞不清节约了谁的16，应该是节约了六月份的16。
第5题
【解题思路】第二天比第一天多修全长的(13 - 14)，用全长乘这个分率差即可。
【完整解答】
1200 × (13 - 14)
= 1200 × (412 - 312)
= 1200 × 112
= 100（米）
答：第二天比第一天多修100米。
【易错点】易错点：把13和14直接相减后忘记乘全长。
第6题
【解题思路】这是工程问题，把这批货物看作单位"1"。甲车每次运16，乙车每次运18，两车一起运每次运(16 + 18)。用1除以工作效率和。
【完整解答】
1 ÷ (16 + 18)
= 1 ÷ (424 + 324)
= 1 ÷ 724
= 247 ≈ 4（次）
答：两车一起运，247次可以运完。
【易错点】易错点：不会把货物总量设为单位"1"，或错误地用(6+8)÷2计算。
第7题
【解题思路】把这项工程看作单位"1"，完成一半即完成12。甲队每天做120，乙队每天做130。用12除以工作效率和。
【完整解答】
12 ÷ (120 + 130)
= 12 ÷ (360 + 260)
= 12 ÷ 560
= 12 ÷ 112
= 6（天）
答：两队合作6天能完成这项工程的一半。
【易错点】易错点：用1除以工作效率和，忘记题目只要求完成一半。
第8题
【解题思路】这是相遇问题。把A、B两地的路程看作单位"1"，甲、乙两车每小时共行全程的(110 + 115)。用总路程除以速度和。
【完整解答】
1 ÷ (110 + 115)
= 1 ÷ (330 + 230)
= 1 ÷ 530
= 6（小时）
答：两车经过6小时相遇。
【易错点】易错点：速度的理解错误，或用10和15直接求平均。
第9题
【解题思路】把菜地总面积看作单位"1"，用1减去黄瓜和西红柿所占的分率就是茄子的面积占总面积的几分之几。再用总面积乘茄子的分率得到茄子的面积。
【完整解答】
1 - 13 - 25
= 1515 - 515 - 615
= 415
300 × 415 = 80（平方米）
答：种茄子的面积占总面积的415，是80平方米。
【易错点】易错点：计算分数减法时通分错误，或忘记用总面积乘茄子的分率。
第10题
【解题思路】这是估算问题。判断够不够买，需要往大估（最多花多少钱），如果实际花的钱比带的钱少就够，反之就不够。往大估后如果还够，那就一定够。
【完整解答】
往大估（判断够不够买10元面粉）：
35.8 < 36，22.4 < 23
牛肉约：36 × 2 = 72（元）
猪肉约：23 × 1.5 = 34.5（元）
最多约花：72 + 34.5 = 106.5（元）
106.5 > 100，说明往大估超了
往小估（判断不够买）：
35.8 > 35，22.4 > 22
35×2 + 22×1.5 = 70 + 33 = 103（元）
103 > 100
答：剩下的钱不够买一袋10元的面粉，更不够买一袋20元的大米。
【易错点】易错点：估算方向搞反，或估算数据选择不当导致判断错误。
第11题
【解题思路】把绳子全长看作单位"1"，第一次用去14，第二次用去25，还剩(1 - 14 - 25)。已知还剩21米，用方程或除法求全长。
【完整解答】
解：设这根绳子全长x米。
x - 14 x - 25 x = 21
(1 - 14 - 25)x = 21
720 x = 21
x = 21 ÷ 720
x = 60
答：这根绳子全长60米。
【易错点】易错点：找不准21米对应的分率，或直接用21 × (14 + 25)。
第12题
【解题思路】这道题中科技书的数量不变。先求科技书的数量，再根据后来科技书占总数的12，求出后来的总本数，最后相减得买进的故事书本数。
【完整解答】
科技书：240 × (1 - 38) = 240 × 58 = 150（本）
后来总本数：150 ÷ (1 - 12) = 300（本）
买进故事书：300 - 240 = 60（本）
答：又买进60本故事书。
【易错点】易错点：以为单位"1"不变，实际上买进故事书后总数变了，但科技书数量没变。
第13题
【解题思路】这是环形跑道上的相遇问题。把一圈的长度看作单位"1"，小明每分钟跑12圈，小红每分钟跑13圈。
【完整解答】
1 ÷ (12 + 13)
= 1 ÷ (36 + 26)
= 1 ÷ 56
= 65（分钟）
答：两人出发后65分钟（或1.2分钟）第一次相遇。
【易错点】易错点：不理解环形跑道反向而行也是相遇问题，或速度表示错误。
第14题
【解题思路】参加美术组的有23，参加音乐组的有34，两者相加超过了单位"1"，超过的部分就是两个小组都参加的。
【完整解答】
48 × (23 + 34 - 1)
= 48 × (812 + 912 - 1212)
= 48 × 512
= 20（人）
答：两个小组都参加的有20人。
【易错点】易错点：不理解为什么两个分率相加减去1就是重叠部分。
第15题
【解题思路】甲队先修3天，完成了315，剩下(1 - 315)。剩下的由两队合修，工作效率和是(115 + 120)。用剩下的工作量除以工作效率和。
【完整解答】
甲队先修：115 × 3 = 15
剩下：1 - 15 = 45
工作效率和：115 + 120 = 760
45 ÷ 760 = 487（天）
答：还需要487天才能修完。
【易错点】易错点：忘记减去甲队先修的部分，或工作效率和计算错误。