第6单元_放大与缩小_知识点

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第6讲 放大与缩小 （易错精编讲义） 苏教版 · 六年级上册 知识梳理 + 易错汇总 + 易错精讲 + 易错专练  ? 知识梳理 1. 图形放大与缩小的意义：放大或缩小后的图形与原图形相比，形状不变，大小变了。形状不变意味着对应边的比相等，对应角的大小不变。 公式：放大后边长 ∶ 原边长 = n ∶ 1（n > 1时为放大） 2. 放大比与缩小比：比的前项表示变化后的图形边长，后项表示原图形边长。比的前项大于后项是放大（如2∶1），比的前项小于后项是缩小（如1∶2）。 3. 按给定的比在方格纸上画放大或缩小后的图形：步骤：①数出原图形各边占的格数；②按给定的比计算出放大或缩小后各边的格数；③按计算出的格数画出新图形，注意角的大小不变。 4. 比例尺的意义：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。 公式：图上距离 ∶ 实际距离 = 比例尺 也可以写成：图上距离 / 实际距离 = 比例尺 5. 数值比例尺与线段比例尺：数值比例尺用比的形式表示（如1∶1000）；线段比例尺用线段标注表示（如0—10—20米，表示图上1厘米相当于实际10米）。 6. 利用比例尺求图上距离或实际距离：已知比例尺和图上距离，求实际距离：实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺；已知比例尺和实际距离，求图上距离：图上距离 = 实际距离 × 比例尺。也可根据比例关系列方程解答。 7. 面积比与边长比的关系：图形按n∶1的比放大，放大后与放大前面积的比是n²∶1；图形按1∶n的比缩小，缩小后与缩小前面积的比是1∶n²。即面积比等于边长比的平方。  ⚠️ 易错汇总 1. ⚠️ 混淆放大比与缩小比的前后项：误将2∶1当作缩小，1∶2当作放大。记住：前项是变化后的，后项是原来的。 2. ⚠️ 图形放大缩小时只改变一条边的长度，导致形状改变。必须每条对应边都按相同的比放大或缩小。 3. ⚠️ 计算比例尺时单位不统一，直接用米和厘米相比，导致结果错误。计算前必须先统一单位。 4. ⚠️ 误认为面积比等于边长比。实际上面积比是边长比的平方。 5. ⚠️ 根据比例尺求图上距离或实际距离时，乘除法搞反。记住：求实际距离用图上距离乘比例尺后项，求图上距离用实际距离除以比例尺后项。 6. ⚠️ 线段比例尺的理解错误。线段比例尺0—10—20米表示图上1厘米代表实际10米，而不是图上1段代表20米。  ? 易错精讲 【易错一】放大比与缩小比的判断 题目：把一个长方形按3∶1的比放大，就是把长方形的长（ ），宽（ ）。 A. 扩大到原来的3倍，不变 B. 不变，扩大到原来的3倍 C. 扩大到原来的3倍，扩大到原来的3倍 D. 缩小到原来的13，缩小到原来的13 【解题思路】按3∶1的比放大，比的前项3表示变化后的长度，后项1表示原来的长度。因为3 > 1，所以是放大，每条边都要扩大到原来的3倍，这样形状才不变。放大和缩小是对图形所有边同时进行的，不能只改变长或只改变宽。 【完整解答】按3∶1的比放大，就是把长方形的每条边都扩大到原来的3倍，长和宽都要扩大到原来的3倍。选C。 【易错点】容易误认为只改变长或只改变宽，导致形状改变；或把放大比的前后项搞反，以为是缩小。 【易错二】图形放大后形状改变的错误 题目：小明把一个长6厘米、宽4厘米的长方形画成长12厘米、宽4厘米的长方形，他说这是按2∶1的比放大的。他说得对吗？为什么？ 【解题思路】判断是否按比放大，要看对应边的比是否相等。原长方形长6厘米，宽4厘米；新长方形长12厘米，宽4厘米。长的比是12∶6 = 2∶1，宽的比是4∶4 = 1∶1。两个比不相等，说明形状变了，不是按2∶1的比放大。 【完整解答】小明说得不对。 理由：原长方形长与新长方形长的比是12∶6 = 2∶1； 原长方形宽与新长方形宽的比是4∶4 = 1∶1。 因为长的比和宽的比不相等，形状发生了改变，所以不是按2∶1的比放大。 按2∶1的比放大后，宽应该是4 × 2 = 8厘米。 【易错点】只看一条边的变化就判断是放大或缩小，忽略了形状不变的要求，即所有对应边的比都要相等。 【易错三】比例尺中单位不统一 题目：在一幅地图上量得A、B两地的距离是5厘米，实际距离是15千米。求这幅地图的比例尺。 【解题思路】求比例尺，就是求图上距离与实际距离的比。但图上距离单位是厘米，实际距离单位是千米，单位不统一，必须先统一单位再计算。 【完整解答】15千米 = 1500000厘米 5 ∶ 1500000 = 1 ∶ 300000 答：这幅地图的比例尺是1∶300000。 【易错点】直接用5∶15 = 1∶3，忽略了单位不统一的问题。计算比例尺时必须先统一单位。 【易错四】求实际距离时乘除法搞反 题目：在比例尺是1∶8000的平面图上，量得明华小学到少年宫的图上距离是5厘米。实际距离是多少米？ 【解题思路】比例尺1∶8000表示图上距离1厘米相当于实际距离8000厘米。已知图上距离是5厘米，求实际距离，就是求5个8000厘米是多少，用乘法。或者根据"图上距离∶实际距离 = 比例尺"列方程解答。 【完整解答】方法一：直接计算 8000 × 5 = 40000（厘米） 40000厘米 = 400米 方法二：列方程 设实际距离为x厘米。 5 / x = 1 / 8000 x = 5 × 8000 = 40000 40000厘米 = 400米 答：实际距离是400米。 【易错点】容易用除法计算：5 ÷ 8000，把乘除法搞反了。比例尺1∶8000说明实际距离是图上距离的8000倍，求实际距离应该用乘法。 【易错五】面积比与边长比混淆 题目：把一个正方形按3∶1的比放大，放大后正方形的面积是原来的多少倍？ 【解题思路】正方形按3∶1的比放大，边长扩大到原来的3倍。正方形面积 = 边长 × 边长，所以放大后的面积 =（边长 × 3）×（边长 × 3）= 边长 × 边长 × 9，即面积扩大到原来的9倍。面积比是边长比的平方。 【完整解答】假设原正方形的边长为1，则面积为1 × 1 = 1。 按3∶1放大后，边长为1 × 3 = 3，面积为3 × 3 = 9。 9 ÷ 1 = 9 答：放大后正方形的面积是原来的9倍。 【易错点】容易误认为面积也扩大到原来的3倍。实际上面积比是边长比的平方，应该是9倍。 【易错六】线段比例尺的应用 题目：一幅地图的线段比例尺是0—50—100千米，量得甲、乙两地的图上距离是4.5厘米。甲、乙两地的实际距离是多少千米？ 【解题思路】线段比例尺0—50—100千米表示图上1厘米相当于实际50千米。图上距离是4.5厘米，实际距离就是4.5个50千米。 【完整解答】由线段比例尺可知，图上1厘米表示实际50千米。 50 × 4.5 = 225（千米） 答：甲、乙两地的实际距离是225千米。 【易错点】容易把线段比例尺误读为图上1厘米表示实际100千米（读到末端），应该读图上第一段对应的实际距离。  ✏️ 易错专练 一、选择题（共9题） 1. 把一个长方形按2∶1的比放大，就是把长方形的各边（ ）。 A. 扩大到原来的2倍 B. 缩小到原来的12 C. 增加2倍 D. 减少12 2. 下面的比中，（ ）是放大比例尺。 A. 1∶100 B. 10∶1 C. 1∶1 D. 1∶5 3. 一个正方形的边长是4厘米，按1∶2的比缩小后，边长是（ ）厘米。 A. 8 B. 2 C. 6 D. 1 4. 一幅图的比例尺是1∶1000，它表示（ ）。 A. 图上距离是实际距离的1000倍 B. 实际距离是图上距离的1000倍 C. 图上1厘米表示实际1000米 D. 实际1厘米表示图上1000厘米 5. 在比例尺是20∶1的图纸上，量得一个零件的长度是4厘米，这个零件的实际长度是（ ）。 A. 80厘米 B. 0.2厘米 C. 5厘米 D. 2厘米 6. 把一个三角形按3∶1的比放大，放大后三角形的底是原来的（ ），高是原来的（ ）。 A. 3倍，3倍 B. 9倍，9倍 C. 3倍，9倍 D. 9倍，3倍 7. 一个长方形按4∶1的比放大后，面积是原来的（ ）倍。 A. 4 B. 8 C. 16 D. 2 8. 线段比例尺0—20—40米表示（ ）。 A. 图上1厘米表示实际20米 B. 图上1厘米表示实际40米 C. 图上20厘米表示实际1米 D. 实际1米表示图上20厘米 9. 把一个圆的半径按2∶1的比放大，放大后圆的面积与原来圆的面积比是（ ）。 A. 2∶1 B. 4∶1 C. 1∶4 D. 8∶1  二、填空题（共7题） 1. 把一个长方形的每条边都扩大到原来的3倍，就是把这个长方形按（ ）的比放大。 2. 一个正方形按1∶4的比缩小后，边长是原来的（ ），周长是原来的（ ），面积是原来的（ ）。 3. 一幅图的比例尺是1∶200000，它表示图上1厘米相当于实际距离（ ）千米。 4. 在比例尺是1∶500的平面图上，量得一间教室的长是2厘米，这间教室的实际长是（ ）米。 5. 一个长方形的长是8厘米，宽是5厘米，按3∶1的比放大后，长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。 6. 一张图纸的比例尺是50∶1，它表示图上距离是实际距离的（ ）倍。 7. 把一个图形按1∶n的比缩小，缩小后与缩小前面积的比是（ ）。 三、判断题（共4题） 1. 把一个长方形按2∶1的比放大，就是把长方形的长扩大到原来的2倍，宽不变。（ ） 2. 比例尺100∶1表示图上距离是实际距离的100倍。（ ） 3. 一个三角形按2∶1的比放大后，每个角的度数也扩大到原来的2倍。（ ） 4. 在比例尺是1∶1000的地图上，图上距离1厘米表示实际距离10米。（ ） 四、计算/操作题（共2大题） 1. 比例计算（3小题） （1）在比例尺是1∶6000000的地图上，量得两地距离是5厘米，实际距离是多少千米？ （2）甲、乙两地实际距离是120千米，在比例尺是1∶4000000的地图上，应画多少厘米？ （3）在一张精密零件图纸上，量得零件长40毫米，图纸的比例尺是5∶1。这个零件的实际长度是多少毫米？ 2. 图形放大缩小计算（3小题） （1）一个长方形长6厘米，宽4厘米。按2∶1的比放大后，长、宽各是多少厘米？面积是多少平方厘米？ （2）一个三角形的底是9厘米，高是6厘米。按1∶3的比缩小后，底和高各是多少厘米？面积是多少平方厘米？ （3）一个正方形按3∶1的比放大后，周长增加了48厘米。原来正方形的周长是多少厘米？  五、解答题（共13题） 1. 基础概念题 下面哪个图形是①号长方形按2∶1的比放大后得到的？哪个是按1∶2的比缩小后得到的？请说明理由。（①号长8格，宽4格；②号长16格，宽8格；③号长4格，宽2格；④号长16格，宽4格。） 2. 基础概念题 小芳把一张长12厘米、宽8厘米的照片按一定的比缩小，缩小后照片的长是6厘米，宽是多少厘米？ 3. 比例尺应用 上海到杭州的实际距离大约是180千米，在一幅地图上量得两地间的距离是5厘米。求这幅地图的比例尺。 4. 比例尺应用 在比例尺是1∶5000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是6厘米。一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行60千米，几小时可以到达？ 5. 图形放大缩小后的尺寸计算 一个直角梯形的上底是3厘米，下底是5厘米，高是4厘米。按2∶1的比放大后，这个梯形的上底、下底、高各是多少厘米？面积是多少平方厘米？ 6. 面积比与边长比的关系 一个正方形的面积是25平方厘米，把它按4∶1的比放大后，面积是多少平方厘米？ 7. 面积比与边长比的关系 把一个长方形按3∶1的比放大后，周长扩大到原来的几倍？面积扩大到原来的几倍？ 8. 生活应用 一张全家福照片长30厘米，宽20厘米。把它按1∶5的比缩小后装进相框，缩小后的照片面积是多少平方厘米？ 9. 生活应用 红光小学有一块长方形草坪，长50米，宽30米。把这块草坪按一定的比缩小，画出的平面图长5厘米，宽3厘米。求这幅平面图的比例尺。 10. 生活应用 在比例尺是1∶2000的平面图上，量得一个长方形操场的长是6厘米，宽是4厘米。这个操场的实际面积是多少平方米？ 11. 综合提升 在一幅比例尺是1∶2000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是12厘米。如果把它画在比例尺是1∶3000000的地图上，应该画多少厘米？ 12. 综合提升 一个长方形的长和宽的比是5∶3，把它按2∶1的比放大后，长和宽的比是多少？如果放大后的长是30厘米，原来长方形的面积是多少平方厘米？ 13. 综合提升 把一个正方形的一边增加2厘米，另一边减少20%，得到一个长方形，它与原来正方形的面积相等。原来正方形的边长是多少厘米？  ? 参考答案 一、选择题 1. A 2. B 3. B 4. B 5. B 6. A 7. C 8. A 9. B 二、填空题 1. 3∶1 2. 14；14；116 3. 2 4. 10 5. 24；15；360 6. 50 7. 1∶n² 三、判断题 1. × 2. √ 3. × 4. √ 四、计算/操作题 1. （1）6000000 × 5 = 30000000（厘米）= 300（千米） 答：实际距离是300千米。 （2）120千米 = 12000000厘米 12000000 ÷ 4000000 = 3（厘米） 答：应画3厘米。 （3）40 ÷ 5 = 8（毫米） 答：这个零件的实际长度是8毫米。 2. （1）放大后长：6 × 2 = 12（厘米） 放大后宽：4 × 2 = 8（厘米） 面积：12 × 8 = 96（平方厘米） 答：长是12厘米，宽是8厘米，面积是96平方厘米。 （2）缩小后底：9 ÷ 3 = 3（厘米） 缩小后高：6 ÷ 3 = 2（厘米） 面积：3 × 2 ÷ 2 = 3（平方厘米） 答：底是3厘米，高是2厘米，面积是3平方厘米。 （3）按3∶1放大后，周长也扩大到原来的3倍，增加了2倍。 原来的周长：48 ÷ (3 - 1) = 24（厘米） 答：原来正方形的周长是24厘米。 五、解答题 第1题 【解题思路】判断图形是放大还是缩小，要看对应边的比是否相等。按2∶1放大，就是各边都扩大到原来的2倍；按1∶2缩小，就是各边都缩小到原来的12。 【完整解答】 ①号长8格，宽4格。 ②号长16格，宽8格：16∶8 = 2∶1，8∶4 = 2∶1，长和宽的比都是2∶1。 ③号长4格，宽2格：4∶8 = 1∶2，2∶4 = 1∶2，长和宽的比都是1∶2。 ④号长16格，宽4格：16∶8 = 2∶1，4∶4 = 1∶1，比不相等，形状变了。 答：②号是按2∶1的比放大后得到的，③号是按1∶2的比缩小后得到的。 【易错点】容易只看长的比就判断，忽略宽的比是否也相等；或把放大和缩小搞反。 第2题 【解题思路】照片按一定的比缩小，长和宽缩小的比相同。先求出缩小的比，再求缩小后的宽。 【完整解答】 缩小的比：6 ∶ 12 = 1 ∶ 2 缩小后宽：8 ÷ 2 = 4（厘米） 答：宽是4厘米。 【易错点】容易误认为宽不变，或用乘法而不是除法计算。 第3题 【解题思路】求比例尺，就是求图上距离与实际距离的比。注意先统一单位。 【完整解答】 180千米 = 18000000厘米 5 ∶ 18000000 = 1 ∶ 3600000 答：这幅地图的比例尺是1∶3600000。 【易错点】单位不统一就直接计算，得到错误的5∶180 = 1∶36。 第4题 【解题思路】先根据比例尺和图上距离求出实际距离，再根据路程÷速度 = 时间求出行驶时间。 【完整解答】 实际距离：5000000 × 6 = 30000000（厘米）= 300（千米） 行驶时间：300 ÷ 60 = 5（小时） 答：5小时可以到达。 【易错点】单位换算错误，把30000000厘米错算成30千米；或求实际距离时用除法。 第5题 【解题思路】按2∶1的比放大，就是各边都扩大到原来的2倍。先分别求出放大后各边的长度，再求面积。 【完整解答】 放大后上底：3 × 2 = 6（厘米） 放大后下底：5 × 2 = 10（厘米） 放大后高：4 × 2 = 8（厘米） 放大后面积：(6 + 10) × 8 ÷ 2 = 16 × 8 ÷ 2 = 64（平方厘米） 答：上底是6厘米，下底是10厘米，高是8厘米，面积是64平方厘米。 【易错点】容易忘记高也要放大；或用梯形面积公式时忘记除以2。 第6题 【解题思路】正方形按4∶1放大，边长扩大到原来的4倍，面积扩大到原来的4² = 16倍。也可以先求原来的边长，再求放大后的边长和面积。 【完整解答】 方法一：利用面积比等于边长比的平方 面积扩大的倍数：4² = 16 放大后面积：25 × 16 = 400（平方厘米） 方法二：先求边长 原正方形边长：25 = 5 × 5，所以边长是5厘米 放大后边长：5 × 4 = 20（厘米） 放大后面积：20 × 20 = 400（平方厘米） 答：面积是400平方厘米。 【易错点】容易误认为面积也扩大到原来的4倍，得到25 × 4 = 100平方厘米的错误答案。 第7题 【解题思路】长方形按3∶1放大，长和宽都扩大到原来的3倍。周长 =（长 + 宽）× 2，所以周长也扩大到原来的3倍。面积 = 长 × 宽，所以面积扩大到原来的3 × 3 = 9倍。 【完整解答】 设原长方形长为a，宽为b。 原周长：(a + b) × 2 放大后长3a，宽3b，周长：(3a + 3b) × 2 = 3 × (a + b) × 2 周长扩大倍数：3 × (a + b) × 2 ÷ [(a + b) × 2] = 3 原面积：a × b = ab 放大后面积：3a × 3b = 9ab 面积扩大倍数：9ab ÷ ab = 9 答：周长扩大到原来的3倍，面积扩大到原来的9倍。 【易错点】容易认为面积也扩大到原来的3倍，忽略了面积比是边长比的平方。 第8题 【解题思路】按1∶5的比缩小，长和宽都缩小到原来的15。先求缩小后的长和宽，再求面积。也可以利用面积比等于边长比的平方来计算。 【完整解答】 方法一：先求缩小后的长和宽 缩小后长：30 ÷ 5 = 6（厘米） 缩小后宽：20 ÷ 5 = 4（厘米） 缩小后面积：6 × 4 = 24（平方厘米） 方法二：利用面积比 原面积：30 × 20 = 600（平方厘米） 面积缩小到原来的：(15)² = 125 缩小后面积：600 ÷ 25 = 24（平方厘米） 答：缩小后的照片面积是24平方厘米。 【易错点】容易直接用原面积除以5得到120平方厘米，忽略了面积比是边长比的平方。 第9题 【解题思路】求比例尺，就是求图上距离与实际距离的比。先统一单位，再分别求长和宽的比，验证是否相等。 【完整解答】 50米 = 5000厘米 30米 = 3000厘米 长的比：5 ∶ 5000 = 1 ∶ 1000 宽的比：3 ∶ 3000 = 1 ∶ 1000 答：这幅平面图的比例尺是1∶1000。 【易错点】单位不统一直接计算，如5∶50 = 1∶10；或把比例尺的前项后项搞反。 第10题 【解题思路】先根据比例尺求出实际的长和宽，再求实际面积。注意单位换算。 【完整解答】 实际长：2000 × 6 = 12000（厘米）= 120（米） 实际宽：2000 × 4 = 8000（厘米）= 80（米） 实际面积：120 × 80 = 9600（平方米） 答：这个操场的实际面积是9600平方米。 【易错点】容易先求图上面积再乘比例尺，得到错误答案；或单位换算错误。 第11题 【解题思路】先根据第一幅图的比例尺和图上距离求出实际距离，再根据实际距离和第二幅图的比例尺求出第二幅图上的距离。 【完整解答】 实际距离：2000000 × 12 = 24000000（厘米） 第二幅图上距离：24000000 ÷ 3000000 = 8（厘米） 答：应该画8厘米。 【易错点】容易在乘除法上搞反；或单位换算时出错。 第12题 【解题思路】按2∶1放大，长和宽同时扩大到原来的2倍，比不变。先根据放大后的长和比例求出放大后的宽，再求原来的长和宽，最后求原来的面积。 【完整解答】 （1）按2∶1的比放大后，长和宽都扩大到原来的2倍，长和宽的比不变，仍是5∶3。 （2）放大后的长是30厘米，长与宽的比是5∶3，所以放大后宽为： 30 ÷ 5 × 3 = 18（厘米） 原来的长：30 ÷ 2 = 15（厘米） 原来的宽：18 ÷ 2 = 9（厘米） 原来的面积：15 × 9 = 135（平方厘米） 答：放大后长和宽的比是5∶3，原来长方形的面积是135平方厘米。 【易错点】容易误认为放大后长和宽的比也扩大到原来的2倍；或计算原来的长和宽时用乘法。 第13题 【解题思路】设原来正方形的边长为x厘米。一边增加2厘米后变为(x+2)厘米，另一边减少20%后变为0.8x厘米。长方形面积等于原正方形面积，据此列方程求解。 【完整解答】 设原来正方形的边长是x厘米。 (x + 2) × (1 - 20%)x = x² (x + 2) × 0.8x = x² 0.8x² + 1.6x = x² x² - 0.8x² = 1.6x 0.2x² = 1.6x 0.2x = 1.6 （x ≠ 0，两边同时除以x） x = 8 答：原来正方形的边长是8厘米。 【易错点】把"减少20%"理解为"减少20厘米"；或列方程时把长方形的长和宽搞反。