初中数学湘教版（2024）八年级下册（2024）4.6 总体的平均数与方差的估计表格教案设计

这是一份初中数学湘教版（2024）八年级下册（2024）4.6 总体的平均数与方差的估计表格教案设计，共6页。

课题
4.6 总体的平均数与方差的估计
单元
第四单元
学科
数学
年级
八年级（下）
教材分析
本节课将通过实例引导学生理解总体平均数和方差的概念，掌握估计总体平均数和方差的方法，并了解样本估计总体的思想。学生在此之前已经学习了平均数、方差等基本概念，并具备了一定的数据分析基础，但对于如何利用样本数据估计总体数据可能还存在一定的困惑。因此，本节课将重点通过实例和操作帮助学生进一步理解和掌握相关知识。
核心素养
能力培养
经历“议一议”的过程，通过样本数据来估计总体数据的平均数和方差，培养学生的数据分析能力；
经历例题，练习题的练习，理解用样本数据估计总体数据的原理，掌握样本平均数和方差的计算方法，并能运用其解决实际问题，培养学生的逻辑推理能力；
通过思考与练习，能从具体实例中抽象出总体平均数和方差的估计方法，提高数学抽象能力。
教学目标
通过对“议一议”的思考，让学生掌握用样本平均数和方差估计总体平均数和方差的方法；
通过例题的讲解以及问题的思考，让学生了解样本估计总体的思想，并能运用其解决实际问题。
教学重点
估计总体平均数和方差的方法
教学难点
利用样本数据估计总体数据的思想，以及如何进行估计
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
复习回顾
教师出示问题：
1.平均数如何计算？
2.方差如何计算？
教师提问，学生回答，引出本节课学习内容。
我们知道，当研究某个对象时，如果能得到它的全部数据（可以看作是总体），就可以直接利用平均数刻画总体的平均水平，利用方差刻画它的离散程度。
学生主动举手回答问题。
回顾旧知，考验学生对平均数、方差这些基础思想的掌握程度，引出今天的内容。
新知探究
1.议一议
在实际问题中，总体的数据个数往往非常多或者不能全部得到，于是，有人提出：用简单随机抽样方法抽取一个样本，计算样本的平均数和方差，然后分别用样本的平均数、方差估计总体的平均数、方差。这种做法合理吗？
简单随机抽样方法能使得每次抽取时，总体中每个个体都有同等的机会被取到，并且在整个抽样过程中，前面取到的个体不影响后面的个体被取到的机会，于是上述做法合理.
数学上已经证明：
当样本的容量足够大时，可以用简单随机样本的平均数作为总体的平均数的一个估计值，用简单随机样本的方差作为总体的方差的一个估计值.
2.例题讲解
例 某工厂有甲、乙两个车间，准备生产一批某种型号的机械零件. 为确保质量，先进行试生产，于是需要了解甲车间试生产的这批零件的质量的平均数和离散程度. 把这批零件的质量作为总体，用简单随机抽样方法从总体中抽取100个零件，测量它们的质量，整理后得到下表：
（1） 求甲车间试生产的这批零件的质量的平均数的一个估计值；
（2） 求甲车间试生产的这批零件的质量的方差的一个估计值.
解 用简单随机抽样方法从总体中抽取的 100 个零件的质量是一个样本, 将这个样本的平均数记作 x甲 ,方差记作 s甲 2 .
(1) x甲 =1100(238×1+241×5+244×9+247×19+250×24+253×22+256×11+259×6+262×1+265×2)=250.6.
于是甲车间试生产的这批零件的质量的平均数的一个估计值是 250.6 g .
(2) s甲 2=1100238−250.62×1+241−250.62×5+244−250.62×9+247−250.62×19+250−250.62×24+253−250.62×22+256−250.62×11+259−250.62×6+262−250.62×1+265−250.62×2]=26.82.
于是甲车间试生产的这批零件的质量的方差的一个估计值是 26.82 .
3.思考
在上例中，如果从该工厂乙车间试生产的零件中用简单随机抽样方法抽取100个零件，测量它们的质量，整理后得到下表：
比较甲车间与乙车间试生产的零件质量, 哪个车间生产的零件质量更稳定?
把甲车间试生产的零件质量作为第一个总体, 用简单随机抽样方法从这个总体中抽取的 100 个零件的质量是这个总体的一个样本.
由上例可知, 这个样本的平均数是 250.6 , 方差为 26.82 . 于是甲车间试生产的零件质量的平均数的一个估计值是 250.6 g ,方差的一个估计值是 26.82 .
把乙车间试生产的零件质量作为第二个总体, 用简单随机抽样方法从这个总体中抽取的 100 个零件的质量是这个总体的一个样本.
于是这个样本的平均数为：
x乙=1100(236×2+240×7+242×8+245×16+250×23+252×21+254×12+256×7+260×3+268×1) =249.38.
方差为
s乙2=1100236−249.382×2+240−249.382×7+242−249.382×8+245−249.382×16+250−249.382×23+252−249.382×21+254−249.382×12+256−249.382×7+260−249.382×3+268−249.382×1] ≈31.18.
于是乙车间试生产的零件质量的平均数的一个估计值是 249.38 g ,方差的一个估计值是 31.18 .
由于 26.82 2.157 cm，0.001148 > 0.00039228
故而甲公司生产的钉子平均长度较长,乙公司生产的钉子长度更稳定。
学生自主完成后，教师核对答案纠错，并进行分析。
学生自主完成后核对答案，听老师分析。
通过练习题反馈学生对总体的平均数与方差的估计知识熟练程度。锻炼学生独立思考以及解决问题的能力。
课堂小结
当样本的容量足够大时，可以用简单随机样本的平均数作为总体的平均数的一个估计值，用简单随机样本的方差作为总体的方差的一个估计值.
学生归纳本节课知识。
让学生回顾总体的平均数与方差的估计的内容，加深印象，便于做题。
课后练习
1.必做题： 教材P170页习题——学而时习之
2.选做题： 教材P170页习题——温故而知新
学生自主完成
让学生巩固本节课所学知识