初中数学湘教版（2024）八年级下册（2024）4.6 总体的平均数与方差的估计教学设计

这是一份初中数学湘教版（2024）八年级下册（2024）4.6 总体的平均数与方差的估计教学设计，共8页。教案主要包含了情境导入，合作探究，板书设计等内容，欢迎下载使用。
1.通过实际生活中的例子，掌握用样本平均数和方差去估计总体平均数和方差的统计方法，建立数学与现实世界之间的逻辑联系，培养抽象能力．
2.通过学习用样本平均数和方差去估计总体平均数和方差的统计方法，锻炼学生的应用能力和运算能力．
3.在实际情景中会用样本平均数和方差去估计总体平均数和方差、体会样本代表性的重要意义，培养数学模型观念，增强数学的应用意识．
重点：掌握用样本平均数和方差去估计总体平均数和方差的统计方法．
难点：在实际情景中会用样本平均数和方差去估计总体平均数和方差、体会样本代表性的重要意义．
一、情境导入
生活中的“小笑话”：
一天，爸爸叫儿子去买一盒火柴．临出门前，爸爸嘱咐儿子要买能划燃的火柴．儿子拿着钱出门了，过了好一会儿，儿子才回到家．爸爸：“火柴能划燃吗？”儿子：“都能划燃．”爸爸：“你这么肯定？”儿子递过一盒划过的火柴，兴奋地说：“我每根都试过啦．”爸爸：“啊!……”
今天我们就学习用样本平均数和方差估计总体平均数和方差．
二、合作探究
探究点一：用样本平均数估计总体平均数
【类型一】 结合统计表来估计总体情况
“立定跳远”是我市初中毕业生体育测试项目之一．测试时，记录下学生立定跳远的成绩，然后按照评分标准转化为相应的分数，满分10分．其中男生立定跳远的评分标准如下：（注：成绩栏里的每个范围，含最低值，不含最高值）

某校九年级有480名男生参加立定跳远测试，现从中随机抽取10名男生的测试成绩（单位：米）如下：
1.96 2.38 2.56 2.04 2.34 2.17 2.60 2.26 1.87 2.32
请解决下列问题：
（1）求这10名男生立定跳远成绩的平均数；
（2）如果将9分以上（含9分）定为“优秀”，请你估计这480名男生中得优秀的人数．
解析：（1）根据平均数的计算公式x=x1＋x2＋…＋xnn计算即可；
（2）根据表格得出优秀的人数，再用优秀的人数除以抽查的总人数求出频率，最后乘以480，即可得出答案．
解：（1）根据题意得x=110（1.96＋2.38＋2.56＋2.04＋2.34＋2.17＋2.60＋2.26＋1.87＋2.32）=2.25（米）．
（2）因为抽查的10名男生中得分9分以上（含9分）有6人，所以有480×610=288（人）．
答：估计这480名男生中得优秀的人数是288.
方法总结：此题考查了用样本估计总体和平均数，用到的知识点是平均数的计算公式x=x1＋x2＋…＋xnn，频率=频数÷总数，用样本估计整体数量，用总体容量×样本的百分比即可．
【类型二】 结合条形图来估计总体情况
为宣传节约用水，小明随机调查了某小区部分家庭5月份的用水情况，并将收集的数据整理成如下统计图．
（1）小明一共调查了多少户家庭？
（2）求所调查家庭5月份用水量的平均数；
（3）若该小区有400户居民，请你估计这个小区5月份的用水量．
解析：（1）条形统计图上户数之和即为调查的家庭户数；（2）根据加权平均数的定义计算即可；（3）利用样本估计总体的方法，用“400×所调查的20户家庭的平均用水量”即可．
解：（1）1＋1＋3＋6＋4＋2＋2＋1=20（户）．
答：小明一共调查了20户家庭．
（2）（1×1＋1×2＋3×3＋4×6＋5×4＋6×2＋7×2＋8×1）÷20=4.5（吨）．
答：所调查家庭5月份用水量的平均数为4.5吨．
（3）400×4.5=1800（吨）．
答：估计这个小区5月份的用水量为1800吨．
方法总结：读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
【类型三】 结合频数分布直方图来估计总体情况
统计武汉园博会前20天日参观人数，得到如下频数分布表和频数分布直方图（部分未完成）：
武汉园博会前20天日参观人数的频数分布表
（1）请补全频数分布表和频数分布直方图；
（2）求出日参观人数不低于21.5万的天数和所占的百分比；
（3）利用以上信息，试估计武汉园博会（会期247天）的参观总人数．
解析：（1）根据表格的数据求出14.5~21.5小组的组中值，最后即可补全频数分布表和频数分布直方图；（2）根据表格知道日参观人数不低于21.5万的天数有两个小组，共9天，再除以总人数即可估计出所占的百分比；（3）利用每一组的组中值和每一组的频数可以估计出武汉园博会（会期247天）的参观总人数．
解：（1）频数分布表补充如表所示．
武汉园博会前20天日参观人数的频数分布表
频数分布直方图补充如图所示：
（2）依题意，得日参观人数不低于21.5万有6＋3=9（天），所占百分比为9÷20×100%=45%．
（3）∵园博会前20天的平均每天参观人数约为11×5＋18×6＋25×6＋32×320=40920=20.45（万人），∴估计武汉园博会（会期247天）的参观总人数约为20.45×247=5051.15（万人）．
方法总结：本题考查运用样本估计总体的思想，解决问题的关键是读懂频数分布直方图和从统计图中获取有用信息．
探究点二：用样本方差估计总体方差
为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天采取自愿报名的方式组织了环保知识竞赛．竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分100分）中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求七年级学生成绩的平均数和方差的估计值；
（2）求八年级学生成绩的平均数和方差的估计值；
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生环保知识掌握较好？请说明理由．
解析：求这10名学生成绩的平均数和方差，用样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差．
解：（1）七年级10名学生成绩的平均数为110（95＋96＋98＋88＋95＋87＋90＋95＋90＋98）=93.2，
七年级10名学生成绩的方差为110［3×（95－93.2）2＋（96－93.2）2＋2×（98－93.2）2＋（88－93.2）2＋（87－93.2）2＋2×（90－93.2）2］=14.96.
∴七年级学生成绩的平均数的估计值为93.2，七年级学生成绩的方差的估计值为14.96.
（2） 八年级10名学生成绩的平均数为110（96＋89＋97＋82＋98＋100＋84＋97＋83＋99）=92.5，
八年级10名学生成绩的方差为110［（96－92.5）2＋（89－92.5）2＋2×（97－92.5）2＋（82－92.5）2＋（98－92.5）2＋（100－92.5）2＋（84－92.5）2＋（83－92.5）2＋（99－92.5）2］=46.65，
∴八年级学生成绩的平均数的估计值为92.5，八年级学生成绩的方差的估计值为46.65.
（3）我认为该校七年级学生环保知识掌握较好，因为七年级这10名学生成绩的平均数较高，且方差较小．
方法总结：在实际问题中，总体的数据个数往往非常多或者不能全部得到，可以用简单随机样本的平均数作为总体的平均数的一个估计值，用简单随机样本的方差作为总体的方差的一个估计值．
三、板书设计
1.简单随机样本的平均数估计总体的平均数
2.简单随机样本的方差估计总体的方差
本节课是统计学思想的播种课．教学的重中之重，不在于学生计算得有多快、多准，而在于他们是否开始接受并理解 “用具有随机性的数据去推断确定的总体” 这一思想．在今后的教学中，将要更加注重统计思想的渗透，弱化纯计算，强化概念理解、实际应用和知识体系的构建，并利用更多样化的教学手段化解抽象概念带来的难点，真正培养学生“用数据说话”的统计素养．
成绩（米）
…
1.80~
1.86
1.86~
1.94
1.94~
2.02
2.02~
2.18
2.18~
2.34
2.34及
以上
得分（分）
…
5
6
7
8
9
10
组别（万人）
组中值（万人）
频数
频率
7.5~14.5
11
5
0.25
14.5~21.5
6
0.3
21.5~28.5
25
0.3
28.5~35.5
32
3
组别（万人）
组中值（万人）
频数
频率
7.5~14.5
11
5
0.25
14.5~21.5
18
6
0.3
21.5~28.5
25
6
0.3
28.5~35.5
32
3
0.15