数学湘教版（2024）4.6 总体的平均数与方差的估计获奖ppt课件

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总体平均数与方差的估计
我们知道，当研究某个对象时，如果能得到它的全部数据（可以看作是总体)，就可以直接利用平均数刻画总体的平均水平，利用方差刻画它的离散程度，此时得到的平均数、方差分别称为总体平均数、总体方差，在实际问题中，总体的数据个数往往非常多或者不能全部得到，于是，我们把根据样本数据计算得到的平均数（或方差），叫作样本平均数（或样本方差），
有人提出：用简单随机抽样方法抽取一个样本，计算样本的平均数和方差，然后分别用样本的平均数、方差估计总体的平均数、方差，这种做法合理吗?
简单随机抽样方法能使得每次抽取时，总体中每个个体都有同等的机会被取到，并且在整个抽样过程中，前面取到的个体不影响后面的个体被取到的机会，于是上述做法合理，数学上已经证明： 当样本的容量足够大时，可以用简单随机样本的平均数作为总体平均数的一个估计值，用简单随机样本的方差作为总体方差的一个估计值.
例1 某工厂有甲、乙两个车间，准备生产一批某种型号的机械零件，为确保质量，先进行试生产，于是需要了解甲车间试生产的这批零件的质量的平均数和离散程度，把这批零件的质量作为总体，用简单随机抽样方法从总体中抽取 100 个零件，测量它们的质量，整理后得到下表：
(1)求甲车间试生产的这批零件的质量的平均数的一个估计值；
解：用简单随机抽样方法从总体中抽取的 100 个零件的质量是一个样本，
于是甲车间试生产的这批零件的质量的平均数的一个估计值是 250.6 g.
(2) 求甲车间试生产的这批零件的质量的方差的一个估计值.
于是甲车间试生产的这批零件的质量的方差的一个估计值是 26.82.
思考：在上例中，如果从该工厂乙车间试生产的零件中用简单随机抽样方法抽取 100 个零件，测量它们的质量，整理后得到下表：
比较甲车间与乙车间试生产的零件质量，哪个车间生产的零件质量更稳定?
分析：把甲车间试生产的零件质量作为第一个总体，用简单随机抽样方法从这个总体中抽取的 100 个零件的质量是这个总体的一个样本. 由上例可知，甲车间试生产的零件质量的平均数的一个估计值是 250.6 g，方差的一个估计值是 26.82.
于是第二个总体的样本的平均数为
把乙车间试生产的零件质量作为第二个总体，用简单随机抽样方法从这个总体中抽取的 100 个零件的质量是这个总体的一个样本.
于是乙车间试生产的零件质量的平均数的一个估计值是 249.38 g，方差的一个估计值是 31.1756. 由于26.82