初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）16.3.2 完全平方公式课文ppt课件

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）16.3.2 完全平方公式课文ppt课件，共39页。PPT课件主要包含了旧识回顾，a×a，你发现了什么，p2+2p+1，m2+4m+4，p2–2p+1，m2–4m+4，问题1，a2+2ab+b2，a2–2ab+b2等内容，欢迎下载使用。
16.3.2 完全平方公式 - 第 1 课时教案一、教学目标（一）知识与技能目标学生能够准确推导并理解完全平方公式，即\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)和\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)，清晰掌握公式的结构特征。熟练运用完全平方公式进行简单的整式乘法运算，包括底数为数字、字母、单项式等不同形式的运算。能利用完全平方公式解决与整式乘法相关的简单实际问题，如在代数式化简、求值等场景中的应用。（二）过程与方法目标通过创设实际问题情境和数学问题，引导学生经历探索完全平方公式的过程，培养学生从特殊到一般的归纳推理能力以及符号感。组织学生开展小组合作学习，共同探讨完全平方公式的推导方法和应用技巧，提高学生的合作交流能力和解决问题的能力。在公式推导和应用过程中，让学生体会数形结合、类比、转化等数学思想方法，提升学生的数学思维能力。（三）情感态度与价值观目标激发学生对完全平方公式学习的兴趣，在自主探索和合作交流中体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。培养学生严谨认真的学习态度和一丝不苟的计算习惯，在公式应用中注重每一个步骤的准确性和逻辑性。让学生感受数学知识之间的内在联系和相互转化，体会数学的简洁美和应用价值，提高学生学习数学的积极性和主动性。二、学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的加减、单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式以及平方差公式等知识，具备了一定的整式运算基础和数学思维能力。然而，完全平方公式的推导和理解对于学生来说可能存在一定难度，尤其是公式中\(2ab\)这一项的由来以及公式结构特征的准确把握。在学习过程中，学生可能会出现以下困难：在公式推导时，对多项式乘法法则的运用不够熟练，导致推导过程出错；在公式应用时，容易混淆\((a + b)^2\)与\(a^2 + b^2\)、\((a - b)^2\)与\(a^2 - b^2\)，出现漏乘\(2\)倍项、符号处理不当等问题。此外，将实际问题转化为数学问题并运用完全平方公式解决，对学生的数学建模能力也提出了较高要求。因此，在教学过程中，要充分利用学生已有的知识经验，通过大量具体的实例，引导学生逐步理解和掌握完全平方公式，加强对易错点和难点的讲解与练习，关注学生的个体差异，及时给予指导和帮助。三、教学重难点（一）教学重点完全平方公式的推导过程，让学生理解公式的来源和本质。熟练掌握完全平方公式的结构特征，能准确运用公式进行整式乘法运算。（二）教学难点深入理解完全平方公式的结构特征，特别是\(2ab\)这一项在公式中的意义和作用，避免与其他公式混淆。在实际问题中，能够准确识别并运用完全平方公式解决问题，提高学生的数学应用能力。四、教学方法讲授法：通过清晰、准确的语言，向学生讲解完全平方公式的推导过程、结构特征和应用方法，使学生对知识有系统的认识。重点讲解公式推导的关键步骤和易错之处，帮助学生理解和掌握。探究法：创设问题情境，引导学生自主探究完全平方公式，让学生在探究过程中发现问题、提出问题并解决问题，培养学生的探究能力和创新思维。讨论法：组织学生进行小组讨论，共同探讨完全平方公式的推导思路和应用技巧，促进学生之间的思想交流与合作，让学生在讨论中相互学习、共同进步。练习法：设计有针对性的练习题，让学生在练习中巩固所学的完全平方公式知识，提高学生的运算能力和解题技巧。通过练习，及时发现学生存在的问题，进行有针对性的辅导和纠正。五、教学过程（一）复习导入（5 分钟）回顾多项式与多项式相乘的法则：提问学生多项式与多项式相乘的运算法则，让学生回答并举例说明。如\((x + 2)(x + 3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6\) 。复习平方差公式：请学生说出平方差公式的内容和符号表示。平方差公式：\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\) 。进行简单的多项式乘法计算练习：在黑板上写出题目，如\((x + 1)(x + 4)\)、\((2x - 3)(3x + 1)\)，请几位学生到黑板上板演，其他学生在练习本上完成，然后集体订正答案，复习巩固多项式乘法知识，为学习完全平方公式做好铺垫。（二）探索新知（15 分钟）两数和的完全平方公式推导情境引入：提出问题 “若一个正方形的边长为\(a + b\)，那么它的面积是多少？” 引导学生根据正方形面积公式列出式子\((a + b)^2\)，从而引出对\((a + b)^2\)展开形式的探究。推导过程：利用多项式与多项式相乘的法则，将\((a + b)^2\)展开，即\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2\) 。归纳法则：总结两数和的完全平方公式为\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)，用文字叙述为：两个数的和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的\(2\)倍。强调公式中\(a\)、\(b\)可以表示任意数、单项式或多项式。几何解释：展示一个边长为\(a + b\)的大正方形，将其分割为一个边长为\(a\)的小正方形、一个边长为\(b\)的小正方形和两个长为\(a\)宽为\(b\)的长方形。大正方形面积为\((a + b)^2\)，四个小图形面积和为\(a^2 + ab + ab + b^2\)，从图形面积角度直观验证\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) 。两数差的完全平方公式推导类比探究：引导学生思考，若把\((a + b)^2\)中的\(b\)换成\(-b\)，会得到怎样的式子。让学生自己尝试运用多项式乘法法则展开\((a - b)^2\) 。推导过程：\((a - b)^2 = [a + (-b)]^2 = a^2 + 2a(-b) + (-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) 。归纳法则：总结两数差的完全平方公式为\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)，用文字叙述为：两个数的差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的\(2\)倍。对比分析：将两数和的完全平方公式与两数差的完全平方公式进行对比，让学生观察它们的相同点和不同点，强调公式中符号的变化规律。（三）例题讲解（15 分钟）例 1：运用完全平方公式计算(1) \((x + 5)^2\)分析：这里\(a = x\)，\(b = 5\)，根据两数和的完全平方公式\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)进行计算。解：\((x + 5)^2 = x^2 + 2 \cdt x \cdt 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25\)(2) \((2m + n)^2\)分析：\(a = 2m\)，\(b = n\)，运用公式计算。解：\((2m + n)^2 = (2m)^2 + 2 \cdt (2m) \cdt n + n^2 = 4m^2 + 4mn + n^2\)例 2：运用完全平方公式计算(1) \((x - 3)^2\)分析：这里\(a = x\)，\(b = 3\)，根据两数差的完全平方公式\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)进行计算。解：\((x - 3)^2 = x^2 - 2 \cdt x \cdt 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9\)(2) \((3a - 2b)^2\)分析：\(a = 3a\)，\(b = 2b\)，运用公式计算。解：\((3a - 2b)^2 = (3a)^2 - 2 \cdt (3a) \cdt (2b) + (2b)^2 = 9a^2 - 12ab + 4b^2\)例 3：运用完全平方公式进行简便计算(1) \(101^2\)分析：把\(101\)写成\(100 + 1\)，然后利用两数和的完全平方公式计算。解：\(101^2 = (100 + 1)^2 = 100^2 + 2 \times 100 \times 1 + 1^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201\)(2) \(98^2\)分析：把\(98\)写成\(100 - 2\)，利用两数差的完全平方公式计算。解：\(98^2 = (100 - 2)^2 = 100^2 - 2 \times 100 \times 2 + 2^2 = 10000 - 400 + 4 = 9604\)（四）课堂练习（10 分钟）运用完全平方公式计算：(1) \((y + 7)^2\)(2) \((3x + 2y)^2\)(3) \((a - 10)^2\)(4) \((4m - 3n)^2\)下面的计算是否正确？如果错误，请改正。(1) \((x + 2)^2 = x^2 + 4\) （ ）(2) \((2a - 1)^2 = 4a^2 - 2a + 1\) （ ）(3) \((-x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\) （ ）教师巡视学生的练习情况，及时发现问题并给予指导，选取部分学生的答案进行展示和点评，纠正学生出现的错误。（五）课堂小结（3 分钟）与学生一起回顾完全平方公式，包括两数和的完全平方公式\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)和两数差的完全平方公式\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)，强调公式的结构特征和符号规律。总结运用完全平方公式进行计算的关键步骤和注意事项，如准确确定\(a\)、\(b\)的值，注意\(2ab\)项的系数和符号等。引导学生回顾完全平方公式的推导过程，体会从特殊到一般的数学思想方法以及数形结合的思想。（六）作业布置（2 分钟）基础作业：教材课后练习题中关于完全平方公式的相关题目，巩固本节课所学的基础知识和运算技能。拓展作业：已知\(x + y = 5\)，\(xy = 3\)，求\(x^2 + y^2\)的值。利用完全平方公式计算\((2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1) + 1\) 。六、教学反思在教学过程中，关注学生对完全平方公式的推导和应用的掌握情况。通过学生在课堂练习和回答问题中出现的错误，分析学生在学习过程中存在的困难和问题，如对公式结构理解不清晰、计算粗心等。针对这些问题，在后续教学中加强对公式结构的讲解和练习，增加一些易错点的专项训练，同时注重培养学生良好的学习习惯和计算习惯。此外，还要关注不同层次学生的学习情况，对学习困难的学生进行个别辅导，确保每个学生都能在本节课中有所收获和提高。同时，在教学方法上，思考是否可以进一步优化，让学生更加主动地参与到公式的探索和应用中，提高课堂教学的效率和质量。
1. 通过学生自主探究理解完全平方公式，掌握公式的结构特征，了解公式的几何意义，并能熟练运用公式进行简单计算，提高学生解决问题的能力．2．利用去括号法则得到添括号法则，培养学生的逆向思维能力．3．让学生经历探索完全平方公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力．4．通过探究过程，使学生了解“特殊—一般”的认识规律，体会数形结合、类比、转化的数学思想．
1．a2可以表示成什么？2．多项式与多项式相乘的法则是什么？
一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
一块边长为a米的正方形实验田，因实际需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种.(如图)用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较.你有什么发现呢？
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图). 用不同的形式表示实验田的总面积， 并进行比较.
直接求：总面积=(a+b)(a+b)
间接求：总面积=a2+ab+ab+b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1) (p+1)2=(p+1)(p+1)= .
(2) (m+2)2=(m+2)(m+2)= .
(3) (p–1)2=(p–1)(p–1)= .
(4) (m–2)2=(m–2)(m–2)= .
根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？
(a+b)2= .
(a–b)2= .
也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.
简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中央”
你能根据下面图形的面积说明完全平方公式吗?
设大正方形ABCD的面积为S.
S= =S1+S2+S3+S4= .
a2−2ab+b2 .
(a+b)2= a2+2ab+b2.
(a–b)2= a2–2ab+b2.
观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：
(1) 说一说积的次数和项数.
(2) 两个完全平方式的积有相同的项吗？与a，b有什么关系？
(3) 两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与a， b有什么关系？它的符号与什么有关？
公式中的字母a，b可以表示数、单项式和多项式.
积中两项为两数的平方和；
另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同.
例1 运用完全平方公式计算：
解: (4m+n)2=
(1)(4m+n)2；
(a + b)2= a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2– 2ab + b2
解： =
= (100 –1)2
=10000 –200+1
=10000+400+4
例2 运用完全平方公式计算：
利用乘法公式计算：(1)982–101×99； (2)20162–2016×4030＋20152.
＝(2016–2015)2＝1.
解：(1)原式＝(100–2)2–(100＋1)(100–1)
＝1002–400＋4–1002＋1＝–395；
(2)原式＝20162–2×2016×2015＋20152
例3 已知x–y＝6，xy＝–8.求:(1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值.
＝36 –16＝20；
解：(1)∵x–y＝6，xy＝–8，
(x–y)2＝x2＋y2–2xy，
∴x2＋y2＝(x–y)2＋2xy
(2)∵x2＋y2＝20，xy＝–8，
∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的变式：x2＋y2＝(x–y)2＋2xy＝(x+y)2–2xy，(x–y)2＝(x+y)2–4xy.
a+(b+c) = a+b+c; a– (b+c) = a – b – c.
a + b + c = a + ( b + c) ; a – b – c = a – ( b + c ) .
把上面两个等式的左右两边反过来，也就是添括号：
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号;如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号(简记为“负变正不变”).
例 运用乘法公式计算:(1) (x+2y–3)(x–2y+3) ; (2) (a+b+c)2.
(2)原式= [(a+b)+c]2
= x2–(2y–3)2
= x2–(4y2–12y+9)
= x2–4y2+12y–9.
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.
计算：(1)(a–b＋c)2； (2)(1–2x＋y)(1＋2x–y)．
＝1–4x2＋4xy–y2.
解：(1)原式＝[(a–b)＋c]2
＝(a–b)2＋c2＋2(a–b)c
＝a2–2ab＋b2＋c2＋2ac–2bc；
(2)原式＝[1– (2x–y)][1＋(2x–y)]
＝12–(2x–y)2
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
3. 如图，可验证的乘法公式是( )
7.母题教材P115例4 利用完全平方公式计算：
利用完全平方公式进行数值运算时，可以将底数拆成两个数的和或差，拆分时主要有两种形式：
一是将与整十、整百或整千接近的数拆分成整十、整百或整千的数与相差的数的和或差；二是将带分数拆分成整数与真分数的和或差.
. .
. .
A. 52B. 50C. 45D. 60
(a±b)2= a2±2ab+b2
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行
3.弄清完全平方公式和平方差公式不同(从公式结构特点及结果两方面)
a2+b2=(a+b)2–2ab=(a–b)2+2ab; 4ab=(a+b)2–(a–b)2.