湘教版（2024）八年级下册（2024）3.1 函数的概念和表示法第一课时教案设计

这是一份湘教版（2024）八年级下册（2024）3.1 函数的概念和表示法第一课时教案设计，共24页。

课题
变量与函数
单元
第3单元
学科
数学
年级
八下
教材分析
本节课内容选自湘教版数学八下第3章第1节第一课时，是函数知识的起始章节.教材首先通过实例引入了变量和函数的概念，然后详细讲解并认识了自变量、函数、函数值，并通过具体例子让学生理解函数自变量的取值范围.本节课的重点了解常量、变量的意义、了解函数的概念，难点是用函数的观点分析简单实际问题中的数量关系和变化规律.
核心素养
能力培养
1.探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义；了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例，培养学生的抽象能力；
2.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析，提高学生的分析问题和用数学语言解决生活问题的能力，体会数学的应用价值，培养类比的数学思维；
3.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，提高学生的运算能力。
教学目标
1．通过实例了解常量、变量的意义、了解函数的概念.
2．能用函数的观点分析简单实际问题中的数量关系和变化规律，能用适当的刻画变量之间的关系.
3．能根据实际情境，确定简单实际问题中函数自变量的取值范围
4．在具体函数关系的讨论中，体会变化与对应思想.
教学重点
了解常量、变量的意义、了解函数的概念
教学难点
用函数的观点分析简单实际问题中的数量关系和变化规律
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
新知导入
在自然现象和日常生活中，你经常会遇到一个量随另一个量的变化而变化的现象. 例如，某地一天的气温随时间的变化而变化；匀速运转的摩天轮，其座舱与地面的距离随运行时间的变化 而变化. 为刻画变量之间的数量关系及变化规律，你将学习一种新的数学模型----函数. 如何定义并表示函数？
板书课题
学生自主发言，教师提示总结.
生活中这种变化的现象非常多，激发学生的兴趣，从而引入今天的新课。
新知探究
思考：
（1）图3.1-1是某气象站用自动温度记录仪描出的某一天的气温曲线，当天的气温T随时间t的变化而变化吗？
由图3. 1-1可知，当天的气温T随着时间t的变化而变化.
（2）研究者研究声音在空气中传播的速度（简称声速）与气温之间的关系时，通过实验得到了一组气温x与声速y对应的数值：
由上表可以发现，声速随气温的变化而变化吗？
由上表可知，声速y随气温x的变化而变化.
（3）某型无人机以 120 km/h 的速度做匀速飞行，则其飞行的路程y（km）与飞行时间x（h）之间的关系式为y = 120x. 该型无人机飞行的路程随飞行时间的变化而变化吗？
由y = 120x可知，飞行的路程y随飞行时间x的变化而变化.
（4）上述三个问题中，哪些量是变化的？哪些量是不变的？
问题（1）中时间t、气温T，问题（2）中气温x、声速y，问题（3）中飞行时间x、飞行的路程y等都是会发生变化的量. 问题（3）中无人机匀速飞行的速度是固定不变的量.
归纳：在讨论的问题中，取值会发生变化的量称为变量，取值固定不变的量称为常量（或常数）.
由上可知，可用图象、列表、关系式来表示变量之间的关系.
议一议：
如图3. 1-2，△ABC底边BC上的高是a cm（a是常数）. 当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动时，三角形的面积S会发生变化吗？若发生变化，则在变化过程中，哪个是常量？哪个是变量？
在上述变化过程中，高是常量，底边长和面积都是变量，并且面积随底边长的变化而变化.
做一做：
请举出含有相关变量的两个实例，并指出其中的常量与变量.
如：(1) 某人持续以a米／分的速度用t分钟时间跑了s米，其中常量是___________，变量是___________ .答案：a, t、s
如：(2) s 米的路程不同的人以不同的速度 a 米／分各需跑的时间为 t 分，其中常量是___________，变量是________.答案：s, a、t
观察本节开篇“思考”中问题（1）（2）的图和表格 . 由图 3. 1-1 可知，对于时间 t的每一个取值，气温 T都有唯一的一个值与它对应 . 类似地，由问题（2）中的表格可知，对于气温 x 的每一个取值，声速y都有唯一的一个值与它对应.
归纳：一般地，如果变量y随变量x而变化，并且对于x的每一个取值，y都有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数，记作y = f(x). 其中，x叫作自变量，y 叫作因变量.
提示：最早提出“函数”一词的是德国数学家莱布尼茨 .瑞士数学家翰·伯努利首次使用“变量”一词.
对于自变量x的每一个取值a，因变量y的对应值称为函数值，记作f(a).
“思考”问题（1）中，气温T是时间t的函数，其中t是自变量，T是因变量；
“思考”问题（2）中，声速y是气温x的函数，其中x是自变量，y是因变量；
“思考”问题（3）中，飞行路程y是飞行时间x的函数，其中x是自变量，y是因变量.
在考虑两个变量间的函数关系时，还应注意自变量的取值范围 . 如问题（1）中的函数，自变量t的取值范围是0 ≤t≤ 24.
说一说：下列各组给出了两个变量x和y，判断y是不是x的函数.
（1） y：正方形的周长；x：这个正方形的边长.
（2） y：矩形的面积；x：这个矩形的宽.
（3） y：一个正数的平方根；x：这个正数.
（4） y：一个正数的算术平方根；x：这个正数
答案：（1）（4）中，y是x的函数；
（2）（3）中，y不是x的函数.
教师引导学生思考，找出问题中变化的量和不变的量，进而引出变量与常量的概念．
组织学生小组讨论，教师巡视并指导，再次感知三个情景中的变量与常量的关系
小组合作交流自己的想法,教师巡视并指导,交流展示学习成果.
教师引导学生归纳.
学生交流并回答，教师总结.
挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情景，让学生经历探索具体情景中两个变量关系的过程，直接获得探索变量关系的体验。
通过问题1、问题2，学生已经对变量常量的概念，有了一定的理解，并掌握了寻找某个变量随另一个变量变化的方法，在问题3计算过程中，巩固自己的理解和方法.
通过让学生计算感知实际生活中的数学问题，促进学生对变量和常量的理解，培养学生的总结归纳能力.
让学生结合实例理解体会变量与常量，再次巩固定义。
坚持以学生自主学习为主，充分让学生结合实例理解体会变量与常量，自然过渡形成定义.
让学生交流合作，培养学生的表达能力和沟通能力，发展自主学习和交流合作的精神，在合作学习中，加深判断常量和变量的方法的理解和记忆.
课堂练习
教材85页练习1
1.下列变化过程中，哪个变量随另一个变量而变化？其中哪些是变量，哪些是常量？
（1） 一辆“复兴号”列车以 350 km/h的速度匀速行驶，行驶的路程 s（km） 与行驶时间t（h）.
答案：变量：s,t 常量：350
（2） 某长为a、宽为b、深度为c的长方体蓄水池，其水位的高度h与相应的蓄水量V.
答案：变量：h,V 常量：a,b,c
教材85页练习2
2.已知圆柱的高 h = 4 cm，底面半径是 r cm，当圆柱的底面半径 r 由小变大时，圆柱的体积V = πr 2 h是r的函数. 在这个变化过程中，哪个是自变量， 哪个是因变量？r的取值范围是多少？
答案：自变量：r 因变量： V
r的取值范围: r≥0
3.下列关于变量 x ，y 的关系式：
①y= 2x + 3；②y =x2 + 3；③y = 2|x|；④±x ；⑤y2 - 3x= 10，其中表示 y 是 x的函数关系的是_______ ．
答案：①②③
强调：判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应.
4. 写出下列各问题的函数关系式，并指出其中的常量与变量，自变量与函数.
(1) 运动员在 200 米一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间 t (秒)与跑步的速度 v (米/秒) 的关系式；
(2) n(n＞3) 边形的对角线条数 s 与边数 n 之间的关系式.
解：(1) t= 200v，其中 200 是常量，v、t 是变量，v 是自变量，t 是 v 的函数.
(2)s=n（n−3）2 ，其中12，-3 是常量，s、n 是变量，n 是自变量，s 是 n 的函数.
学生自主读题，思考，自主进行尝试作业，完成后同桌之间交流，教师巡视指导，学生汇总订正。
考查学生对常量和变量概念的掌握和确定两个变量之间的关系式的能力.
课堂小结
通过本节课的学习你收获了什么？
1.一般地，如果变量 y 随着变量 x而变化，并且对于 x 取的每一个值，y 都有唯一的一个值与它对应，那么称y 是 x的函数，记作：y = f ( x).这时把 x 叫作自变量，把y 叫作因变量.
2.对于自变量 x 取的每一个值 a，因变量y 的对应值称为函数值，记作 f (a).
学生自主思考，进行尝试总结，教师点评.
通过总结引领学生认识变量和函数的存在和意义，体会变量之间的互相依存关系和变化规律，借助生活实例，
课后练习
1.必做题：教材P89页习题——学而时习之1-2
2.选做题：教材P91页习题——温故而知新6-7
学生独立完成
考查学生对常量和变量概念的掌握.不同层次学生有不同的收获.