湘教版（2024）八年级下册（2024）3.1 函数的概念和表示法第二课时教案

这是一份湘教版（2024）八年级下册（2024）3.1 函数的概念和表示法第二课时教案，共7页。

课题
3.1.2函数的表示法
单元
第3单元
学科
数学
年级
八下
教材分析
本节内容为湘教版八下3.1.2“函数的表示法”。在前面同学们已经熟悉函数的概念、定义域之后学习函数的表示方法，这部分属于函数三要素之一，即对应关系的表达方式。函数学习要“多次接触、反复体会、螺旋上升，逐步加深对函数概念的理解。学习函数的表示法，不仅是研究函数本身和应用函数解决实际问题所必须涉及的问题，也是加深对函数概念理解所必须的。同时函数均可用几种不同的方式表示，因而学习函数的表示也是领悟数学思想方法(如数形结合、化归等)、学会根据问题需要选择表示方法的重要过程。
核心素养
能力培养
1.通过“说一说”的教学活动培养学生的概括能力，感悟数学眼光在观察生活变化中的优越性.
2.通过“思考”的教学活动学习研究函数的方法，建立独立的数学思维，发展运算能力并能够探究实际生活中蕴含的数学规律.
3.通过“议一议”的教学活动让学生学会用数学的语言表示现实世界.
4.通过例题的教学让学生有意识的用数学语言表达实际情境中的问题。
5.通过练习的教学，巩固函数的表达方法，让学生学会有意识的用数学语言表达现实生活中事物发展的性质、关系和规律，感悟数据的价值.
教学目标
1.理解并掌握函数表示法：图象法、列表法、公式法.理解并掌握这三种表示法的优缺点;
2.能结合图象对简单实际问题中函数关系进行分析；
3. 能用这三种表示函数的方法解决简单的实际问题.
教学重点
掌握函数图象的基本作图步骤，知道函数的三种表示方法，掌握它们的优缺点.
教学难点
能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
复习回顾
回顾上一节我们学习的三个问题：
（1）图3.1-1是某气象站用自动温度记录仪描出的某一天的气温曲线：
（2）研究者研究声音在空气中传播的速度（简称声速）与气温之间的关系时，通过实验得到了一组气温x与声速y对应的数值：
（3） 某型无人机以 120 km/h 的速度做匀速飞行，则其飞行的路程y(km)与飞行时间x(h)之间的关系式为y= 120x.
这三个问题是通过怎样的方式表达函数？这几种方式有什么优点？今天我们一起学习函数的表示方法.
学生积极探究、大胆发言．
以实际例子展示函数表示方法的多样性，引发学生的思考.
新知探究
说一说
问题（1）（2）（3）分别是怎样表示因变量与自变量之间的函数关系的？
问题（1）用平面直角坐标系中的一个图形来表示；问题（2）用一张表来表示.
问题（3）用一个式子y= 120x来表示.
归纳：像上一小节问题（1）那样，建立平面直角坐标系，以自变量取的每一个 值为横坐标，以相应的函数值（即因变量的对应值）为纵坐标，描出每一个 点，由这些点组成的图形称为这个函数的图象. 这种表示函数关系的方法称 为图象法 .
函数 y= f(x)的图象上任一点的坐标是(a，f(a))，其中a在自变量的取 值范围内 .
反之，坐标为（a，f(a)）的点都在函数 y= f(x)的图象上 .
像上一小节问题（2）那样，列一张表格，第一行表示自变量取的各个值， 第二行表示相应的函数值，这种表示函数关系的方法称为列表法.
像上一小节问题（3）那样，用式子表示函数关系的方法称为公式法，这样 的式子称为函数表达式（或函数解析式）.
由此可以看到，用图象法、列表法、公式法均可以表示两个变量之间的函数关系.
思考
用边长为1的等边三角形拼成如图3. 1-3所 示的图形，用y表示拼成的图形的周长，用n表示等边三角形的个数.
（1） 填写下表：
用公式法表示y与n的关系；
用图象法表示y与n的关系.
解：（1）当只有1个等边三角形时，图形的周长为3，每增加1个三角形，周长 就增加1，因此可得下表：
（2）由（1）可知，周长 y是三角形个数 n 的函数，其中n 是自变量，y是因变量，且 y与n 之间的函数表达式是 y= n + 2（n 为正 整数）.
（3）因为自变量n 为正整数，于是根据表达式y= n+ 2，可以在平面直角坐标系中描出无数个点，这些点组成了函数y= n + 2 的图象，如图
3. 1-4所示.
议一议
用图象法、列表法、公式法表示函数关系，各有什么优点？
用图象法表示函数关系，可以直观地看出因变量如何随自变量的变化而变化.
用列表法表示函数关系，可以清楚地看出自变量取的值与因变量的对应值.
用公式法表示函数关系，可以方便地计算函数值 . 例如，对于函数 y= 87n+ 2（n 为正整数），当n = 50时，把它代入函数表达式，得y= 50 + 2 = 52.
典例讲解
例1 某天7时，小楠从家骑自行车上学，途中到一家早餐店吃早餐花了一段时间，然后继续骑行，按时到达学校 . 图3. 1-反映了他骑车的整个过程. 结合图象，回答下列问题：
（1）小楠停车进早餐店是在什么时间？ 此时离家有多远？
（2）小楠吃早餐花了多长时间？吃完早餐后又花了多长时间到达学校？
（3）小楠从家到学校的平均速度是多少？
解: （1）从横坐标看出，小楠停车进早餐店的时间是7：05；从纵坐标看出，此时离家1 000 m.
（2）从横坐标看出，小楠吃早餐花了 15 min；小楠吃完早餐后又花了
10 min到达学校.
（3）从纵坐标看出，小楠家离学校2 100 m；从横坐标看出，他在路上共花30 min. 因此，他从家到学校的平均速度是：
2 100÷30=70（m/min）
例2 已知等腰三角形的周长为10，底边长为y，腰长为x.
（1）求y关于x的函数表达式，以及自变量x的取值范围；
（2）当腰长为4时，求底边长.
解: （1） 由已知得y+ 2x = 10， 则y= 10 - 2x.
由于x，y为该等腰三角形的边长，
所以x > 0，y> 0，2x > y.
于是10 - 2x > 0且2x > 10 - 2x.
解上述两个不等式组成的不等式组，可得：
2. 5 < x < 5.
（2）当腰长x = 4时， 底边长y= 10 - 2 × 4 = 2
学生积极思考大胆发言，教师引导，最后总结性的概括。
学生积极思考，带着疑问小组学习，教师巡视最后学生代表发言，教师及时点评.
学生独立思考，小组交流，发表自己的意见，其他小组成员补充发言，教师总结，点评.
学生独立思考完成，教师指导.
先提问有关函数的例子，让学生叙述这些函数是用什么方法表示的，为什么可以这样表示，这样表示的优点有哪些．教师对函数的三种表示方法进行总结.
引导学生解决思考中的问题，在解决问题的过程中将函数关系在三种表示方法之间进行转化，让学生从中领会三种表示方法的优缺点，进而能根据实际情况和具体要求选择适当的表示方法来解决相关问题.在教学中应注重学生根据表格中变量间的对应规律写出函数解析式的能力的培养，引导学生利用所学函数知识探寻事物的变化规律，推测未来事物的变化趋势.
通过(可让学生列表)展示，让学生直观地学习掌握三种表达方式的优缺点，能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系.
教师在教学中引导学生思考：例题1 的教学让学生理解并领会坐标系中点的代表的实际意义，例题2 的教学当无法直接得到某一变化过程的函数解析式时，通过哪些步骤的探究，可以得到函数解析式，发现变化规律，预测变化趋势.通过例题教学，加深学生对函数的三种表示方法的理解.
课堂练习
1.如图，将一个正方形的顶点分别标上号码 1，2，3，4，直线l经过第2，4号顶点. 作这个正方形关于直线l的对 称图形，那么正方形的各个顶点分别变成哪个顶点？填在下表中：
由表可知y是x的函数. 画出它的图象，它的图象由几个点组成？
解：填表如下：
如图所示：
它的图象由4个点组成
2.等腰三角形的底角的度数为x，顶角的度数为y. （1）写出y随x而变化的函数表达式，并指出自变量x的取值范围；
（2）当x = 30°时，y是多少？
解:（1）因为三角形内角和为180°，两底角相等，
所以可知顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式为: y= - 2x+180;
x取值范围是: 0