初中数学湘教版（2024）八年级下册（2024）3.6 一次函数的应用第二课时教学设计

这是一份初中数学湘教版（2024）八年级下册（2024）3.6 一次函数的应用第二课时教学设计
课题
一次函数的应用(2)
单元
第3章
学科
数学
年级
八下
教材分析
本节课的学习内容为分段函数的应用，是中考数学中常见的一类问题。一次函数是初中阶段学习的三种基本函数中最简单的一种函数形式.通过图表、图像等用待定系数法求解一次的数解析式这部分内容是让学生学会寻找所给问题中隐含着的变量之间的关系，掌握其基本的解决方法。从知识衔接的角度看，有着承上启下的作用，符合学生的认知规律.确定一次函数解析式，关键在于确定一次函数中的k和b的值，用待定系数法不仅要求学生能正确地确定的数解析式，还重在让学生对一次的数解析式与函数图象、解析式中的变量与函数图象上点的坐标之间关系的理解，将“数"与“形”联系起来，形成“数形结合” 的思想意识.为后面学习反比例函数、二次函数打下良好的基础。在实际问题中，也能根据实际条件，确定分段函数的解析式，通过运用图像解决实际问题，为中考的函数应用题打下良好的基础，进一步体会数学的应用价值.
核心素养
能力培养
1.通过导入和探究教学巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题.
2.通过例题、做一做、议一议活动熟练把数学模型通过函数统一起来使用，提高学生综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力，进一步感受建立数学模型的思想方法.
3.通过例题和练习教学让学生体会数学与生活的联系，了解数学的价值，增强学生对数学的理解和学好数学决心，认识到函数模型是解决实际问题的重要工具.
教学目标
1.巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题.
2.熟练把数学模型通过函数统一起来使用，提高学生综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力，进一步感受建立数学模型的思想方法.
3.体会数学与生活的联系，了解数学的价值，增强学生对数学的理解和学好数学决心，认识到函数模型是解决实际问题的重要工具.
教学重点
建立分段函数模型，灵活运用函数模型解决实际问题.
教学难点
运用一次函数知识解决实际问题.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
情景导入
接种新冠疫苗，共筑健康长城.某市对本地40万人上斤冠疫苗在前期每天可接种0.5万人，a天后接种人数达到20万人。由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务。在某段时间内，表示接种人数y (万人)与接种时间x (天)之间关系的图象是哪一个?
是的，符合条件的图形是第2个图，这就是我们今天要学习的分段函数，那么分段函数的函数解析式该怎么确定，它的图像又是怎么画出来的，学完这个课时就能解答你的疑惑.----板书课题
学生独立思考、根据图像回答问题
通过情景的设置，激发学生学习的求知欲，同时增加新旧知识的联系，让学生理解函数图像，能从图像识别有用信息，帮助解题，从而为本节课学习分段函数的应用做好铺垫.
新知探究
做一做：
在第二、三、四届奥运会比赛中，男子撑竿跳高的纪录如下表所示：
观察表中的数据，为上述三届奥运会比赛男子撑竿跳高纪录与所在年份的关系建立一个函数模型.
上表中每一届的纪录比上一届都大约提高了 0. 2 m，于是可以尝试建立一次函数模型来刻画.
用 t 表示从 1900 年起增加的年份，那么可以设奥运会男子撑竿跳高的纪录 y(m)与t之间的一次函数表达式为y = kt+ b（k，b为常数，k ≠ 0）.
由于 t= 0(即1900年)时，男子撑竿跳高的纪录为 3. 3 m，t= 4(即1904年)时，纪录为3. 5 m，因此b=3.34k+b=3.5
解得b = 3. 3，k = 0. 05. 于是y = 0. 05t+ 3. 3. ①
当t=8时，y=3. 7，这说明 1908年奥运会的男子撑竿跳高纪录基本符合①式.
当t=12时，y=3. 9. 经查询可知，1912年奥运会的男子撑竿跳高纪录为3. 95 m，这一纪录也接近符合①式.
于是，①式可以大致反映上述三届奥运会男子撑竿跳高纪录与所在年份之间的函数关系.
议一议：
（1） 利用①式估计1988年奥运会的男子撑竿跳高纪录.
（2） 查阅相关纪录，与（1）中结果比较，你能发现什么？
解：（1） 由于t= 88，由①式可得y = 0. 05 × 88 + 3. 3 = 7. 7.
（2） 经查询可知，1988 年奥运会的男子撑竿跳高纪录是 5. 90 m，远低于7. 7 m. 这表明：用所建立的函数模型远离已知数据作预测是不可靠的.
例2某地为保护环境，鼓励节约用电，实行阶梯电价制度，规定：每户居民每月用电量不超过 200 kW·h 时，按 0. 6 元/（kW·h ）收费；若超过200 kW·h ，则超出部分每1 kW·h 加收0. 3元.
（1）写出某户居民某月应缴纳的电费 y(元)与用电量 x(kW·h )之间的函数表达式；
（2）画出这个函数的图象；
（3）小玲家3月份、4月份分别用电150 kW·h 和220 kW·h ，各应缴纳电费多少元？
解：（1） 由生活常识可知，电费与用电量相关.
当0≤x≤200时，y=0. 6x；
当x > 200时，y = 200 × 0. 6 +(x - 200)×(0. 6 + 0. 3)= 0. 9x - 60.
y与x之间的函数表达式也可以合起来表示为：
y=0.6x(0≤x≤200)0.9x−60(x>200)
（2） 该函数的图象如图3. 6-2所示.
注意：该函数图象由两个一次，函数的图象拼接在一起.
（3） 当x = 150时，y = 0. 6 × 150 = 90，
故小玲家3月份应缴纳电费90元.
当x = 220时，y = 0. 9 × 220 - 60 = 138，
故小玲家4月份应缴纳电费138元
强调：1.在自变量的不同取值范围内，函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数，分段函数在生活中也有很多应用.
2.在分段函数中注意函数表达式对应的自变量的取值范围以及分段考虑的问题，如哪一段是线段，哪一段是射线，起点在哪里，有什么意义等.
教师提出问题，学生观察、思考。再逐步引导学生分析、思考，学生讨论、交流，最后结果.
同学们展开激烈讨论，畅所欲言，此乃开放性问题，教师应作出鼓励性评价。
师生合作探究，建立函数模型，利用函数知识共同解决实际问题。
让学生学会根据表格的分析函数是随着自变量均匀变化的，从而可知这个函数应是一次函数，利用待定系数法求解即可．在进行预测时要注意如果自变量的取值远离当前值，就不能将自变量代入求值，因为这个一次函数只能预测邻近的数据．通过这个活动培养学生图表分析能力，一次函数建模能力，分析问题能力.
利用一次函通过议一议活动让学生进一步理解一次函数等知识，从而进行合理预测，预测时注意自变量取值要在已知数据邻近，这样预测结果才与事实更好地吻合．
梯度收电费是生活中常见的问题.问题中所列两种不同的收费方式，它们都与用电度数有关，比较这两个函数，又可以发现对于电量有不同可以从中选择不同的收费方式，以达到省钱的目的.通过分析变量间的关系，列出函数解析式，然后比较这两个函数解析式或相应的图象，找出不同的范围费用最低的方案.这是利用一次函数模型分析和解决实际问题的过程.这样设计既有引导，又留有自主发挥的余地.
课堂练习
为全面推进乡村振兴，拓宽农民增收致富渠道， 某村通过种植优质荔枝新品种，实现荔枝品牌化发展，助推村民增收致富 . 该村张师傅驾车运送荔枝到某地出售，汽车出发前油箱里有油50 L，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中剩余油量y（L）与行驶时间t（h）之间的关系如图所示.
（1） 汽车行驶h后加油__________，中途加油_________L.
（2） 求加油前油箱中剩余油量y与行驶时间t的函数解析式.
（3） 已知加油前、后汽车都以 70 km/h 匀速行驶，如果加油站距目的地210 km，要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由.
解：（1）3 31
（2）当0≤t≤3时，设加油前油箱剩余油量y与行驶时间t的丽数关系式为y= kt+b.
把(0，50)，(3，14)分别代入y= kt+b中，得：
b=503k+b=14解得k=−12b=50
所以y= -12t+50(0≤t≤3).
所以加油前油箱剩余油量y与行驶时间t的函数关系式为y= -12t+50(0≤t≤3).
油箱中的油够用.
理由:每小时耗油量为(50-14)÷3=12(L)，
加油后，从加油站到目的地需耗油210÷70×12=36(L).
因为36 L