宁夏回族自治区银川市第九中学2025-2026学年第二学期高一期末数学试卷含答案

这是一份宁夏回族自治区银川市第九中学2025-2026学年第二学期高一期末数学试卷含答案，共51页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．复数21−i的共轭复数是（ ）
A．1−iB．1+iC．−1−iD．−1+i
2．已知向量a=1,1，b=2,x，若a⊥b−4a，则x的值为（ ）
A．6B．2C．−2D．−6
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c=1，b=2，A=2π3，则a=（ ）
A．1B．3C．6D．7
4．底面圆半径为1，高为3的圆锥的表面积为（ ）
A．2πB．3πC．4πD．5π
5．若A1,0,1、B0,3,0、C1,1,2，则点A到直线BC的距离为（ ）
A．12B．22C．2D．2
6．如图，在四面体A−BCD中，点E为△ACD的重心，设AB=a，AC=b，AD=c，则BE=（ ）

A．−a+13b+13cB．a+13b−13c
C．−a−13b+13cD．a+13b+13c
7．在△ABC中，a，b分别为内角A，B的对边，若atanB+btanAa+b=tanAtanB，则△ABC的形状一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
8．正三棱锥P−ABC侧棱长为7，底面棱长为23，该三棱锥内切球体积是（ ）
A．π3B．4π3C．43π27D．3π27
二、多选题
9．设复数z=1+3ii，则（ ）
A．z+5−3i=22B．z的虚部是−3
C．3+z为纯虚数D．z在复平面内对应的点位于第一象限
10．已知直线m，l，平面α,β,γ，则下列结论正确的有（ ）
A．若α//β,β//γ，则α//γ
B．若m//α,l//α，则m//l
C．若α//β,l⊂β，则l//α
D．若m//α,m//β,α∩β=l，则m//l
11．《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦.如图所示是八卦模型图以及根据该图抽象得到的正八边形ABCDEFGH，其中AB=1,O为正八边形的中心，则（ ）
A．AB=EFB．OB+OE=AB
C．HD=2ACD．AB⋅AE=1
三、填空题
12．已知点P−2,3,1关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于z轴的对称点为P2，则PP2= ______．
13．如图，三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，PC与平面ABC所成角为π4，∠BAC=π3，AB=AC=2，E是PC的中点，则异面直线AE和PB所成角的余弦值是__________．
14．《中国建筑史》（梁思成著）载：“大雄殿之左侧白塔凌空，高十三级，甚峻拔”.该塔位于莲溪县赤城镇白塔街，坐西向东，为四方形楼格式砖石塔，塔身白色，共十三层，自宋代始建以来至今已800余年，充分体现了中国传统建筑技术水平.某数学兴趣小组为了测得塔高，如下图，在A点测得塔底位于北偏东60°方向上的点D处，塔顶C的仰角为30°，在A的正东方向且距D点44m的B点测得塔底位于北偏西45°方向上（A，B，D在同一水平面），则塔的高度CD约为____________m（结果精确到整数，参考数据：6≈2.45）
四、解答题
15．已知向量a与b的夹角为30°，a=3，b=1．
(1)求a+b的值；
(2)设向量2a−b与a+b的夹角为θ，求csθ的值．
16．若△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，设m=b,c，n=−sinB,csC，且m//n.
(1)求角C的值；
(2)若c=4 ，2a=3+1b ，求a.
17．如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=3,AB=2,D为BC的中点，点E在棱BB1上，BE=2EB1.
(1)证明：C1E⊥平面ADE；
(2)求平面AEC1与平面ABC夹角的余弦值.
18．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知3asinB=b2−csA,a=1.
(1)求△ABC外接圆半径.
(2)求△ABC面积S的最大值.
19．如图，ABCD是边长为4的正方形，DE⊥平面ABCD，AF//DE，且DE=3AF=3.
(1)证明：BF//平面DEC；
(2)求直线BC与平面BEF所成角的正弦值.
(3)线段AC上是否存在一点P，使得点P到平面BEF的距离为52121？若存在，求线段AP的长；若不存在，请说明理由.
《宁夏回族自治区银川市第九中学2025-2026学年第二学期高一期末数学试卷》参考答案
1．A
2．A
3．D
4．B
5．C
6．A
7．B
8．C
9．AC
10．ACD
11．BCD
12．214
13．14/0.25
14．36
15．(1)7
(2)1314
16．(1)C=3π4
(2)a=22
17．(1)证明：方法一：在直三棱柱ABC−A1B1C1中，BE=2,B1E=1,BD=1，
所以AC12=AC2+CC12=13,AE2=AB2+BE2=8,C1E2=B1E2+B1C12=5，
所以AC12=AE2+EC12，所以AE⊥C1E，
又BE=2EB1，所以BE=2=B1C1，BD=B1E=1，∠DBE=∠EB1C1=90°，
则Rt△BDE≌Rt△B1EC1，所以∠EDB=∠C1EB，
所以∠C1EB+∠DEB=∠EDB+∠DEB=90∘，
即C1E⊥ED，又AE∩DE=E,AE,DE⊂平面ADE，
所以C1E⊥平面ADE．
方法二：如图，以为D原点，以DA,DB所在的直线为x,y轴建立空间直角坐标系，
则D0,0,0,A3,0,0,E0,1,2,C10,−1,3，
所以AE=−3,1,2,EC1=0,−2,1,DA=3,0,0，
所以EC1⋅AE=−3×0+1×−2+2×1=0,EC1⋅DA=0×3+−2×0+1×0=0
所以EC1⊥AE,EC1⊥DA，即EC1⊥AE,EC1⊥DA
又AE∩AD=A,AE,AD⊂平面ADE，所以C1E⊥平面ADE．
(2)3010
18．(1)33
(2)34
19．(1)在DE上取点P，使DP=AF=1，连接FP，PC，如下图：
因为AF//DE，即AF//DP，且AF=DP，故四边形AFPD是平行四边形，
则有FP//AD且FP=AD，因为ABCD是正方形，则有BC//AD且BC=AD，
故FP//BC且FP=BC，即四边形FPCB是平行四边形，则有BF//PC，
因为BF⊄平面DEC，PC⊂ 平面DEC，故BF// 平面DEC.
(2)22121
(3)存在P(3,1,0)；|AP|=2
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
D
B
C
A
B
C
AC
ACD
题号
11









答案
BCD