2025-2026学年宁夏银川市第九中学高一（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年宁夏银川市第九中学高一（下）期中数学试卷试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z满足z（2-i）-i=2（i为虚数单位），则z的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2.若向量，，，则x=（ ）
A. B. C. D.
3.在△ABC中，，则c=（ ）
A. 2B. 3C. 4D.
4.如图，设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为m,∠BAC=α，∠ACB=β，则A，B两点间的距离为（ ）
A. B. C. D.
5.三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年.2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮.玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2cm，外径长3cm，筒高4cm，中部为棱长是3cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为（ ）
A. B. C. D.
6.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′=6，O′C′=2，则原图形OABC的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
7.设m,n是两条直线，α、β是两个平面，下列说法错误的是（ ）
A. 如果α∥β，m⊂α，那么m∥βB. 若m⊥α，α⊥β，则m∥β
C. 若α∩β=m,n∥α，n∥β，则m∥nD. 若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
8.任意一个复数z=a+bi（a,b∈R）都可以表示成三角形式，即a+bi=r（csθ+isinθ）（a,b∈R，r≥0）.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数z1=r1（csθ1+isinθ1），z2=r2（csθ2+isinθ2），则z1z2=r1r2[cs（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]，已知复数z=i,则z2025+=（ ）
A. B. C. D. -1
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,以下说法中正确的是（ ）
A. 若a＞b,则csA＞csB
B. 若△ABC是锐角三角形，则sinA＞csB．
C. 若a2+b2＜c2，则∠C为钝角
D. 若bcsC+ccsB=asinA，则△ABC为直角三角形
10.美术课对于陶冶人的情操、发展学生的艺术兴趣和爱好、培养学生的艺术特长、提高学生的审美素养具有积极作用.如图，这是某学生关于“杯子”的联想创意图，它是由一个正方形和三个半圆组成的，其中A，B是正方形的两个顶点，P是三段圆弧上的动点，若AB=4，则的可能取值有（ ）
A. -10B. -8C. 10D. 24
11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论正确的是（ ）
A. AD1与BD所成的角为90°
B. AD1与B1C所成的角为90°
C. AD1与平面ABCD所成的角为45°
D. AD1与平面BDD1B1所成的角为30°
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，且，则= .
13.△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且a2=b2+c2-bc,，，则其外接圆的半径为 .
14.如图，正四棱锥P-ABCD中，点E和F分别为棱BC和PD的中点.若过A，E，F三点的平面与侧面PCD的交线线段长为，则该四棱锥的外接球的体积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，求：
（1）A1C1与B1C所成的角；
（2）若E，F分别为AB，AD的中点，求证：A1C1⊥EF.
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，，且PD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明：BC⊥平面PBD；
（Ⅱ）求A到平面PBC的距离．
17.(本小题15分)
如图所示，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，，AC与MN相交于点E．
（1）若，求λ和μ的值；
（2）用向量表示．
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A和B的大小；
（2）若M，N是边AB上的点，，求△CMN的面积的最小值．
19.(本小题17分)
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点G，E，F，P分别为棱AB，D1C1，B1C1，AA1的中点，点M是棱A1D1上的一点，且.
（1）求证：D1G∥平面DBFE；
（2）棱A1B1上是否存在一点N使平面PMN∥平面DBFE？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】BCD
10.【答案】BCD
11.【答案】BCD
12.【答案】
13.【答案】1．
14.【答案】
15.【答案】60° 证明过程见详解
16.【答案】（Ⅰ）证明：∵AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD，
∵AD∥BC，∴BC⊥BD．
又∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC．
∵PD∩BD=D，
∴BC⊥平面PBD．
（Ⅱ）解：∵PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PD⊥BD．
∴．
由（1）BC⊥平面PBD，
又PB⊂平面PBD，∴BC⊥PB．
∴．
又，
设A到平面PBC距离为d，
由VP-ABC=VA-PBC可得，
∴．
即A到平面PBC的距离为．
17.【答案】解：以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则A（0，0），，C（2，1）
（1），解得：：
（2）设=t，=m+n，
所以．解得，
即，所以，
又因为M，E，N三点共线，所以，
所以﹒
18.【答案】解：（1）∵asinC=ccsA，
∴由正弦定理得：sinAsinC=sinCcsA，
∵0＜C＜π，sinC≠0，
∴可得sinA=csA，即tanA=；
∵0＜A＜π，
∴A=，
∵由a2+c2=b2+ac．
∴由余弦定理可得：csB==，
∵0＜B＜π，
∴B=．
（2）设∠MCA=α，（0≤α≤），
在△MCA中由正弦定理，得，
由（1）可知A=，a=b=4，
所以：CM=，
同理CN=，
由于，
故S△CMN=CM•CN•sin∠MCN==≥=，此时α=．
故△CMN的面积的最小值为．
19.【答案】证明：连接BE，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，G分别是D1C1，AB中点，

∴D1E∥GB且D1E=GB，
则四边形D1GBE是平行四边形，
∴D1G∥EB，EB⊂平面DBFE，D1G⊄平面DBFE，
∴D1G∥平面DBFE 存在，