2023-2024学年宁夏银川九中高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年宁夏银川九中高一（下）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z满足(1−i)z=3+i(i为虚数单位)，则z−在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( )
A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C. 若m⊥α，m⊥n，则n//αD. 若m//α，m⊥n，则n⊥α
3.一个圆台的上、下底面的半径为1和4，母线为5，则该圆台的体积为( )
A. 14πB. 21πC. 28πD. 35π
4.已知向量a，b不共线，且向量λa+b与a+(2λ−1)b方向相同，则实数λ的值为( )
A. 1B. −12C. 1或−12D. 1或−13
5.如图，△O′A′B′是△OAB在斜二测画法下的直观图，其中O′B′=2O′A′=4，则△OAB的面积是( )
A. 2 2
B. 4
C. 8
D. 8 2
6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acsB−bcsA=c，且C=2π5，则∠B=( )
A. π5B. π10C. 3π10D. 2π5
7.设{e1,e2}是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是( )
A. 2e1+e2和e1−e2B. 3e1−e2和2e2−6e1
C. e1+3e2和e2+3e1D. e1和e1+e2
8.已知平面向量a=(1,0),b=(−1,2)，则a在b上的投影向量为( )
A. (15,−25)B. (−15,25)C. (− 55,2 55)D. ( 55,−2 55)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两根，其中b，c∈R.若x1=−3+2i(i为虚数单位)，则( )
A. x1+x2=−6B. b+c=19
C. x1⋅x2=−13D. |x1−x2|2=(x1−x2)2
10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的有( )
A. 若A=45°，a=2 3，b=4，则△ABC有两解
B. 若a2+b2>c2，则△ABC为锐角三角形
C. 若ccsB=bcsC，则△ABC为等腰三角形
D. 若B=60°，b2=ac，则△ABC为等边三角形
11.如图，三棱锥P−ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA=2PB=2PC=2，则( )
A. BC⊥PA
B. 三棱锥P−ABC的体积为23
C. 点P到平面ABC的距离为23
D. 三棱锥P−ABC中的外接球的表面积为3π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.正三棱柱ABC−A′B′C′中，AB=1，AA′=2，则直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值为______．
13.已知直线l外一点A(−1,0,2)，直线l过原点O，且平行于向量m=(0,4,2)，则点A到直线l的距离为______．
14.如图，已知ABCD−A′B′C′D′是长方体.设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′对角线BC′上的点，且BN=3NC′.设MN=αAB+βAD+γAA′，则α+β+γ= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3csC(acsB+bcsA)=c．
(1)求csC的值；
(2)若c=2 2，△ABC的面积为 2，求△ABC的周长．
16.(本小题15分)
已知z=m2−12m+32+(m2−4m)i，其中m∈R．
(1)若z为纯虚数，求z的共轭复数；
(2)若z在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围．
17.(本小题15分)
某校开展数学专题实践活动，要求就学校新建的体育馆进行研究，为了提高研究效率，小王和小李打算分工调查测量并绘图，完成两个任务的研究．
(1)小王获得了以下信息：
a.教学楼AB和体育馆CD之间有一条笔直的步道BD；
b.在步道BD上有一点M，测得M到教学楼顶A的仰角是45°，到体育馆楼顶C的仰角是30°；
c.从体育馆楼顶C测教学楼顶A的仰角是15°；
d.教学楼AB的高度是20米．
请帮助小王完成任务一：求体育馆的高度CD．

(2)小李获得了以下信息：
a.体育馆外墙大屏幕的最低处到地面的距离是4米
b.大屏幕的高度PQ是2米
c.当观众所站的位置N到屏幕上下两端P，Q所张的角∠PNQ最大时，观看屏幕的效果最佳．
请帮助小李完成任务二：求步道BD上观看屏幕效果最佳地点N的位置．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB//DC，AB=12CD=AD=1，M为棱PC的中点．
(1)证明：BM//平面PAD；
(2)若PC= 5，PD=1，
(i)求二面角P−DM−B的余弦值；
(ii)在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是2 69？若存在，求出PQ的值；若不存在，说明理由．
19.(本小题17分)
n个有次序的实数a1，a2，…，an所组成的有序数组(a1,a2,⋯,an)称为一个n维向量，其中ai(i=1,2⋯,n)称为该向量的第i个分量.特别地，对一个n维向量a=(a1,a2,⋯,an)，若|ai|=1(i=1,2,⋯,n)，称a为n维信号向量.设a=(a1,a2,⋯,an)，b=(b1,b2,⋯,bn)，则a和b的内积定义为a⋅b=i=1naibi，且a⊥b⇔a⋅b=0．
(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量；
(2)证明：不存在10个两两垂直的10维信号向量；
(3)已知k个两两垂直的2024维信号向量x1，x2，…，xk满足它们的前m个分量都是相同的，求证： km<45．
参考答案
1.D
2.B
3.C
4.A
5.C
6.B
7.B
8.A
9.AB
10.AD
11.AC
12. 1510
13. 1055
14.32
15.解：(1)已知3csC(acsB+bcsA)=c，
代入正弦定理得3csC(sinAcsB+sinBcsA)=sinC，
即3csCsin(A+B)=sinC，又sin(A+B)=sinC>0，则csC=13．
(2)由于csC=13，则sinC= 1−cs2C=2 23，
△ABC的面积为 2，则12ab⋅sinC= 2，所以ab=3．
由已知及余弦定理得a2+b2−2ab⋅csC=8，所以a2+b2=10，
从而(a+b)2=16，a+b=4，
所以△ABC的周长为a+b+c=4+2 2．
16.解：(1)z=m2−12m+32+(m2−4m)i，
则m2−12m+32=0m2−4m≠0，解得m=8，
z=32i，
所以z的共轭复数为−32i．
(2)z在复平面内对应的点在第二象限，
则m2−12m+32<0m2−4m>0，解得4故m的取值范围是(4,8)．
17.解：(1)由题意知AB=AM=20⇒AM=20 2，
且可知∠AMC=180°−45°−30°=105°，
∠ACM=15°+30°=45°，⇒∠CAM=180°−105°−45°=30°，
由正弦定理可得20 2sin45°=MCsin30∘⇒MC=20⇒CD=20sin30°=10，
则体育馆的高度CD为10米；
(2)设ND=x，则tan∠PND=4x，tan∠QND=6x，
∴tan∠PNQ=tan(∠QND−∠PND)=tan∠QND−tan∠PND1+tan∠QNDtan∠PND
=6x−4x1+6x⋅4x=2xx2+24=2x+24x≤22 24= 612，
当且仅当x=24x⇒x=2 6时，∠PNQ取到最大值．
18.(1)证明：取PD的中点N，连接AN，MN，如图所示：
∵M为棱PC的中点，
∴MN/​/CD，MN=12CD，
∵AB/​/CD，AB=12CD，
∴AB/​/MN，AB=MN，
∴四边形ABMN是平行四边形，∴BM/​/AN，
又BM⊄平面PAD，AN⊂平面PAD，
∴BM//平面PAD；
(2)解：∵PC= 5，PD=1，CD=2，
∴PC2=PD2+CD2，∴PD⊥DC，
∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=DC，
PD⊂平面PDC，
∴PD⊥平面ABCD，
又AD⊂平面ABCD，∴PD⊥AD，又AD⊥DC，
∴以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图：
则P(0,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)，
∵M为棱PC的中点，
∴M(0,1,12)，B(1,1,0)，
(i)DM=(0,1,12)，DB=(1,1,0)
设平面BDM的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅DM=y+12z=0n⋅DB=x+y=0，令z=2，则y=−1，x=1，
∴n=(1,−1,2)，
平面PDM的一个法向量为DA=(1,0,0)，
∴cs=n⋅DA|n||DA|=11× 6= 66，
∴二面角P−DM−B的余弦值为 66；
(ii)假设在线段PA上存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是2 69，
设PQ=λPA，0<λ<1，则Q(λ,0,1−λ)，BQ=(λ−1,−1,1−λ)，
由(i)知平面BDM的一个法向量为n=(1,−1,2)，
BQ⋅n=λ−1+1+2(1−λ)=2−λ，
∵点Q到平面BDM的距离是BQ⋅n|n|=2−λ 6=2 69，
∴λ=23，∴PQ=2 23．
19.解：(1)两两垂直的4维信号向量可以为：(1,1,1,1)，(−1,−1,1,1)，(−1,1,−1,1)，(−1,1,1,−1)．
证明：(2)假设存在10个两两垂直的10维信号向量y1，y2，…，y10，
因为将这10个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变，
所以不妨设y1=(1,1,⋯,1)，y2=(1,1,1,1,1,−1,−1,−1,−1,−1)，
因为y1⋅y3=0，所以y3有5个分量为−1，
设y3的前5个分量中有r个−1，则后5个分量中有5−r个−1，
所以y2⋅y3=r⋅(−1)+(5−r)+(5−r)+r⋅(−1)=0，可得r=52，矛盾，
所以不存在10个两两垂直的10维信号向量．
证明：(3)任取i，j∈{1,2,…,k}，计算内积xi⋅xj，将所有这些内积求和得到S，
则S=x12+x22+⋯+xk2=2024k，
设x1，x2，…，xk的第i个分量之和为ci，
则从每个分量的角度考虑，每个分量为S的贡献为ci2，
所以S=c12+c22+⋯+c20242≥c12+c22+⋯+cm2=k2m，
令2024k≥k2m，所以km≤2024<2025，所以 km<45．