专题05 一次函数（暑假复习讲义）新九年级数学新教材人教版含答案

这是一份专题05 一次函数（暑假复习讲义）新九年级数学新教材人教版含答案，共10页。学案主要包含了一次函数的定义，一次函数的图象与性质，一次函数的实际应用，一次函数与方程、不等式的关系等内容，欢迎下载使用。
01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标
02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系
03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼
题型1 正比例函数与一次函数的识别
题型2 一次函数的图象和性质
题型3 根据一次函数的图象和性质求解
题型4 含参数的一次函数图象的共存问题
题型5 含参数的一次函数综合问题
题型6 一次函数与一元一次不等式、方程的综合问题
题型7 一次函数的实际应用问题
题型8 一次函数中的折叠问题
题型9 一次函数与几何图形的综合问题
04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官
05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解
知识点一 一次函数的定义
形如y = kx + b（k，b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。当b = 0时，y = kx（k≠0）叫做正比例函数。
【易错警示】
- 形式：y=kx+b，其中k≠0。勿忽略k≠0条件（如y=3是常函数，不是一次函数）。
- 自变量次数：x的次数必须为1，勿将y=kx2+b误认为一次函数。
- 整式：表达式须为整式，y=1x+2不是一次函数。
即时即练1.下列四个函数中属于一次函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查的是一次函数的定义，掌握定义是解题关键．即一般地，形如，为常数，则是的一次函数，由一次函数的定义可得答案．
【详解】解：A、不是一次函数，故不符合题意；
B、是一次函数，故符合题意；
C、不是一次函数，故不符合题意；
D、不是一次函数，故不符合题意；
故选：B．
2.下列函数关系式中，y是x的正比例函数的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了正比例函数的定义．根据正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数，逐一分析各选项即可．
【详解】解：A．，符合的形式，其中，是正比例函数，符合题意．
B．，含常数项1，属于一次函数而非正比例函数，不符合题意．
C．，不符合正比例函数的形式，不符合题意．
D．，次数为2，不符合正比例函数的定义，不符合题意．
故选：A．
知识点二 一次函数的图象与性质
一次函数y = kx + b的图象是一条直线，可通过两点法（如(0,b)和(- bk,0)）画出。当k>0时，y随x的增大而增大；当k0增，k0的解集，一次函数的图象在x轴上方的点的横坐标所组成的集合.
(2)一元一次不等式kx+bk2x+b2的解集，一次函数y=k1x+b1图象在一次函数y=k2x+b2图象上方的点的横坐标所组成的集合.
(4)一元一次不等式k1x+b10对应图象在x轴上方的部分，注意不等号方向与上下对应。
- 联立：两函数交点坐标即对应方程组的解，勿解错。
即时即练1.如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是( )
A．关于的方程的解是
B．关于的不等式的解集是
C．当时，函数的值比函数的值大
D．关于，的方程组的解是
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．根据条件结合图象对各选项进行判断即可．
【详解】解：∵一次函数是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点，
∴关于x的方程的解是，选项A判断正确，不符合题意；
关于x的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意；
当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意；
关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意；
故选：B．
2.学习一次函数时，我们从“数”和“形”两个方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题．
【初步感知】
(1)表格中m的值为________，n的值为________；
(2)在平面直角坐标系中画出函数的图象．
(3)【探究性质】观察函数的图象，判断下面关于该函数图象性质的命题：
①该函数图象是轴对称图形；
②当时，y的值随x值的增大而增大；
③当时，该函数存在最小值，最小值为0；
④当时，．
其中的正确的是_________．（请填写正确命题的序号）
(4)在同一坐标系中画出一次函数的图象，并根据图象直接写出方程组的解_________．
【答案】(1)m的值为4，n的值为0
(2)作图见解析
(3)①②③
(4)作图见解析；，
【分析】（1）分别将和代入求解即可；
（2）利用描点法作图即可；
（3）根据画出的函数图象分析即可；
（4）方程组的解就是两个函数图象的交点坐标，求出交点坐标即可．
【详解】（1）解：把代入，
得，
故；
把代入，
得，
故；
（2）解：作图如图：
（3）解：由图可知 函数图象关于直线对称，是轴对称图形，故①正确；
由图可知 当时，，随的增大而增大，故②正确；
由图可知当时，取得最小值，故③正确；
当时，，解得或，并非只有，故④错误；
综上，正确的是①②③；
（4）解：作图如图：
当时，，解得，
当时，，解得，
方程组的解就是两个函数图象的交点坐标，
因此方程组的解为： 和 ．
题型1 正比例函数与一次函数的识别
例1．下列函数中，是的正比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了正比例函数的定义，关键是根据定义进行判断；根据正比例函数的定义（形如，其中为常数且），对各选项逐一判断.
【详解】解：∵正比例函数的定义为形如（是常数，）的函数，
∴对各选项分析如下：
A选项含有常数项，不符合正比例函数定义；
B选项含有常数项，不符合正比例函数定义；
C选项中自变量的次数为，不符合正比例函数定义；
D选项可表示为，其中，符合正比例函数定义；
故答案选：D．
例2．下列函数中，是一次函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如，（k为常数，）的函数叫做一次函数．
根据一次函数的定义逐一判断即可．
【详解】解：A：，x的最高次数为2，不符合一次函数定义；
B：，，，符合一次函数定义；
C：，k未明确不等于0，故不一定是一次函数；
D：，分母有未知数，不符合一次函数定义；
故选：B．
【技巧总结】
1. 看形式：y=kx+b为一次函数；b=0 即y=kx为正比例。
2. 注意条件：k≠0；自变量指数为1。
3. 特殊值：正比例必过原点；一次函数不过原点（b≠0）。
4. 用图像：正比例直线过原点，一次函数与y轴交于(0,b)。
【变式训练1-1】若是关于x的一次函数，则m的值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的定义，根据一次函数的定义，函数表达式中的未知数的最高次数为1，且该项系数不为零，列方程求解即可．
【详解】解：∵是关于x的一次函数，
∴且，
解得，
故选：A．
【变式训练1-2】若函数（m为常数）是正比例函数，则m的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了根据正比例函数求参数，解题的关键是掌握正比例函数的定义．
根据正比例函数的定义（形如，且为常数的函数），需让原函数的二次项系数为0，同时一次项系数不为0，进而求解的值．
【详解】解：∵函数是正比例函数，
∴，
由，解得，
∵当时，，满足条件，
∴，
故选：D．
题型2 一次函数的图象和性质
例3．对于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数图象经过点
B．函数图象与y轴的交点坐标是
C．函数的图象不经过第一象限
D．函数图象向左平移4个单位得到函数的图象
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的图象与性质，涉及函数上的点、与坐标轴交点、图象经过象限、函数平移等知识点，逐项分析判断即可得出答案．
【详解】A、当时，，函数图象不经过点，此选项错误，不符合题意；
B、当时，，函数图象与轴的交点坐标是，此选项错误，不符合题意；
C、在中，，，函数图象经过第一、三、四象限，此选项错误，不符合题意；
D、函数图象向左平移4个单位，根据“左加右减”的平移原则，平移后解析式为，此选项正确，符合题意；
故选：D．
例4．关于一次函数的性质及其图象，下列说法正确的是（ ）
A．y的值随x值的增大而减小
B．该函数的图象经过第一、二、三象限
C．点一定在函数图象上
D．和是图象上两点，则
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的图像与性质，灵活运用一次函数的性质是解题的关键．
根据一次函数的增减性、图像经过的象限、点与函数图像的关系逐项判断即可．
【详解】解：∵一次函数为，其中，，
∴A．由，则的值随值的增大而增大，故A错误，不符合题意；
B．由，，则该函数图像经过第一、三、四象限，故B错误，不符合题意；
C．当时，，即点一定在函数图像上，故C正确，符合题意；
D．由，随的增大而增大，且，即，故D错误，不符合题意．
故选C．
【技巧总结】
1. k定方向：k>0直线上升（过一三象限），k0 在上半轴，b”或“
【分析】本题考查了一次函数的性质，先判断得出一次函数的系数，结合一次函数的增减性，即可求解．
【详解】解：∵为常数，
故
∴；
∴随的增大而增大，
故函数图象上的两点，，当时，．
故答案为：>．
例6．一次函数满足，且y随x的增大而增大，则此函数的图像一定不经过第_______象限．
【答案】
二
【分析】根据一次函数的增减性判断k的符号，再结合判断b的符号，最后根据一次函数的图象性质确定函数不经过的象限．
【详解】解：∵一次函数中，随的增大而增大，
∴根据一次函数的性质，可得，
∵，
∴，
∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，
∴此函数的图象一定不经过第二象限．
【技巧总结】
1. 求解析式：用待定系数法，已知两点坐标或一点加斜率。
2. 比大小：k>0时y随x增大而增大；k