第1部分-复习-专题02 一次函数与几何图形综合九种常见题型解题技巧（教师版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版）

这是一份第1部分-复习-专题02 一次函数与几何图形综合九种常见题型解题技巧（教师版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版），共110页。学案主要包含了构造模型等内容，欢迎下载使用。
题型01一次函数中面积问题
题型02 一次函数中等腰三角形的存在性问题
题型03 一次函数中直角三角形的存在性问题
题型04 一次函数中等腰直角三角形的存在性问题
题型05 一次函数中平行四边形存在性问题
题型06一次函数中矩形的存在性问题
题型07 一次函数中菱形的存在性问题
题型08 一次函数中正方形的存在性问题
题型09一次函数中最值问题
题型01 一次函数中面积问题
处理与一次函数相关的面积问题，有三条主要的转化途径：
1.铅锤法求三角形面积
2.知底求高、转化线段；
3.图形割补、面积和差；
4.平行交轨、等积变换。
题型02一次函数中等腰三角形的存在性问题
动点产生的等腰三角形的一般解法，以三角形ABC为等腰三角形为例：
1、代数法
（1）设未知数，表示出A,B,C三个顶点的坐标.
（2）利用两点间的距离公式表示出线段AB,BC,AC的长度.
（3）分类讨论：AB=BC,BC=CA,AB=AC.
（4）列出方程求解．
题型03 一次函数中直角三角形的存在性问题
若▲ABC是直角三角形，则分三种情况分类讨论：∠A=90°，∠B=90°，∠C=90°，然后利用勾股定理解题。
题型04 一次函数中等腰直角三角形的存在性问题
对于等腰直角三角形的存在性问题,不论是给出一个定点,还是两个定点,关键是找出一条核心线段,以这条线段两侧补全等腰直角三角形(或补正方形),区分这条线段是作为直角三角形的直角边还是斜边,再利用“K型图”全等求出线段长,进而表示出相应的点坐标,有时需要结合函数的性质及图形的特征,注意分类时,要不重不漏.
方法小结:几何法:分类、画图、计算;
代数法：罗列三边长、分类列方程、解方程并检验.
题型05 一次函数中平行四边形存在性问题
在解决一次函数背景下的平行四边形的存在性问题，我们需要首先先厘清平行四边形的性质：
1、平行四边形的对边平行且相等；
2、平行四边形的对角线互相平分。
总结：平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和相等
方法归纳： 1、列出四个点坐标 2、分三组对角线讨论列方程组，解方程组 3、验证点是否符合题意
题型06一次函数中矩形的存在性问题
矩形的判定定理有3条：①对角线相等的平行四边形是矩形；②有一个角是直角的平行四边形是矩形；③3个角是直角的四边形是矩形。 判定③对应在坐标系中就是使用勾股定理，这样的计算过程比较复杂，因此判定③不做为选择的方法。 矩形的存在性问题的题型往往是“两定点+一个半动点+一个全动点”，以边和对角线进行分类讨论。当两定点所在线段为矩形的对角线时，往往利用判定①画出图形，利用矩形对角线得对角线互相平分且相等来做；当两定点所在线段为矩形的一边时，往往利用判定②画出图形，利用勾股定理或锐角三角比解决问题。我们的解题思路是“先Rt再平四”，即选择半动点构造直角三角形，利用平行四边形的对称性求出全动点坐标。
题型07 一次函数中菱形的存在性问题
菱形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
2．解题思路：
（1）思路 1：先等腰，再菱形
在构成菱形的 4 个点中任取 3 个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确
定第 3 个点，再确定第 4 个点．
（2）思路 2：先平行，再菱形
设点坐标，根据平行四边形的存在性要求列出“”（AC、BD 为对角线），再结合一组邻
边相等，得到方程组．
方法总结：
菱形有一个非常明显的特点：任意三个顶点所构成的三角形必然是等腰三角形。
题型08 一次函数中正方形的存在性问题
一、判定方法正方形由于其特殊性(四个角是直角及四边相等)，往往通过构造一线三等角模型，利用三角形全等求出点坐标。常见的题型也是“两个顶点+一个半动点+一个全动点”。
二、构造模型

如左图，▲ABC为等腰直角三角形，利用平行四边形的对称性，可以求出第四点坐标；如右图，▲AED为等腰直角三角形，利用平行四边形的对称性，可以求出第四点坐标。因此，正方形的存在性问题就是利用构造的全等三角形求出点的坐标。
题型09一次函数中最值问题
（1）求线段和最值，可以从“两点之间线段最短”“垂线段最短”“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的模型去考虑；
（2）注意“转化思想”的运用，将不可用线段进行转化，变成我们熟悉的模型
题型归纳
题型01一次函数中面积问题
【例1】．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，直线分别与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点，

(1)如图1， 求点 A坐标；
(2)如图2，点C为x轴正半轴上一点，连接，若点C的横坐标为t，设 的面积为S，用含有t的式子表示S；
(3)如图3， 在（2）的条件下， 点D在BA的延长线上， 点E在BC上， 连接交x轴于点F， 点G在第一象限的直线AB上，连接，若，求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了勾股定理，一次函数，全等三角角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，以及正确作出辅助线，构造全等三角形．
（1）根据勾股定理求出，即可得出点A的坐标；
（2）先得出，则，最后根据，即可解答；
（3）取中点M， 连接，在上截取，连接，根据中位线定理得出，，进而求证，通过证明得出，则，即可解答．
【详解】（1）解∶ ∵，
∴，
，
∴在中， ，
∴．
（2）解：∵点C的横坐标为t，
∴，
∴，
∴．
（3）解：取中点M， 连接，在上截取，连接，
∵，点M为中点，，
，，
∴，，
∵，
∴，
，

又∵，
∴
∴，
∵， ，
，
∴．
【变式1-1】．（23-24八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点，过点A的直线与x轴、y轴分别交于B，C两点．
(1)直接写出正比例函数的表达式；若的面积为的面积的倍，求直线的表达式；
(2)在（1）的条件下，在线段上找一点D，使平分，求点D的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，对称的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）直接利用待定系数法求正比例函数解析式即可；先根据的面积为的面积的倍得出点C的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）作点A关于y轴的对称点，连接，由对称可得平分，先求出直线的解析式，再求直线与直线的交点坐标即可．
【详解】（1）解：∵正比例函数的图象经过点，
∴，
解得，
∴正比例函数的表达式为：；
∵的面积为的面积的倍，
∴，
∴，
∴，
把，代入，得，
解得，
∴一次函数的表达式为：；
（2）解：如图，作点A关于y轴的对称点，连接，
由对称可知，，即平分，
∴平分，
由对称可知，，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
令，解得，
∴，
∴．
【变式1-2】．（23-24八年级下·内蒙古·期中）如图，直线分别交x轴，y轴于点，．直线分别交x轴，y轴于点C，D，与直线相交于点E，已知．
(1)求直线的表达式；
(2)求的面积；
(3)直接写出时，x的取值范围．
【答案】(1)
(2)5
(3)
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：
（1）利用待定系数法求直线的表达式；
（2）分别求出A，C，E点坐标，利用三角形面积公式即可得答案；
（3）观察函数图象，直线在直线的上方时对应的点的横坐标的范围，即为所求．
【详解】（1）解：根据题意得，
解得，
∴直线的表达式为；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
把代入得，
解得，
∴，
联立，
解得，，
∴，
又，，
∴
∴；
（3）解：由（2）知，，
观察函数图象得，当时，函数的图象在函数的图象上方，
所以，时，x的取值范围是．
题型02 一次函数中等腰三角形的存在性问题
【例2】．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在四边形中，，，．延长到，使，连接，由直角三角形的性质可知．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒．
(1)当时， ．
(2)当 时，点运动到的角平分线上；
(3)请用含的代数式表示的面积；
(4)当从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着向终点运动，连接，设点的运动时间为秒，是否存在，使为等腰三角形？若存在，请直接写出的值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)当时，点运动到的角平分线上
(3)
(4)当或或时，为等腰三角形
【分析】本题考查了角平分线的定义、矩形的判定与性质、等腰三角形的定义、一元一次方程的应用、勾股定理、三角形面积公式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）根据题意可得，进而即可得出答案；
（2）作的角平分线交于，证明出，得出，求出，得出，求解即可；
（3）分三种情况：当点在上运动时；当点在上运动时；当点在上运动时；分别利用三角形面积公式求解即可；
（4）分三种情况：当时；当时；当时；分别建立方程求解即可．
【详解】（1）解：当时，；
（2）解：如图，作的角平分线交于，
，
则，
，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
当时，点运动到的角平分线上，
（3）解：当点在上运动时，，
；
当点在上运动时，；
当点在上运动时，，
；
综上所述，；
（4）解：，，
，
由题意得：，则
为等腰三角形，
当时，
，
，
，即，
解得：；
当时，
，
，即，
解得：；
当时，
，
，
，
，
，
，
解得：；
综上所述，当或或时，为等腰三角形．
【变式2-1】．（23-24八年级下·广东佛山·期中）综合应用
如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，与一次函数的图象于点C．
(1)A点的坐标是 ，B点的坐标是 ．
(2)若不等式的解集是．
①连接，求的面积；
②若一次函数的图象与x轴交于点D，当是以为腰的等腰三角形时，求直线的表达式．
【答案】(1)，
(2)①；②或或
【分析】本题考查了一次函数综合知识，难度适中，解题的关键是掌握分类讨论思想的运用．
（1）由一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，可求A、B两点的坐标；
（2）①由不等式的解集是，可得点的横坐标为1，再根据点在得点的坐标为，即可求解；
②分两种情况讨论：当时，当时，分别求解．
【详解】（1）∵一次函数的图象与轴交于点B，
∴令时，，
∴，
∴令时，，解得：．
∴，
故答案为：，．
（2）①由不等式的解集是，
可得当时，函数的函数值大于函数的函数值；
∴点的横坐标为1，
把点的横坐标为1代入得，
点的坐标为，
∴的面积．
②当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵一次函数的图象经过点与，
∴，解得，
∴一次函数的表达式为；
当时，
∵，
∴，
∴，
∴或，
∵一次函数的图象经过点与，
∴解得，
∴一次函数的表达式为；
一次函数的图象经过点与，
∴解得，
∴一次函数的表达式为；
综上所述直线表达式为或或．
【变式2-2】．（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）如图1，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、点，与正比例函数的图象交于点，将点向右平移1个单位，再向下平移6个单位得到点．
(1)求、的长度和点的坐标；
(2)如图2，点是轴上一动点，当最小时，求点的坐标；
(3)若点是轴上一动点，当为等腰三角形时，求出点的坐标．
【答案】(1)，，
(2)当最小时，点的坐标为
(3)为等腰三角形时，点坐标为，或，或或
【分析】（1）先求出点A、B坐标，再联立方程组求得点C坐标，根据坐标平移规律可求得点D坐标；
（2）作点关于轴的对称点，则，连接交轴于点，连接，此时最小，利用待定系数法求得直线的解析式，令，可求得点P坐标；
（3）设点，分、、三种情况分别求解即可．
【详解】（1）在中，
当时，，当时，由得：，
∴、．
∴，．
联立与，解得：．
∴点．
由题意得：点；
（2）作点关于轴的对称点，则．
连接交轴于点．
连接，此时最小．
设直线的解析式为，把点，代入得：
．解得：，．
∴直线的解析式为．
当时，．
∴点，
即当最小时，点的坐标为；
（3）设点，
∵，
，
，
，
当为等腰三角形时，可分三种情况：
当时，由得：，
∴，或，
当时，由得：
或（与重合，舍去），
∴，
当时，由得：，
∴，
综上，为等腰三角形时，点坐标为，或，或或．
【点睛】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点问题、待定系数法求函数解析式、坐标变换、两直线的交点问题、最短路径问题、等腰三角形的性质、两点间距离公式等知识，解答的关键是读懂题意，寻找相关知识的关联点，利用数形结合及分类讨论思想进行推理、探究和计算．
题型03 一次函数中直角三角形的存在性问题
【例3】．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，平面直角坐标系中，是坐标原点，直线经过点，与轴交于点，与轴交于点．线段平行于轴，交直线于点，连接，．
(1)填空： ，点A的坐标是（ ， ）；
(2)求证：四边形是平行四边形；
(3)动点P从点O出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止：动点Q同时从点D出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．
①当时，的面积是 ；
②当为直角三角形时，请直接写出此时点Q的坐标．
【答案】(1)；5，0
(2)见解析
(3)①12；②或
【分析】（1）代入C点坐标即可得出k值确定直线的解析式，进而求出A点坐标即可；
（2）求出A、D点坐标，根据，，即可证四边形是平行四边形；
（3）①作于H，设出H点的坐标，根据勾股定理计算出的长度，根据运动时间求出的长度即可确定的面积；
②当时，当时，再根据P、Q的位置分情况计算出结果即可．
【详解】（1）解：∵直线经过点，
∴，
解得，
即直线的解析式为，
当时，，
∴，
故答案为：，5，0；
（2）解：∵线段平行于x轴，
∴D点的纵坐标与C点一样，
又∵D点在直线上，
当时，，
即，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：①作于H，如图所示：

∵H点在直线上，
∴设H点的坐标为，
∴，
由勾股定理，得，
即，
解得或8（舍去），
∴，
∵，
∴当时，，
∴，
故答案为：12；
②当时，，
∵轴，
∴轴，
∴此时点P的横坐标为3，
∵点P在直线，
∴把代入得，
此时点P的坐标为，
，
∴，
∴，
设此时点Q的坐标为，
∴，
解得：，负值舍去，
此时点Q的坐标为：；
当时，
根据解析①可知，此时点P的坐标为，
∴，
∴，
∴，
设此时点Q的坐标为，
∴，
解得：，负值舍去，
此时点Q的坐标为：；
综上分析可知，点Q的坐标为或．
【点睛】本题主要考查一次函数的性质，勾股定理，平行四边形的判定，坐标与图形，熟练掌握待定系数法求解析式，平行四边形的判定，是解题的关键．
题型04 一次函数中等腰直角三角形的存在性问题
【例4】．（23-24八年级下·四川成都·期中）探索发现：如图1，已知中，，，直线l过点C，过点A作，过点B作，垂足分别为D、E．
(1)求证：，；
(2)迁移应用：如图2，将一块等腰直角三角板放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M的坐标为，求点N的坐标；
(3)拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线分别与x轴、y轴交于点Q、点P，以线段为一边作等腰直角三角形，请直接写出点R的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或或或或或
【分析】本题考查一次函数的综合、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形，构造全等三角形是解答的关键．
（1）先判断，进而得到，证明，根据全等三角形的对应边相等可得结论；
（2）过点M作轴，垂足为F，过点N作，交的延长线于G，先得到，，进而求得，，求得，即可得出结论；
（3）分三种情况：当点P为直角顶点时，当点Q为直角顶点时， 当点R为直角顶点时，利用全等三角形的判定与性质，结合坐标与图形分别画图求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，；
（2）解：如图2，过点M作轴，垂足为F，过点N作，交的延长线于G，

由已知得，且，
∴由（1）得，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴点N的坐标为；
（3）解：分三种情况：
当点P为直角顶点时，如图3，

过点作轴于点E，
由（1）知，，
∴，，
∵直线，分别与x轴、y轴交于点Q、点P，
当时，；当时，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
同理可得；
当点Q为直角顶点时，如图4，

过点作轴于点D，
由（1）知，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
同理可得；
当点R为直角顶点时，如图5，

过点作y轴的平行线交x轴于点E，过点P作x轴的平行线，交于点D，
由（1）知，
∴，，
∵，，
∴，，
设，则，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
综合以上可得，点R的坐标为或或或或或．
【变式4-1】．（23-24八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到两条坐标轴的距离之和等于点Q到两条坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为和谐点．例如，图1中的P，Q两点即为和谐点．
(1)已知点．
①在点中，点A的和谐点是 ；
②若点B在y轴上，且A，B两点为和谐点，则点B的坐标是 ；
(2)已知点，点，连接，点M为线段上一点．
①经过点且垂直于x轴的直线记作直线l，若在直线l上存在点N，使得M，N两点为和谐点，则n的取值范围是 ；
②若点，点，在以线段为斜边的等腰直角三角形的某条边上存在点K，使得M，K两点为和谐点，则m的取值范围是 ．
【答案】(1)①；②或
(2)①；②或
【分析】（1）①根据和谐点的定义即可求解．②根据点到坐标轴的距离，结合和谐点的定义，设，则，即可求解；
（2）①待定系数法求得直线的解析式为，进而可得点M到x轴的距离为，点M到y轴的距离为，根据定义可得，即点M的和谐点N满足横纵坐标的绝对值之和为3，则点N在图中所示的正方形上．②根据①的方法可得当正方形与正方形有交点时，符合题意，结合图形，即可求解．
【详解】（1）解：①∵点，
∴，
点中， ，
∴点A的和谐点是；
故答案为：．
②∵点B在y轴上，且A，B两点为和谐点，
∴B点的横坐标为0，
设，
∴，
∴，
∴点B的坐标为或，
故答案为：或．
（2）解：①由题意，点，点，
设直线的解析式为，
将代入得，，
解得：，
∴直线的解析式为：，
点M在线段上，设其坐标为，则，且．
∴点M到x轴的距离为，点M到y轴的距离为，
∴．
∴点M的和谐点N满足横纵坐标的绝对值之和为3．
即点N在图中所示的正方形上．
∵点E的坐标为，点N在直线上，
∴．
故答案为：．
②依题意，以线段为斜边的等腰直角三角形，点K，为直角三角形的顶点，如图所示，
则四边形是正方形，
∴当正方形与正方形有交点时，符合题意，
∴或，
即或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离，一次函数与坐标轴交点问题，正方形的性质，数形结合是解题的关键．
【变式4-2】．（23-24八年级下·四川巴中·期中）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A坐标为，点B坐标为，点P是直线上位于第二象限内的一个动点，过点P作垂直于x轴于点C，记点P关于y轴的对称点为Q，设点P的横坐标为a．

(1)当时：
①求直线相应的函数表达式；
②当时，求点P的坐标；
(2)是否同时存在a、b，使得是等腰直角三角形？若存在，求出所有满足条件的a、b的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①直线解析式为；②
(2)或，
【分析】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．
（1）①由题意确定出B坐标，设直线解析式为，把A与B坐标代入求出k与b的值，即可求出解析式；②由以及的长，确定出Q纵坐标，根据P与Q关于y轴对称，得出P纵坐标，代入直线解析式求出纵坐标，即可确定出P坐标；
（2）同时存在a、b，使得是等腰直角三角形，分两种情况考虑：①若；②若，分别求出a与b的值即可．
【详解】（1）解：①当时，，
由，
设直线解析式为，
把A与B坐标代入得：
，
解得：，
则直线解析式为 ，
②∵，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∵点P关于y轴的对称点为Q，
∴，
代入直线解析式，
得，
解得
则P坐标得；
（2）①若，如图1所示，
∴Q点的横坐标为，
∴P点的横坐标为，
∴，
∴
即，
设直线的解析式为 ，
将代入得 ，
解得
∴直线解析式为，
∴；
②如图2，若且时，过点Q作轴于点H，
∴，
∴P点的横坐标为a，
∴Q点的横坐标为，
Q的横坐标 ，解得 ，
Q的纵坐标
∴ ， ，
设直线的解析式为 ，
将，代入得
解得
∴直线解析式为，
∴，
∴，，
综上所示，∴；或，．
题型05 一次函数中平行四边形存在性问题
【例5】．（23-24八年级下·山东济南·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，直线经过点B且交x轴正半轴于点C，已知面积为10．
(1)点C的坐标是 ，直线的表达式是 ；
(2)如图2，若G为线段上一点，且满足，求G点坐标和直线的表达式；
(3)在（2）的条件下，点M为直线上一动点，在x轴上是否存在点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，N点坐标为或或
【分析】此题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，平行四边形的性质，
（1）利用面积为10求出点C的坐标，根据待定系数法求出解析式；
（2）连接，由得到，求出的解析式，得到的解析式为，求出交点，再根据待定系数法求出解析式；
（3）分情况：①当分别为对角线时，②当分别为对角线时，③当分别为对角线时，根据平行四边形的性质解答．
【详解】（1）解：∵面积为10，
∴，
∴，
∵，
∴，
将点B与C的坐标代入，可得
，
∴，
∴，
故答案为，；
（2）连接，
∵，
∴，
设的解析式为，
将点，代入，得
，
解得，
∴，
∴的解析式为，
∴，
∴，
∴，
设的解析式为，
将点A、G代入可得
，
解得，
∴；
（3）∵点M为直线上动点，点N在x轴上，
则可设，，
①当分别为对角线时，
的中点为，的中点为，
∴，，
∴，，
∴；
②当分别为对角线时，
的中点为，的中点为，
∴，，
∴，，
∴；
③当分别为对角线时，
的中点为，的中点为，
∴，，
∴，，
∴；
综上所述：以点B，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，N点坐标为或或．
【变式5-1】．（23-24八年级下·河南鹤壁·期中）如图，一次函数的图象分别交轴，轴于点，，一次函数的图象分别交轴，轴于点，，两个一次函数的图象相交于点．
(1)求，的解析式；
(2)若直线上存在一点，使，求符合条件的点的坐标；
(3)若点为平面直角坐标系内任意一点，是否存在这样的点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)点的坐标为或
(3)的坐标为或或
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、解含绝对值符号的一元一次方程以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用三角形的面积公式，找出关于x的含绝对值符号的一元一次方程；（3）利用平行四边形的性质求解．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）首先求出点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，得到，，然后根据列方程求解即可；
（3）首先得到，，，然后分3种情况讨论：①当为对角线时；②当为对角线时；③当为对角线时，分别利用平行四边形的性质求解即可．
【详解】（1）将代入，得，
解得．
将代入，得，
解得．
，的解析式分别为，；
（2）对于，当时，；当时，．
点的坐标为，点的坐标为．
对于，当时，；当时，．
点的坐标为，点的坐标为．
，．
．
设点的坐标为．
则．
，
，
解得或
符合条件的点的坐标为或；
（3）存在，点的坐标为或或．
如解图，由（1）（2）可知，，，
设点的坐标为．
①当为对角线时，，，
解得，．
∴点的坐标为；
②当为对角线时，，，
解得，．
∴点的坐标为；
③当为对角线时，，，
解得，．
∴点的坐标为．
综上所述，当点的坐标为或或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
【变式5-2】．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且面积为10．
(1)求点C的坐标及直线的解析式；
(2)若M为线段上一点，且满足，求直线的解析式；
(3)若E为直线上一个动点，在x轴上是否存在点D，使得以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)或或
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质：
（1）先求出A、B坐标，进而根据面积为10求出点C的坐标，再利用待定系数法求出对应的函数解析式即可；
（2）先求出的面积，即求出的面积，再由求出点M的纵坐标，进而求出点M的坐标，据此利用待定系数法求出对应的函数解析式即可；
（3）设，再分当为对角线时， 当为对角线时，当为对角线时，三种情况由平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解即可．
【详解】（1）解：在中，当时，，当时，，
∴，
∴，，
∵面积为10，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，，
∴，
同理可知直线解析式为；
（3）解：设，
当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得 ，
解得，
∴点D的坐标为；
当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得 ，
解得，
∴点D的坐标为；
当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得 ，
解得，
∴点D的坐标为；
综上所述，点D的坐标为或或．
【变式5-3】．（2024八年级下·天津·专题练习）如图1，矩形摆放在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，，过点的直线交矩形的边于点，且点不与点重合，过点作，交轴于点，交轴于点．
(1)若为等腰直角三角形
直接写出此时点的坐标： ；直线的解析式为 ．
在轴上另有一点的坐标为，请在直线和轴上分别找一点，使的周长最小，并求出此时点的坐标和周长的最小值；
(2)如图，过点作交轴于点，若以为顶点的四边形是平行四边形，求直线的解析式．
【答案】(1)，；，；
(2)．
【分析】本题考查了待定系数法，全等三角形判定和性质，平行四边形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键．
（）根据题意可求，用待定系数法可求直线解析式；
作点关于轴的对称点，作点关于直线的对称点，连接交轴于点，交于，根据两点之间线段最短，可得此时的周长最小，求出解析式，可求点坐标和周长的最小值；
（）作于，可证，由题意可证，可求，，即可得点，点坐标，即可求直线解析式．
【详解】（1）①∵矩形，，，
∴，，，
，，，，
∵为等腰直角三角形，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式，过点，点，
∴，
∴，
∴直线解析式，
故答案为，；
作点关于轴的对称点，作点关于直线的对称点，连接交轴于点，交于，根据两点之间线段最短，可得此时的周长最小，
∵，，
∴设直线解析式，
∴，解得
∴直线解析式，
当时，y，
∴，
∵，
∴周长的最小值为．
（2）如图：作于，
∵，
∴且，
∴，且，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
设直线的解析式，
则有，
∴，
∴直线解析式．
题型06一次函数中矩形的存在性问题
【例6】．（2024八年级下·全国·专题练习）如图中，点O是边上一个动点，过O作直线．设交的平分线于点E，交的外角平分线于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的长；
(3)当点O在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)当点O在边上运动到的中点时，四边形是矩形．理由见解析
【分析】（1）由分别是的平分线，可得，，由，可得，，则，，进而结论得证；
（2）由（1）可知，，，则，即，由勾股定理得，，然后求解作答即可；
（3）当O为的中点时，，可证四边形是平行四边形，由，可证平行四边形是矩形．
【详解】（1）证明：∵分别是的平分线，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：由（1）可知，，，
∴，
即，
由勾股定理得，，
∴，
∴；
（3）解：当点O在边上运动到的中点时，四边形是矩形，理由如下；
证明：当O为的中点时，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形．
【点睛】本题考查了角平分线，平行线的性质，等角对等边，勾股定理，矩形的判定等知识．熟练掌握角平分线，平行线的性质，等角对等边，勾股定理，矩形的判定是解题的关键．
【变式6-1】．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，两直线交于点E，，．
(1)如图1，求k和b的值；
(2)如图2，点P在x轴上，过点P作x轴的垂线交射线于点M，交射线于点N，设点P的横坐标为t，线段的长为d，求d与t之间的函数关系式，直接写出t的取值范围；
(3)如图3，在（2）的条件下，，点H在直线上，点F在x轴上，点G在直线上，连接和， 当四边形为矩形，且时，求点G的坐标．
【答案】(1)
(2)；
(3)点G的坐标为或
【分析】（1）首先表示出A、B的坐标，再根据，求出C、D的坐标，最后利用待定系数法即可求出k和b的值；
（2）设点P的横坐标为t，则，，利用线段MN的长为d，即可表示出d与t之间的函数关系式，联立两直线的解析式，求出交点E的坐标，根据过点P作x轴的垂线交射线于点M，交射线于点N即可求出t的取值范围；
（3）当时，根据（2）可求出的面积，设，则，根据可求出或，分情况即可求出点G的坐标．
【详解】（1）解：直线交x轴于点A，交y轴于点B，
，，
即，，
又，，
，，
，，
将，代入直线，得
，
；
（2）设点P的横坐标为t，则，，
线段MN的长为d，
，
即，
即，
；
（3）过点G作于点I，
当时，由（2）可知，
由题意可知，，，
设，则，
四边形为矩形，
，
，，
，
，
解得，
当时，，
，,
即，
当时，，
，,
即，
综上所述：点G的坐标为或．
【点睛】本题是一次函数的综合题，主要考查求函数解析式、已知两点坐标表示线段长度、一次函数与几何图形相结合，熟练掌握函数性质、正确画出图形是解题的关键．
【变式6-2】．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点、顶点，且b、c满足，点．
(1)顶点C的坐标为_______；线段的长度是________；
(2)已知点E是线段上的动点，点F是线段AC上的动点，点，当的值最小时，求F点的坐标；
(3)在第（2）问的条件下，点P是坐标轴上的点，点Q是平面内一点，请问存在以点A、F、P、Q为顶点的四边形是以AF为边的矩形吗？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）由二次根式中可求出的值，从而可求出的值，由勾股定理得，即可求解；
（2）由等腰三角形的性质得，从而可得平分，作关于对称点，连接，由可判定，由全等三角形的性质得，当、、三点共线，且轴时，最小，最小，再用待定系数法求出直线的解析式为，即可求解；
（3）①当在轴上时，此时矩形为，作，将直线绕逆时针旋转得直线，由平行直线的相等得直线的解析式为，可求直线的解析式为，用待定系数法可求直线的解析式为， 直线的解析式为，直线的解析式为，即可求解；②当在轴上时，此时矩形为，同理可求直线的解析式为，即可求解．
【详解】（1）解：，
，
解得：，
，
，
，，
；
故答案：，；
（2）解：如图，
，
，
，
四边形是矩形，
轴，
，
，
平分，
如上图，作关于对称点，连接，
，
在和中
，
()，
，
当、、三点共线，且轴时，最小，
最小，
，
，
设直线的解析式为，则有
，
解得，
直线的解析式为，
当时，
，
；
（3）解：存在，理由如下：
如图，
①如上图，当在轴上时，
此时矩形为，
如图，作，将直线绕逆时针旋转得直线，
，
直线的解析式为，
设()，
，
由旋转得：，
设直线的解析式为，则有，
，
，
解得：，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
当时，
，
解得：，
，
同理可求：
直线的解析式为，
直线的解析式为，
联立直线和直线的解析式得
，
解得，
；
②当在轴上时，
此时矩形为，
由①可求，
同理可求：
直线的解析式为，
联立直线和直线的解析式得
，
解得，
；
综上所述：点坐标为或．
【点睛】本题考查了线段和最小值问题，待定系数法，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定及性质，两直线平行相等，掌握待定系数法、相关的判定方法及性质，能找出取得最小值的条件，根据矩形的顶点位置进行分类讨论是解题的关键．
题型07 一次函数中菱形的存在性问题
【例7】．（2024八年级下·天津·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线：分别与x轴，y轴交于点A，点B，与直线：交于点C．
(1)求点A，B，C的坐标；
(2)若点D是线段上一点，且的面积是面积的，求直线的解析式；
(3)点P是直线上一点，点Q是平面内任意一点，若以点O，B，P，Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)，，
(2)
(3)或或或
【分析】本题考查了待定系数法，一次函数的图象及性质，菱形的性质等；
（1）根据一次函数上点的坐标特点，分别求出A、B点坐标，再由方程，求出C点坐标；
（2）可求，，根据题意得方程，求出t的值即可确定D点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可；
（3）设，，根据菱形对角线分三种情况讨论，分别建立方程组求Q点坐标即可．
熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的性质，能根据菱形的顶点不同进行分类讨论是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，，
，
当时，，
，
当时，
解得：，
；
（2）解：设，
，
，
，
，
，
，
解得，
，
设直线的解析式为，则有：
，
解得：，
直线的解析式为；
（3）解：设，，
①当为菱形的对角线时，，
∴，
解得，
；
②当为菱形的对角线时，，
，
解得（舍去）或，
；
③当为菱形的对角线时，，
，
解得或，
或；
综上所述：Q点坐标或或或．
【变瘦7-1】．（23-24八年级下·广西柳州·期中）如图，平面直角坐标系中，把矩形沿对角线所在的直线折叠，点A落在点D处，与交于点E．的长满足式子．
(1)求点A，C的坐标；
(2)求出点E的坐标和直线的函数解析式；
(3)F是x轴上一点，在坐标平面内是否存在点P，使以O，B，P，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)，
(3)存在，或或或
【分析】（1）利用绝对值及算术平方根的非负性求解；
（2）根据折叠、平行的性质可证，设，则，用勾股定理解，求出x的值即可得到点E的坐标；利用待定系数法求直线的函数解析式；
（3）分三种情况：为边，为对角线；为边，为对角线；为对角线，分别求解即可．
【详解】（1）解：，
，，
，（负值舍去），
，；
（2）解：矩形中，
，
由折叠得，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
点E的坐标为，
设直线的函数解析式为，
将，代入，得：，
解得，
直线的函数解析式为；
（3）解：存在，点P的坐标为或或或．
矩形中，，
，
，
当以O，B，P，F为顶点的四边形为菱形时，存在四种情况，如图：
当为边，为对角线时，,
当点P在点B左侧时，如所示，点坐标为，
当点P在点B右侧时，如所示，点坐标为；
当为边，为对角线时，点P与点B关于x轴对称，如所示，点坐标为；
当为对角线时，如所示，
设，则，
在中，，即，
解得，
可得点坐标为，即，
综上可知，点P的坐标为或或或．
【点睛】本题考查坐标与图形，非负数的性质，矩形的性质，菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，求一次函数解析式等，注意数形结合及分类讨论是解题的关键．
【变式7-2】．（23-24八年级下·湖北荆门·阶段练习）如图，正方形的顶点分别在的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边分别交于点，并且满足，点是线段上的一个动点．
(1)连接，求证：四边形是平行四边形；
(2)作交于，当面积为时，求点的坐标；
(3)设点是轴上方平面内的一点，以为顶点的四边形是菱形，求点的坐标．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)或．
【分析】()首先求出，代入，可求得，则，即可得四边形是平行四边形；
()过点作于，首先证明，则，可求得，设出的坐标，根据三角形的面积公式即可求得的纵坐标，进而求得的坐标；
()分四边形是菱形和四边形是菱形两种情况进行讨论：当四边形 是菱形时，是的中垂线与的交点，关于的对称点就是；当 四边形是菱形，，在直角边上，设出的坐标，根据即可求得的坐标，则根据和的中点重合，即可求得的坐标；
本题考查了一次函数的几何应用，平行四边形的判定，菱形的性质，勾股定理，坐标与图形，正确根据菱形的性质求得的坐标是解题的关键.
【详解】（1）证明：如图，
∵正方形的顶点分别在的正半轴上，点的坐标为，
∴，，
∵，
∴，，
∴,
把代入得，，
解得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：过点作于，
∵，四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设的坐标为，
∴，
解得，
∴，
∴点的坐标为；
（3）解：当四边形是菱形时，如图，
∵的纵坐标是，把代入得，，
解得，
∴的坐标是，
∴点的坐标为；
当四边形是菱形时，如图，
∵，设的横坐标是，则纵坐标是，
则，
解得或(舍去)，
∴，
∴的坐标是，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或．
题型08 一次函数中正方形的存在性问题
【例8】．（23-24八年级下·山东滨州·期中）如图，已知四边形是平行四边形，点和点，连结并延长交y轴于点D．
(1)求直线的函数解析式；
(2)若点P从点C出发以2个单位/秒沿x轴向左运动，同时点Q从点O出发以1个单位/秒沿x轴向右运动，过点P，Q分别作x轴垂线交直线和直线分别于点E，F，猜想四边形的形状（点P，Q重合除外），并证明你的结论；
(3)在（2）的条件下，当点P运动多少秒时，四边形是正方形? （直接写出结果）
【答案】(1)直线的解析式为
(2)四边形是矩形，证明见解析
(3)点P运动 秒或3秒时, 四边形是正方形
【分析】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及了待定系数法求解析式、平行四边形，矩形，正方形的判定及其性质等知识点，
（1）设直线的解析式为,将点和点代入即可求解；
（2）由题意可得直线的解析式为，，进而可得 据此即可求解；
（3）由（2）可得：，当时，四边形是正方形，据此即可求解；
【详解】（1）解：设直线的解析式为,
∵ 点和点,
∴
解得：
∴ 直线的解析式为
（2）解：如图,
∵点A的坐标为
∴直线的解析式为.
∵点Q从点O出发以1个单位/秒沿轴向右运动，
∴,
∴ .
∵点P从点C出发以2个单位/秒沿轴向左运动，
∴,
∴.
由(1)知, 直线的解析式为
∴
∴
∴.
∵轴, 轴,
∴
∵,
∴四边形是平行四边形.
∵,
∴四边形是矩形.
（3）解：由（2）可得：
∵四边形是矩形.
∴当时，四边形是正方形
即：
解得：或
【变式8-1】．（23-24八年级下·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别落在轴、轴上，点，一次函数的图像与轴、边交于点、．
(1)求的长；
(2)若点是轴上一动点，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标；
(3)点是一次函数图像上一动点，且点在第二象限，点是轴上一个动点，点是平面内一点，若以、、、为顶点的四边形是正方形，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)的坐标是或
(3)的坐标是或
【分析】本题考查了一次函数条件下的平行四边形和正方形的存在性，熟练掌握一线三直角是解题的关键．
（1）过点作轴，垂足为，根据直线的解析式求出点的坐标，再求出，最后根据勾股定理即可求解；
（2）画出图像，分为点在直线的上方和下方两种情况讨论；
（3）分为两种情况讨论，利用一线三直角证明三角形全等，求出点、的坐标，再利用平移的性质得到点的坐标．
【详解】（1）如图1，过点作轴，垂足为，则，
（图1）
对于一次函数，
当时，，，
当时，，，
，
；
（2）如图2，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
（图2）且，
，
或，
点的坐标是或；
（3）分两种情形：
①如图3，过点作于，则，
（图3）四边形是正方形，
，，
，
，，
，
点的坐标是，
将代入得：，
点的坐标是，
点的坐标是，
由平移可得点的坐标是；
②如图4，过点作轴于．
（图4）四边形是正方形，
，，
，
，．
设，则，
则，
点的坐标是，
，
，
点的坐标是，
点的坐标是，
由平移可得点的坐标是，
综上所述，点的坐标是或．
题型09一次函数中最值问题
【例9】．（23-24八年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，．

(1)若一次函数的图象经过已知三个点中的某一点，求b的最大值；
(2)当时，在图中用阴影表示直线运动的区域，并判断在点M，N，P中直线不可能经过的点是 ．
【答案】(1)8
(2)图见解析，N
【分析】本题考查一次函数的图象和性质得应用．用到的知识点为：一次函数的比例系数大于0，常数项大于0，图象过第一、二、三象限，一次函数的比例系数越大，随的增大越明显．
（1）根据一次函数的比例系数大于0，图象过第一、三象限，求的最大值，那么把第二象限内的点代入即可；
（2）求的当时直线与轴的交点，进而根据经过点和可得直线扫过的区域，即可求得直线不可能经过的点．
【详解】（1）
解：∵一次函数的比例系数为，，
∴一次函数一定经过第一、三象限．
∵求b的最大值，
∴图象还应该经过第二象限的点．
∴．
∴
答：b的最大值为8；
（2）
当时，图象经过
∵图象必过点，，
∴直线运动的区域为过点和点的直线l与y轴之间的区域（不包括直线l和y轴）．
∴直线不可能经过的点是N．
故答案为：N．

【变式9-1】．（23-24八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线，与x轴，y轴交于点A、B，直线与直线交于点D，直线l过点A与y轴交于点C，点C的纵坐标是．
(1)求直线的解析式；
(2)若点E在x轴上，且，求点E坐标；
(3)点Q是线段的一点，且到y的距离为1，点P在直线上的动点，求的最小值．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
（1）求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设，根据，列出方程进行求解即可；
（3）作关于的对称点，连接，求出的长即可．
【详解】（1）解：∵直线，
∴当时，，当，，
∴，
∵直线l过点A与y轴交于点C，点C的纵坐标是，
∴，
∴设直线的解析式为，把代入，得：，
∴；
（2）∵，，，
∴，
设，
∵，
∴，
解得：或，
∴或．
（3）∵点Q是线段的一点，且到y的距离为1，
∴，
当时，，
∴，
作关于的对称点，则：，
∴，
连接，
∵，，
∴，
∴的最小值为．
【变式9-2】．（23-24八年级下·山东青岛·期中）如图，在长方形中，，，延长至点E，使，连接．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为；连接、．当点Q停止运动时，点P也停止运动．设运动时间为，解答下列问题：
(1)当t为何值时，使点Q在的平分线上？
(2)当t为何值时，为等腰三角形？
(3)设四边形的面积为，求y与t之间的关系式及四边形面积的最大值．
【答案】(1)
(2)或
(3)；
【分析】本题考查了动点问题，等腰三角形的判定和性质，一次函数的实际应用，勾股定理等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是解题关键．
（1）由题意得：，根据长方形的性质和角平分线的定义，得到，进而得到，即可求出的值；
（2）根据等腰三角形的定义，分三种情况讨论：①当时；②当时；③由于点Q在线段上，不存在的情形，再结合勾股定理以及等腰三角形三线合一的性质分别列方程求解即可；
（3）根据题意，得出，，再根据得到y与t之间的关系式，然后利用一次函数的性质求出最值即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
四边形为长方形，
，
平分，
，
，
，即，
解得：
即当t为时，使点Q在的平分线上；
（2）解：①当时，如图，
，，，
，
，
．
，
．
②当时，如图，
，，
，
，
．
③由于点Q在线段上，不存在的情形，
综上，当t为或时，为等腰三角形．
（3）解：由题意得：，，
，，
，
，
y随t的增大而增大，
，
当时，y的最大值．
【变式9-3】．（23-24八年级下·江苏南通·期中）已知与x成正比例，当时，．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)请在图中画出该函数的图象；
(3)已知，P为（2）中图象上的动点，Q是y轴上的动点，连接，则的最小值小为______．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)4
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、画一次函数图象、一次函数图象的性质、一次函数与几何的综合等知识点，求得函数解析式成为解题的关键．
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）先求出函数图像与x、y轴的交点坐标，然后过两点作直线即可；
（3）作点A关于原点的对称点，作于点，交轴于点，此时取得最小值，最小值为，然后利用勾股定理和等积法即可解答．
【详解】（1）解：设，把时、代入得：，解得．
，即．
（2）解：把代入得：，
把代入得：，解得，
函数图象过点，
函数图象，如图所示：

（3）解：如图：作点A关于原点的对称点，作于点，交轴于点，此时取得最小值，最小值为，
如图：连接，
∵点，，，，
∴，
∵，
∴，解得：．
故答案为：4．
过关检测
1．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期中）已知四边形是边长为4的正方形，分别以所在的直线为x轴、y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系，直线l经过A、C两点．

(1)求直线l的函数表达式；
(2)如图2，若点D是的中点，E是直线l上的一个动点，求使取得最小值时点E的坐标．
(3)若P是直线l上的一个动点，请直接写出当是等腰三角形时点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)，，
【分析】（1）先确定出点，的坐标，进而利用待定系数法即可得出结论；
（2）利用正方形的性质确定出点的位置，利用待定系数法确定出性质的解析式，联立直线的解析式，即可求出点的坐标．
（3）设出点坐标，进而利用等腰三角形的性质，建立方程求解即可得出结论；
【详解】（1）解：由题意知，，，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
（2）解：如图，四边形是正方形，
点与点关于直线对称，连接交直线于，此时最小，最小值为，
点是的中点，
点，
，
直线的解析式为①，
直线的解析式为②，
联立①②解得，，，
，．
（3）解：由（1）知，直线的解析式为，
设点的坐标为，
，，
，，，
是等腰三角形，
①当时，，
或（和点重合，所以舍去），
，
②当时，，，
，或，，
③当时，，
，
，
即：点的坐标为或，或，或；
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，待定系数法，两直线交点的确定方法，利用方程或方程组的思想解决问题是解本题的关键．
2．（23-24八年级下·重庆·期中）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点．且经过定点，直线与交于点．
(1)求的面积；
(2)在轴上是否存在一点，使的周长最短？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由：
(3)平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标（并请写出求出其中一个点的过程）．
【答案】(1)6
(2)存在，点E的坐标为
(3)存在，点Q的坐标为或或
【分析】（1）利用待定系数法求得两直线的解析式，再求得点A和点D的坐标，根据三角形面积公式即可求解；
（2）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则的周长最短，先求得直线的函数解析式，即可求得点E的坐标；
（3）根据平行四边形的对边平行且相等，分为平行四边形的边和平行四边形的对角线两种情况讨论，结合点坐标的平移即可求解．
【详解】（1）∵直线与x轴交于点A，且经过定点，
∴，
解得：，
∴直线．
∵直线经过点，
∴，
∴，
把代入，得到．
∴，
对于直线，令，得到，
∴，
∴．
对于直线，令，得到，
∴，
∴．
∵，
∴；
（2）解：在x轴上存在一点E，使的周长最短．
如图，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则的周长最短．
根据轴对称图形的性质可知的坐标为．
设直线的函数解析式为．
将代入，得
，
解得，
∴直线的函数解析式为．
令，得到，
解得，，
∴点E的坐标为．
（3）解：，，，
，
当为平行四边形的边时，，
∴
∴点的横坐标为：或，
点Q的坐标为或，
当为平行四边形的对角线时，，
点C向右平移2个单位，向下平移2个单位到点A，
则点D向右平移2个单位，向下平移2个单位到点Q，
∴点Q的坐标为，即；
综上，点Q的坐标为或或．
【点睛】本题考查的是一次函数的交点问题，轴对称图形的性质，坐标与图形面积，平行四边形的性质等知识，第二问利用轴对称的性质找到点E的位置是解题的关键，第三问利用平行四边形的性质和点坐标的平移是解题的关键．
3．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴于点，交轴于点．
(1)如图1，求点，点的坐标；
(2)如图2，直线（为常数且）交轴于点，交轴于点，，求的面积关于的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，将直线向下平移个单位长度，得到的直线与直线交于点，点在轴上，点在直线上，当为等腰直角三角形时，求点的坐标．
【答案】(1)；
(2)
(3)点坐标或或或
【分析】本题考查了一次函数综合，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．
（1）分别把，代入，求出对应y和x的值，即可解答；
（2）易得，根据勾股定理求出，再求出，根据，即可解答；
（3）先求出，则直线的解析式为，然后进行分类讨论：①当时，令直线与y轴相交于点H，通过证明，即可解答；②当时，过点Q作轴于点M，通过证明，即可解答；③当时，此情况不存在，舍去．
【详解】（1）解：把代入得：，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴根据勾股定理可得：，
∴，
把代入得：，
∴
把代入得：，
解得：，
∴，
∴，
∴，
即；
（3）解：由（2）可得：直线的函数解析式为，
∴将直线向下平移个单位长度得到的函数解析式为，
联立得：，
则，
由图可知，直线与直线不平行，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴直线轴，
则直线的解析式为，
∵，
∴，
①当时，令直线与y轴相交于点H，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴或，
∴或；
②当时，过点Q作轴于点M，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴或；
③当时，此情况不存在，舍去．
综上：点坐标或或或．
4．（2024八年级下·天津·专题练习）已知直线（k，b为常数，）分别与x轴，y轴交于点，点．
(1)求该直线的解析式；
(2)若点C是y轴上一点，且的面积．
①求点C的坐标；
②当点C在y轴的负半轴上时，是否存在点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①C的坐标为或；②存在，点D的坐标为或或
【分析】本题是一次函数的综合题，考查待定系数法，三角形面积，平行四边形的性质及应用等，利用平行四边形的性质解决问题是解题的关键．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）①设，，可得，即可解得C的坐标；
②设，分三种情况：（ⅰ）如图，当四边形是平行四边形时；（ⅱ）如图，当四边形是平行四边形时；（ⅲ）如图，当四边形是平行四边形时，分别求解即可．
【详解】（1）解：将，点代入得
，解得，
∴该直线的解析式；
（2）①如图：
设，，
∵的面积是，
∴，
解得或，
∴C的坐标为或；
②当点C在y轴的负半轴上时，点．
设点D的坐标为．
（ⅰ）如图，当四边形是平行四边形时，
有，．
由平移知，，．
此时点D的坐标为．
（ⅱ）如图，当四边形是平行四边形时，
有，．
由平移知，，．
此时点D的坐标为．
（ⅲ）如图，当四边形是平行四边形时，
有，．
由平移知，，．
此时点D的坐标为．
综上，存在点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．点D的坐标为或或．
5．（2024·河北·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，直线与轴，轴交于点，点，与交于点，连接，已知的长为4．
(1)求点的坐标及直线的解析式；
(2)求的面积；
(3)若直线上有一点使得的面积等于的面积，直接写出点的坐标．
【答案】(1)；直线的解析式为
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了一次函数的性质及三角形面积的计算．
（1）把代入，即可求出坐标，再根据点和用待定系数法即可求出函数解析式；
（2）先求出，再根据图象即可求解；
（3）设，根据或即可求解；
【详解】（1）解：∵，
∴将点代入得，
∴；
∵的长为4，
∴，
设直线的解析式为，
将点和代入得：
，
解得：，
故直线的解析式为；
（2）令，得，
∴，
∴．
（3）根据题意得：，
设，
令，得，
∴，
如图：
，
解得：，
或，
解得：，
故或．
6．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线交轴于点，交轴于点．直线与直线相交于点，交轴于点，交轴于点．

(1)直接写出点B和点D的坐标；
(2)若点是直线在第四象限内的一个动点，设点的横坐标是，的面积是，求与之间的函数关系；
(3)在（2）的条件下，当时，在平面直角坐标系内存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)点的坐标为或或．
【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了三角形的面积的计算方法，平行四边形的性质，解（2）掌握三角形的面积的计算方法，解（3）的关键是分类讨论的思想解决问题．
（1）利用轴上的点的坐标特征即可得出结论；
（2）先求出点的坐标，再用三角形的面积之和即可得出结论；
（3）分三种情况利用对角线互相平分的四边形是平行四边形和线段的中点坐标的确定方法即可得出结论．
【详解】（1）解：点是直线与轴的交点坐标，
，
点是直线与轴的交点坐标，
；
（2）解：如图1，直线与相交于，
，
，，
，
点是直线在第四象限内的一个动点，
，
，
（3）解：如图2，

由（2）知，，
当时，，
，
，
①当是对角线时，取的中点，连接并延长取一点使，
设，
，，
的中点坐标为，
，
，，
，，
，
②当为对角线时，同①的方法得，；
③当为对角线时，同①的方法得，；
即：满足条件的点的坐标为或或．
7．（23-24八年级下·山东济南·期中）如图，一次函数的图象分别与x轴和y轴相交于A、C两点，且与正比例函数的图象交于点．
(1)求m，n的值；
(2)当时，直接写出自变量x的取值范围；
(3)在y轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）先把点代入求得，再把点代入求n得值即可；
（2）根据图象求解即可；
（3）作点A关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，此时，的值最小，利用待定系数法全等直线的解析式，令，求得y的值即可．
【详解】（1）解：把点代入得，，
∴，
把点代入得，，
解得；
（2）解：由图可得，当时，；
（3）解：如图，过点A作关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，
把代入得，，
解得，
∴，
由对称的性质可得， ，，
∴，
∴当点A、P、B三点共线时，的值最小，
设直线的解析式为，
把、代入得，
，
解得，
∴直线的表达式为，
把代入得，，
∴．
【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数解析式、最值问题、轴对称的性质、一次函数与一元一次不等式及一次函数的图象，利用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
8．（23-24八年级下·四川眉山·期中）如图，在平面直角坐标系中，点P是直线上一动点，点A在y轴上，且点A坐标为，连结．
(1)若恰好是以为底边的等腰三角形，求此时点P坐标；
(2)动点P在直线运动过程中，是否存在最小值，若存在最小值，求的最小值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)P（，）
(2)存在，13
【分析】本题考查了一次函数点的坐标特征，等腰三角形的性质，线段最短问题，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．
（1）过点P作于B，由等腰三角形的性质可得，得出，再进行求解即可；
（2）作点O关于直线的对称点，点P运动至三点共线时，最小，据此求解即可．
【详解】（1）当恰好是以为底边的等腰三角形时，如图，过点P作于B，
则有，
∵，
∴，
此时P的纵坐标为，
∴，
∴此时所求点P坐标为（，）．
（2）动点P在直线运动过程中，存在最小值．
如图，作点O关于直线的对称点，
则有，
在中，令，得，令，得，
直线与x轴交点为，，
直线与x轴及y轴围成的三角形是等腰直角三角形，
∵点O关于直线的对称点，
，
∵，当点P运动至三点共线时取等号，
∵，
∴的最小值为13，
即的最小值为13．
9．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，顶点、在坐标轴上，，将沿折叠，使点落在对角线上的点处．
(1)求点的坐标；
(2)动点从点出发，沿折线方向以5个单位/秒的速度匀速移动，到终点停止，设运动时间为，的面积为，求出与的关系式，并写出的取值范围；
(3)在（2）的条件下，当时，在平面内是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，若存在；请直接写出点坐标，若不存在请说明原因．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，，，
【分析】本题考查了一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质，勾股定理、平行四边形的性质，面积的计算等：
（1）由翻折可知，，,设, 在 ，根据，构建方程求出x即可解决问题；
（2）分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可解决问题；
（3）点有二种情况：当为边时，当为对角线时，分别求解即可；
其中（2）（3），要注意分类求解，避免遗漏．
【详解】（1）解：的坐标，
则：，，
在中，根据勾股定理得：，
将沿折叠，使点落在对角线上的点处，
，，
，
设,则,
在中，由勾股定理得：,
即,
解得,
．
（2）过点作于点，
根据三角形面积可得，，
∴，
故点的横坐标为，
即：，
正比例函数经过，
，
，
，
，
①当点在段时，即：，
如图：过点作于点，
，
，
，
②当点在段时，如下图，过点作于点，
，
，，
，
综上所述：．
（3）由（2）知，点，
当时，则点，
而点,设点，
①当为边时，
点向右平移个单位得到点，同样点向右平移个单位得到点，
即且，
解得或，
故点的坐标为或；
②当为对角线时，
由中点公式得且，
解得，
综上点的坐标为或或．
10．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点，经过点C的直线与x轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)点G是线段上一动点，连接，若把分成两个三角形，且满足，求点G的坐标；
(3)已知D为的中点，点E是平面内一点，当是以为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点E的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点E的坐标为或或或
【分析】（1）根据题意，求得点C的坐标，结合B的坐标，利用待定系数法求解析式即可；
（2）求出，设，根据得到，根据三角形的面积即可求得的值，进而求得G点的坐标；
（3）分类讨论：①当点D为直角顶点时，②当点C为直角顶点时，根据等腰直角三角形以及全等三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵直线与x轴，y轴分别交于点，
∴令，则，解得，
令，则，
∴，，
设直线的解析式为，
∵直线过点，，
，解得，
∴直线的解析式为，
（2）解：如图，
∵，，，
，，
，
设，
当，即时，
由可得，
，
；
（3）解：，D为的中点，
∴，
①当点D为直角顶点时，如图，过点D作轴于点F，过点E作于点G，交x轴于点H
，
是等腰直角三角形，
，，
，
∴
，
，，
∵，，
， ， ，
， ，
，
同理可得 ，
∴点E的坐标为或
②当点C为直角顶点时，如图，过点作轴于，过点E作轴于，
同①可得，
，，
∵，，
，，，
，
，
同理可得．
综上所述，点E的坐标为或或或．
【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、等腰直角三角形的性质、三角形的面积及分类讨论思想等．在(1)中注意待定系数法的应用步骤，在(2)中利用三角形的面积公式是解题的关键，在（3）中确定出E点的位置是解题的关键．
11．（23-24八年级下·四川内江·期中）在平面几何中，我们学过两条直线垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们垂直的定义：设一次函数的图象为直线，一次函数的图象为直线，若，我们就称直线与直线互相垂直，如直线与直线，因为，所以相互垂直．根据以上定义内容，解答下面的问题：
(1)求过点且与已知直线垂直的直线的函数表达式，并在如图所示的坐标系中画出直线的图象．
(2)求（）问中的两条直线与轴所围的三角形的面积；
(3)已知点，点，分别是（）问中直线和轴上的动点，求出周长的最小值．（不化简根式）
【答案】(1)，画图见解析
(2)
(3)
【分析】（）根据垂直的定义设直线的解析式为，利用待定系数法即可求出的解析式，再求出直线与轴的交点坐标，即可画出直线的图象；
（）求出直线与轴和轴的交点坐标，画出直线的图象，再求出两条直线的交点坐标，最后结合图形，即可求出与轴所围的三角形的面积；
（）作点关于直线的对称点，再作点关于轴的对称点，连接，与直线交于点，与轴交于点，连接，得到，此时的周长最小，最小值为，根据垂直的定义求出线段的函数解析式，再求出直线与线段的交点坐标，利用中点坐标公式求出点坐标，再利用勾股定理求出，即可得到周长的最小值；
本题考查了两条直线垂直的定义，一次函数，一次函数的交点问题，轴对称最短路径问题，中点坐标公式，勾股定理，理解两条直线垂直的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
把代入得，，
∴，
∴直线的解析式为，
∴直线过点，
画图如下：
（2）解：由得，当时，；当时，；
∴直线过点和，如图，
由得，，
∴两条直线的交点坐标为，
∴两条直线与y轴所围的三角形的面积为；
（3）解：作点关于直线的对称点，再作点关于轴的对称点，连接，与直线交于点，与轴交于点，连接，得到，此时的周长最小，最小值为，
∵线段与直线垂直，
∴设线段的函数解析式为，
把代入得，，
∴，
∴线段的函数解析式为，
由得，，
∴直线与线段的交点坐标为，即线段的中点坐标为，
设点坐标为，则有，，
解得，，
∴，
又由对称可得，点的坐标为，
∴由勾股定理得，，
∴周长的最小值为．
12．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴正半轴于点B．直线交y轴负半轴于点C，．
(1)求直线的函数表达式和的面积；
(2)若点P为直线（不含A，B两点）上一点，连接，若的面积为7，求点P的坐标；
(3)若点P为射线（不含A，B两点）上一点，M为线段延长线上一点，且，在直线上是否存在点N，使是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出每种等腰直角三角形对应顶点P、N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，10
(2)或
(3)或或
【分析】（1）把代入求出一次函数解析式为，得到，根据，求出，根据待定系数法求出函数解析式，根据三角形面积公式求得；
（2）设点P的坐标为，根据，的面积为7，得出点P在线段或在线段的延长线上，然后分两种情况分别列出方程，解方程即可；
（3）分三种情况：当N点在轴下方，点P在上，时，当点P在线段上，点在x轴上方，时，当点P在的延长线上时，点在x轴上方，时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】（1）解：把代入得：，
解得：，
把代入得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为：，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为；
．
（2）解：设点P的坐标为，
∵，的面积为7，
∴点P在线段或在线段的延长线上，
∴，
∴，
当点P在线段上时，，
即，
解得：，
∴，
∴此时；
当点P在线段的延长线上时，，
即，
解得：，
∴，
∴此时点；
综上分析可知，点P的坐标为：或．
（3）解：当N点在轴下方，点P在上，时，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵是以为直角边的等腰直角三角形，，
∴，，
设，，
过P点作直线轴，作，，
∴，
∴，
在与中，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
在与中，，
∴，
∴，，
∴，作，则，
∴，
∵，
∴，
∴M在直线AB上，
∴
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
当点P在线段上，点在x轴上方，时，如图所示：
此时，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴此时点与关于对称，
则，即，
此时；
当点P在的延长线上时，点在x轴上方，时，如图所示：
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
根据上一种情况可知，此时点的坐标仍然为，点的坐标与上一种情况中点M的坐标相同，即此时点的坐标为；
综上分析可知：存在或或使是以为直角边的等腰直角三角形．
【点睛】此题考查一次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，直线所成三角形的面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定及性质，中心对称的点的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
13．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线经过点且交轴正半轴于点，已知．
(1)点的坐标是 ，直线的表达式是 ．
(2)若点为线段上一点，且满足，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形？如存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
(3)点为线段中点，点为轴上一动点，以为直角边作等腰直角，当点落在直线上时，求点的坐标．
【答案】(1)，；
(2)存在，点坐标为或；
(3)点坐标为或．
【分析】（1）由，，可得，待定系数法求表达式即可；
（2）由，点G为线段上一点，可得，待定系数法求的表达式为；则的表达式为，联立求得，待定系数法求直线的表达式为，设，，由题意知，
分①当分别为对角线时，②当分别为对角线时，③当分别为对角线时，三种情况，根据中点坐标相同进行求解即可；
（3）由题意知，，设，如图，分当在点上方，当在点下方两种情况求解；①当在点上方，如图，过作于，于，证明，则，代入，求的值，可得点坐标，②当在点下方，如图，同理①，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵，，点在轴正半轴上，
∴，
把，代入得，
，
解得，
∴直线的表达式为，
故答案为：，；
（2）解：存在，理由：如图，连接，
∵，则，
设直线的解析式为，
把，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
∴直线的表达式为，
联立直线和的表达式得，
，
解得，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
设，，
∵点B，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形，
∴分①当分别为对角线时，②当分别为对角线时，③当分别为对角线时，三种情况求解：
①当分别为对角线时，的中点坐标为，
的中点坐标为，
∴，
解得，，即；
②当分别为对角线时，的中点坐标为，
的中点坐标为，
∴，
解得，
∴；
③当分别为对角线时，的中点坐标为，的中点坐标为，
∴，同①，
综上，存在，点坐标为或；
（3）解：由题意知，，设，
如图，分当在点上方，当在点下方两种情况求解；
①当在点上方，如图，过作于，于，

∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
将代入得，，
解得，，
∴；
②当在点下方，如图，
同理①可得，∴，
∴，
将代入得，，
解得，，
∴；
综上所述，点坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数解析式，平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，两直线的交点坐标，等腰三角形的性质．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．
14．（23-24八年级下·江西南昌·阶段练习）如图，矩形的顶点在原点上，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，直线的解析式为．
(1)求点，，的坐标．
(2)连接交于点，是轴上一动点，求周长的最小值．
(3)若横坐标、纵坐标都是整数的点叫作格点．现将直线向上平移（）个单位长度后记为直线，当直线与坐标轴围成的三角形区域中（不含边界）有且只有四个格点时，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【分析】（1）根据一次函数解析式分别令求得的坐标，根据矩形的性质求得点的坐标；
（2）根据轴对称的性质求线段和的最值，作关于轴的对称点，连接交轴于点，进而求得周长最小值为，进而勾股定理，即可求解；
（3）根据题意，观察坐标系中符合题意的4个点的位置，进而根据临界位置求得的值．
【详解】（1）解：∵直线的解析式为
当时，，当时，
∴，，即
∵四边形是矩形，
∴
∴
（2）解：如图所示，
作关于轴的对称点，连接交轴于点，
∴，则的周长最小
∵，是的交点，
∴，
∴的周长为
（3）解：如图所示，
设平移后的解析式为
当在上时，
∴，
解得：，
∵当直线与坐标轴围成的三角形区域中（不含边界）有且只有四个格点
∴
当经过点时，，解得：
综上所述，的取值范围为
【点睛】本题考查了坐标与图形，一次函数与几何图形，轴对称的性质，勾股定理求两点距离，一次函数的平移，熟练掌握以上知识是解题的关键．
15．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，四边形是矩形，点A，C别在x轴，y轴上，点B的坐标是，的平分线与x轴交于点E．
(1)求线段的长；
(2)求直线的解析式；
(3)连接，交于点F，连接，点N是平面内任意一点；
①求出所在直线的解析式及点F坐标；
②在x轴上是否存在点M，使得以O，F，M，N为顶点且以为边的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)5
(2)
(3)①，点F坐标为；②存在，点M的坐标为或或
【分析】（1）对运用勾股定理求解即可；
（2）先证明，设，则，，
在中，由勾股定理得，求出点，而点，即可求直线的表达式；
（3）①待定系数法求直线表达式，交点只需联立两条直线表达式，解方程组即可；
②分类讨论：以为边；以为对角线，两种情况，根据菱形的四条边相等即对角线垂直的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题知，在矩形中，点B的坐标是，
∴，，，
∴；
（2）解：解：过点E作，
∴
∵平分，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，，
∴，，
设，则，，
在中，，
即，
解得，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：；
（3）解：①在矩形中，点B的坐标是，
∴，，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵直线和直线交于点F，
∴，
解得：，
∴，
②当、都为菱形的边时，如图：
，
∴或；
②当为菱形的边，为菱形对角线时，如下图，

∴，
∴，
综上，满足条件的点m的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查一次函数的综合题，涉及矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，一次函数的性质，以及用待定系数法求解析式等知识点，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
16．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图1，已知矩形的顶点A在正比例函数位于第一象限的图象上，顶点D在正比例函数位于第一象限的图象上，点B、C在x轴的正半轴上，且满足．

(1)试求k的值：
(2)当时，点P是函数位于第一象限图象上的一个动点，若为等腰三角形，求点P的坐标：
(3)如图2，当时，点E、F为边上的两个动点，且，试问：是否存在点E使四边形的周长最小？若存在，试求点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或或；
(3)存在，
【分析】（1）设，结合，可得，再利用正比例函数的性质可得答案；
（2）如图，当，由（1）得：，，此时，可得，，则，分三种情况：当时，过作于，如图，当时，如图，当时，过作交轴于，过作于，再进一步求解即可；
（3）如图，作关于的对称点，则， 即，连接，过作交于，则四边形为平行四边形，当三点共线时，，此时最短，此时四边形的周长最短，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：∵点A在正比例函数位于第一象限的图象上，
∴设，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵顶点D在正比例函数位于第一象限的图象上，
∴，
解得：；
（2）如图，当，由（1）得：，，
∴此时，
∴，，则，
当时，过作于，
∴，
∴，
∴，
如图，当时，
而直线为，设，
∴，
∴，负值舍去
∴，
如图，当时，过作交轴于，过作于，
设，，而，
由勾股定理可得：，
即，
解得：，即，
设直线为，
∴，解得：，
∵，
设为，
∴，
∴，
∴直线为，
∴，解得：，
∴，
∵，，
∴，
∴；
综上：或或；
（3）存在，理由如下：
如图，作关于的对称点，则， 即，
连接，过作交于，
则四边形为平行四边形，
∴，，则，
当三点共线时，，此时最短，
此时四边形的周长最短，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，正比例函数的应用，勾股定理的应用，等腰三角形的定义与性质，化为最简二次根式，清晰的分类讨论，作出合适的辅助线是解本题的关键．