第21讲 圆心角（7类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新九年级数学新教材人教版含答案

这是一份第21讲 圆心角（7类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新九年级数学新教材人教版含答案，共19页。试卷主要包含了圆的对称性，弧、弦、圆心角， 理解圆心角定理的推论等内容，欢迎下载使用。
内容导航
01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 由圆心角、弧、弦的关系判断结论正误
题型2 由圆心角、弧、弦的关系求长度
题型3 由圆心角、弧、弦的关系求角度
题型4 由圆心角、弧、弦的关系求弧度
题型5 由圆心角、弧、弦的关系求周长
题型6 由圆心角、弧、弦的关系求面积
题型7 由圆心角、弧、弦的关系证明
04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
知｜识｜框｜架

知｜识｜精｜讲

知识点01 圆心角
1.圆的对称性
（1）圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线．
（2）圆是中心对称图形，对称中心是圆心．
2.弧、弦、圆心角
（1）顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分成360等分，每一份的弧对应1的圆心角，我们也称这样的弧为1的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．
（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．
【易错提醒】
圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角。同圆或等圆中，相等圆心角对等弦、等弧。易错：缺少同圆或等圆前提，结论不成立
即时即练1．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，，下列说法一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据圆心角，弧，弦的关系判断即可．
【详解】解：∵，
，，，．
2．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，，．则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由，得，则，由得，则，由，得，即可由求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴点O在AB上，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，是⊙O的直径，点D是的中点，，则∠BAC的度数为________°．
【答案】
【分析】根据题意，则，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出即可．
【详解】解：∵是⊙O的直径，
又∵点D是的中点，
∴是整圆的，即，
∴，
∵，
∴．
题型1 由圆心角、弧、弦的关系判断结论正误
【例1】（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，D、E分别是半径，的中点，连接，，，，，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．熟练掌握弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
由，D、E分别是半径，的中点，可得，由，可得，可判断A的正误；证明，则，，证明，则，可判断B的正误；证明，则，可判断C的正误；由题意知，当时，，可判断D的正误．
【详解】解：∵，D、E分别是半径，的中点，
∴，
∵，
∴，A正确，故不符合要求；
又∵，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，B正确，故不符合要求；
∵，，，
∴，
∴，C正确，故不符合要求；
由题意知，当时，，D错误，故符合要求；
故选：D．
【例2】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，分别为的两条弦，于M，于N，且，则下列结论中，正确的个数为（ ）
①；②；③．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦及弦心距的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦及弦心距四者之间的关系是解题的关键．结合已知条件，根据“在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等”得到与之间的关系；根据圆心角、弧、弦及弦心距四者之间的关系即可得到弦与，弦心距与的数量关系，进而得出正确选项．
【详解】解：∵分别为的两条弦，，
∴，故③正确；
∵，于M，于N，
∴，故①②正确．
综上可知，正确的有3个．
故选：D．
【技巧归纳】
先确认是否在同圆或等圆中，满足前提才可一组量相等推其余三组相等，缺少前提则命题错误，逐条核对条件判断对错
【变式1-1】（25-26九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图， 、是的两条弦，且．，， 垂足分别为点M、N，、的延长线交于点P，连接，下列结论①弧=弧； ②； ③； ④，正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题．
连接、，只要证明，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接、；
∵，
∴，故①正确
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确，
∵，
∴，
∴，，故④正确，
∵，
∴，故③正确，
故选：D．
【变式1-2】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，是半圆的直径，是半圆弧的中点，和均内接于半圆，分别连结、交于点、．若是的中点，给出下面四个结论：
①；②；③；④．
上述结论中，正确结论的序号有 ．
【答案】①②④
【分析】①根据点是弧的中点得，由此可对结论①进行判断；②证明，由此可对结论②进行判断；③连接，根据点是的中点，得，由此可对结论③进行判断；④连接，根据是半圆弧的中点，得垂直平分，所以，由此可对结论④进行判断．
【详解】解：①∵点是的中点，
，
∴，故①正确；
②∵是半圆的直径，
，
，
是半圆弧的中点，
，
，
，
，
，
，故②正确；
③如图，连接，
∵点是的中点，是半圆弧的中点，
∴，
∵，
，
∴，故③错误；
④如图，连接，
∵是半圆弧的中点，
∴垂直平分，
∴，
在中，根据勾股定理：，
∴，故④正确；
综上所述：正确结论的序号有①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系，勾股定理等知识点，熟练掌握圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系是解决问题的关键．
题型2 由圆心角、弧、弦的关系求线段长度
【例3】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，半径为5的中，弦所对的圆心角分别是，若°，则弦的长等于（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理．作直径，连接,先利用勾股定理求得的长，再利用等角的补角相等得到，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等求得答案．
【详解】解：作直径，连接, 如图,
则，，
∴，
，
，
，
故选: A．
【例4】（24-25九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，半径为2的的弦，且于点E，连接，则的长为（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】A
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，连接，根据，可得，所以，由，可得，所以，即可求出．
【详解】解：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选： A．
【技巧归纳】
先判定为同圆或等圆，利用圆心角、弧、弦等量互推，得到弦相等，再结合垂径定理与勾股定理计算对应线段长度
【变式2-1】（24-25九年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，则的长为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了垂径定理和圆周角定理，设交于E，根据垂径定理求出，，根据圆周角定理求出，解直角三角形求解即可．
【详解】解：设交于E，如图：
∵，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：6
【变式2-2】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，内接于，A为劣弧的中点，，为的直径，连接，若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系．先根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，接着根据圆周角定理得到，，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系求出，从而得到的长．
【详解】解：为劣弧的中点，
，
，
，
，
为的直径，
，则
在中，，
∴，
．
故答案为：．
题型3 由圆心角、弧、弦的关系求角度
【例5】（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交、于点D、点E，则弧的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆心角，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆心角的定义；先求出，再根据等腰三角形的性质求出，即为弧的度数，即可得解．
【详解】解：，
，
，
，
，
弧的度数为，
故选：．
【例6】（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系,掌握相关知识是解决问题的关键。连接、，如图，利用等腰三角形的性质得，，则根据三角形内角和定理得到，，则，于是得到的度数为．
【详解】解：连接、，如图，
，，
，，
，，
，
∴的度数为．
故选：B．
【技巧归纳】
先确认是同圆或等圆，借助弧、弦、圆心角互相等量转化，再结合圆周角性质、三角形内角关系，逐步推导求出对应角度
【变式3-1】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点、、、在上，且，．则的周长为 ．
【答案】9
【分析】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定，熟练掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键．根据同弧所对的圆周角相等得到，进而推出是等边三角形，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴的周长为．
故答案为：9．
【变式3-2】（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．连接，如图，先根据三角形内角和计算出，再根据等腰三角形的性质由得到，然后再利用三角形内角和计算出，最后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数求解．
【详解】解：连接，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的度数为，
故答案为：．
题型4 由圆心角、弧、弦的关系求弧度
【例7】（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，是的直径，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了弧、圆心角的关系，先求出，然后根据弧、圆心角的关系求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【例8】（25-26九年级上·浙江舟山·期中）如图，内接于，是的直径．若，的度数为70°，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆心角定理，等腰三角形的判定及性质等；由弧的度数得，由等腰三角形的判定及性质得，即可求解．
【详解】解：连接，
的度数为，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
【技巧归纳】
先确定同圆或等圆，利用弦、圆心角相等推出对应弧度数相等，结合已知角度换算，逐步算出目标弧的度数
【变式4-1】如图，由圆盘和挂绳，组成挂饰，，分别与相切于点，．若，则的度数为_____．
【答案】
【分析】连接、，根据切线的性质可得，结合，即可求解．
【详解】解：如图，连接、，
，分别切于点，，
，
，
，即的度数为．
【变式4-2】如图，的弦的延长线相交于点P，， 则的度数为________．
【答案】70
【分析】本题主要考查了圆周角定理和三角形的外角定理，熟练掌握圆周角定理和三角形的外角定理是解题的关键．
连接，由圆周角定理和三角形的外角定理得到，即可求解，再由即可求解．
【详解】解：连接，
∵，
∴
∵，
∴，
∴
∴的度数为，
故答案为：．
题型5 由圆心角、弧、弦的关系求周长
【例9】（2024九年级下·全国·专题练习）如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧，若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是（ ）
A．9B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查等边三角形的性质、弧长公式，根据等边三角形的性质得到，利用弧、弦的关系和弧长公式求得的长，进而可求解．
【详解】解：如图，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴该“莱洛三角形”的周长是．
故选：B．
【例10】（2024·陕西西安·模拟预测）如图的弦，且于，连接，若，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接AB、OA、OD，然后由弦与弧的关系，求出，得到，再根据勾股定理求出半径，即可得到答案．
【详解】解：连接AB、OA、OD，如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在直角△AOD中，设OA=OD=R，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴圆的周长为：；
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．
【技巧归纳】
利用同圆或等圆中等弦、等弧、等圆心角互相转化，求出各段弧度数，套用弧长公式算出弧长，相加得到图形周长
【变式5-1】（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，扇形中，，，为弧的中点，点为上一动点，连接，当阴影部分周长最小时，等于 ．
【答案】/
【分析】本题考查了求正切，与圆有关的计算，轴对称的性质如图，利用轴对称的性质，得出当点移动到点时，阴影部分的周长最小，进而根据等腰三角形的性质得出，进而根据轴对称的性质，即可求解．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接、，
由对称可知，，，
∵，当点移动到点时，取等号，此时最小，
∵为弧的中点，
∴AC=BC，则，
，
又，
，
，
由轴对称可知，，
，
当阴影部分周长最小时，，则 ．
故答案为：．
【变式5-2】（2024·河南驻马店·三模）如图，在扇形中，，，C为的中点，为上一点，且，连接，，在绕点旋转的过程中，当取最小值时，的周长为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查圆中最值问题，等边三角形的判定以及勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
判断出在的旋转过程中，三点共线时，最短，得出是等边三角形，由勾股定理求出，即可解决问题．
【详解】解：∵，
，
∵为的中点，
，
在绕点旋转的过程中，当三点共线时，的值最小，如图，
，
∴AD=23AB，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∵为的中点，
∴，
由勾股定理得，，
∴的周长，
故答案为：．
题型6 由圆心角、弧、弦的关系求面积
【例11】（24-25六年级下·上海·单元测试）如果一个半径为 厘米的圆的面积恰好与一个半径为 厘米的扇形面积相等．那么这个扇形的圆心角度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了圆和扇形的面积计算.
设这个扇形的圆心角度数为，利用圆和扇形的面积公式得出方程，求解即可．
【详解】解：设这个扇形的圆心角度数为，
由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【例12】（2024七年级上·全国·专题练习）如图中有大小两个等腰直角三角形，已知阴影部分的面积是50cm2，环形的面积是 ．

【答案】157平方厘米
【分析】根据图形可知，大三角形的面积等于大圆的直径乘大圆的半径除以2，小三角形的面积等于小圆的直径乘小圆的半径除以2，阴影部分的面积等于大三角形的面积减小三角形的面积，等于大圆半径的平方减小圆半径的平方，圆环的面积等于大圆的面积减小圆的面积，据此解答即可。
【详解】解：设大圆的半径为R，小圆的半径为r.
，
环形的面积是：
（平方厘米）
所以环形的面积是157平方厘米.
故答案为：157平方厘米
【点睛】本题考查了圆的性质，圆心角、弦、弧之间的关系，的圆心角所对的弦是直径，等腰三角形的性质等知识，正确理解圆的有关性质是解题的关键.
【技巧归纳】
利用同圆或等圆中弧、弦、圆心角等量转换，确定扇形圆心角，代入扇形面积公式计算，再拼接或作差求解整体图形面积
【变式6-1】（23-24九年级下·浙江温州·期中）如图，点A，B，C，D，E，F都在上，且．若的半径为4，则的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是垂径定理、圆心角、弧、弦的关系定理，根据圆心角、弧、弦的关系的关系求出是解题的关键．连接、，交于H，根据圆心角、弧、弦的关系的关系求出，解直角三角形分别求出，，再根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：如图，连接、，交于H，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：
【变式6-2】（2025·陕西渭南·一模）如图，半圆的直径长为16，点C，D是半圆的三等分点，连接，，过点C作，垂足为E，求图中阴影部分的面积．
【答案】
【分析】本题考查同弧或等弧所对的圆周角（圆心角）相等、等边三角形的判定与性质、解直角三角形及求扇形面积，熟练掌握相关知识点是解题关键．根据点C，D是半圆的三等分点得出是等边三角形，，根据“三线合一”的性质得出，利用的三角函数得出，根据即可得答案．
【详解】解：如图，连接、，
∵半圆的直径长为16，点C，D是半圆的三等分点，
∴，，，
∴是等边三角形，，
∵，
∴，
∴，
∴．
题型7 由圆心角、弧、弦的关系证明
【例13】（25-26九年级上·浙江舟山·期中）如图，已知在中，两条弦和交于点，且，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了圆的基本性质，根据在同圆中，等弦所对的弧相等，等弧对的弦相等证明即可．
【详解】证明：，
，
，
，
．
【例14】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，以为直径的分别交于点E，F．求证：．
【答案】见解析
【分析】此题主要考查了在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．
根据“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”证明即可．
【详解】证明：∵，
∴
∴ ，
∴，
∴，
∴．
【技巧归纳】
证明前先点明同圆或等圆前提，要证弦、弧、圆心角任一相等，可转化证明另一组等量，通过半径相等构造全等完成推导
【变式7-1】（24-25九年级下·广东中山·开学考试）如图，在中，半径分别交弦于点E，F，且．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查圆心角、弦、弧的关系，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键
（1）过O作于M，连接、，利用等腰三角形三线合一证明，，则问题可证；
（2）利用等腰三角形三线合一，可证明，，进行角的组合可证明，利用圆心角、弦、弧的关系，即可证．
【详解】（1）证明：过O作于M，连接、，
∵，，
∴，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，，
∴，，
∴，
∴，
．
【变式7-2】（25-26九年级上·江西赣州·期中）如图，已知，分别为半径，的中点，为的中点．
(1)求证：；
(2)若，，求面积．
【答案】(1)见解析
(2)的面积为
【分析】本题考查了圆的基本性质、全等三角形的判定与性质以及三角形的面积计算，熟练掌握圆的弧与圆心角的关系、全等三角形判定定理是解题的关键．
（1）通过连接辅助线 ，利用圆的半径相等及弧中点对应的圆心角相等，结合全等三角形的判定定理证明三角形全等，进而证得线段相等；
（2）先确定相关角的度数，结合勾股定理求出三角形的高，再利用三角形的面积公式计算面积．
【详解】（1）证明：连接，如图：
为的中点，
，
，分别为半径，的中点，，
，
在和中，
，
．
（2）解：如图：过点作于点，
，
，
在中，，，
，
由勾股定理得：，
．
一、单选题
1．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）下列结论正确的是（ ）
A．相等的圆周角所对的弦相等B．相等的弧所对的弦相等
C．相等的弦所对的弧相等D．相等的圆心角所对的弧相等
【答案】B
【分析】根据圆中弦、弧、圆心角、圆周角的关系逐一排除即可．
【详解】解：由于圆中弦、弧、角的等量结论大多需要“在同圆或等圆中”的前提才能成立，
、未指明同圆或等圆，相等的圆周角所对的弦不一定相等，故该选项错误，不符合题意；
、∵相等的弧是指能完全重合的弧，本身隐含同圆或等圆的条件，
∴相等的弧所对的弦一定相等，故该选项正确，符合题意；
、未指明同圆或等圆，且同圆中一条弦对应两条弧，相等的弦所对的弧不一定相等，故该选项错误，不符合题意；
、未指明同圆或等圆，半径不同时相等的圆心角所对的弧不相等，故该选项错误，不符合题意．
2．（2026·江西九江·一模）如图，在中，点是的中点，点D在上，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意得到，利用弧、弦、圆心角的关系即可得的度数．
【详解】解：∵点是的中点，
∴，
∵，
∴．
3．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，中，AB为直径，弦，若的度数是，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查弧的度数与圆心角的关系，平行线的性质，等腰三角形的性质，将弧的度数问题转化为圆心角的度数问题是解题关键．
先由的度数得到圆心角的度数，再利用平行线性质和等腰三角形性质求出圆心角的度数，从而得到的度数．
【详解】解：如图，连接、，
∵的度数是，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故的度数为．
故选：．
4．（2026·福建泉州·二模）如图，的弦AC、BD的延长线相交于点P，，若，则的度数是（）
A．B．120°C．D．
【答案】D
【分析】首先作于，作于，利用“等弦对等弦心距”得出 ，进而判定 平分 并求出 的度数，随后在四边形 中利用内角和算出 ，最后通过证明 实现角度转化，从而求得 的度数．
【详解】如图，作于，作于，
平分
∵在与中
∴
5．（2026·山西临汾·三模）如图，是的半径，是的中点，连接，点D在BC的延长线上．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用邻补角定义求出，根据等腰三角形性质求出 ，再利用弧中点性质得出，最后求和即可．
【详解】解：连接，
∵点D在BC的延长线上，
是的中点
．
二、填空题
6．（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）如图，AB为的直径，点、D是的三等分点，，则的度数为________．
【答案】/度
【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，由平角的定义可得，再根据弧与圆心角之间的关系可得，据此可得答案．
【详解】解：∵AB为的直径，，
∴，
∵点、D是的三等分点，
∴，
故答案为：．
7．（25-26九年级上·福建·期末）如图，AB是的直径，点，D依次在上，连接．若，则图中与相等的弧是______．
【答案】
【分析】此题考查等边对等角，三角形外角的性质、弧和圆心角之间的关系等知识．证明，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴与相等的弧是，
故答案为：
8．（2026·陕西西安·一模）如图，AB，为⊙O的直径，点为的中点，连接DE，BC，若，则的度数为_________．
【答案】
【分析】连接，首先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，进而可知，再根据“弧、弦和圆心角的关系”可得，然后在中，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：连接，如下图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
9．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，AD是的直径，已知，，，则CD的长为______．
【答案】
【分析】连接，由圆心角的性质可得，进而可判断是等边三角形，因此．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
10．如图，是的内接三角形，，点是劣弧中点，连接，，其中交于点，若，，则的长为______．
【答案】
【分析】证明，，求解，进一步可得答案．
【详解】解：∵点是劣弧中点，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
，
∴，
∵，
∴．
三、解答题
11．（25-26九年级上·上海静安·阶段检测）如图，已知在中，弦AC与弦BD相交于点，连接，若，求证：平分．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查同弧或等弧所对圆周角相等，等弧所对弦相等，全等三角形的判定和性质，掌握圆的基础知识，全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据同弧或等弧所对圆周角相等，等弧所对弦相等，可得，则，再证，可得，即平分．
【详解】解：连接AB、CD、、，
，，
，．
，
．
在和中
．
．
在和中
．
．
平分．
12．（25-26九年级上·新疆巴州·期末）如图，A，B，C，D是上的四个点，且．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】该题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，全等三角形的判定．
（1）根据得出，再根据等弧所对的圆心角相等即可证明；
（2）根据得出，根据得出，即可证明．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
13．（2026·上海徐汇·二模）如图，已知AB、CD为的两条弦，，连接、并延长交弦CD于点、，且．
(1)求证：；
(2)如果，求证：．
【答案】(1)
证明：连接
∵
∴
∵
∴
∴
∴，
∵
∴
∵
∴
∴；
(2)
证明：∵
∴
∵
∴
∴，
∵
∴
∵
∴，
∵
∴
∴AB=AC，
∴．
【分析】（1）连接，先证明，则，然后根据等边对等角以及三角形内角和定理证明，即可证明平行；
（2）先证明，再证明即可．
【详解】（1）略
（2）略
14．（2026·河南洛阳·三模）如图，AB是的直径，点在上．
(1)请用无刻度的直尺和圆规过点作的平行线，交于点D（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作图形中，连接CD，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】1）作交于点D，即可求解；
（2）根据平行线的性质得出，根据等边对等角得出，即可得出，进而得出，即可证明．
【详解】（1）解：如图所示，BD即为所求；
（2）解：如图所示，连接，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
15．如图，中，，是边上一点，以为半径作，分别与，交于，两点，与相切于点，连接，．
(1)求证：；
(2)试用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)证明：如图，连接，
∵是的切线，
∴
∵，
∴
∴
又∵
∴
∴
∴；
(2)，
证明：如图，连接，过点作于点，
∴
由（1）可得
又∵
∴
∴，
∵
∴，
∴
∴
∴，即
关键词
学习目标导航
圆心角、弧、弦、等对等定理、同圆或等圆、相互转化。
1. 理解圆心角的概念，能识别并指出图形中的圆心角。
2. 掌握圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
3. 理解圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。
4. 能运用圆心角定理及其推论进行简单的证明和计算，体会“弧、弦、圆心角”三者之间的关系。
学习重点：圆心角定理及其推论（“弧、弦、圆心角”三者关系），并能运用它进行简单的推理和计算。
学习难点：理解定理中“在同圆或等圆中”这一前提条件，以及如何将“弧、弦、圆心角”三者之间进行等价转化。