第19讲 过三点的圆（7类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新九年级数学新教材人教版含答案

这是一份第19讲 过三点的圆（7类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新九年级数学新教材人教版含答案，共19页。试卷主要包含了三角形的外接圆与外心等内容，欢迎下载使用。
内容导航
01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 判断确定圆的条件
题型2 确定圆心（尺规作图）
题型3 确定圆的个数
题型4 画圆（尺规作图）
题型5 三角形的外接圆
题型6 求三角形外心坐标
题型7 求三角形外接圆的半径
04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
知｜识｜框｜架

知｜识｜精｜讲

知识点01 确定圆的条件
1.不在同一条直线上的三个点确定一个圆；
2.一个三角形能画一个外接圆，一个圆中有无数个内接三角形。
3.三角形的外接圆与外心
【易错提醒】
判断三点能否作圆先看是否共线，不共线三点唯一确定圆，可作垂直平分线找圆心算半径，已知圆心半径或直径端点也能快速定圆
即时即练1．下列语句所描述的事件是随机事件的是（ ）
A．任意画一个四边形，其内角和为
B．经过任意两点画一条直线
C．任意画一个平行四边形，是中心对称图形
D．过平面内任意三点画一个圆
2．一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（ ）
A．①B．②C．③D．都可以
3．如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是_____ ．
题型1 判断确定圆的条件
【例1】（25-26九年级上·北京·课后作业）下列条件中，只能确定一个圆的是（ ）
A．过定点A
B．过定点A、B，且半径为R
C．过不在同一直线上的三点
D．过不在同一直线上的四点
【例2】（25-26九年级上·北京·课后作业）下列条件中，能确定一个圆的是（ ）
A．以点O为圆心B．以为半径
C．以点O为圆心，为半径D．经过已知点M
【技巧归纳】
判定能否确定圆，先检验三点是否共线，不共线三点可定唯一圆；已知圆心半径、直径两端点也能直接定圆，逐一对照条件辨析即可
【变式1-1】（23-24九年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系内的点，， 确定一个圆（填“能”或“不能”）．
【变式1-2】（24-25九年级上·江苏南京·月考）若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则 ．
题型2 确定圆心（尺规作图）
【例3】（24-25九年级上·河南许昌·期末）熙熙的一面圆形镜子摔碎了，想配一面与原来大小相同的镜子，她想到的办法是：把三角板的30°顶点A放在圆上，将两边与圆的交点分别记为点B，C，如图所示，测量出弦的长就可以得到镜子的直径．经测量弦的长为，则该镜子的直径为（ ）

A．B．C．D．
【例4】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点、、，其中，点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（ ）

A．B．C．D．
【技巧归纳】
在圆上任取两条不平行弦，分别作它们的垂直平分线，两条平分线交点即为圆心，作图保留作图痕迹，规范作出圆弧与垂线辅助线
【变式2-1】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的半径为 ．
【变式2-2】（25-26九年级上·吉林·期中）图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点均是格点，的外接圆的圆心记为点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图．
(1)在图①中，标出圆心．
(2)在图②中，的外接圆上找出一点，使得．
(3)在图③中，的外接圆上找出一点，使得．
题型3 求确定圆的个数
【例5】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知，则过点，，且半径为的圆有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．无数个
【例6】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【技巧归纳】
先判断点是否共线，分组枚举三点组合，剔除共线不能定圆的情况，统计有效三点组数，即为可确定圆的总个数
【变式3-1】（23-24九年级上·全国·课后作业）过一点可以作 个圆；过两点可以作 个圆，这些圆的圆心在两点所连线段的 上；过不在同一条直线上的三个点可以作 个圆．
【变式3-2】（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，点，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为 个．
题型4 画圆（尺规作图）
【例7】（25-26九年级上·陕西·期中）如图，已知，请用尺规作图法作，使得为的直径．（不写作法，保留作图痕迹）
【例8】（24-25九年级下·甘肃张掖·期中）阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：
已知：是的一个内角．求作：．
小芸同学的作法如下：
如图，①作线段的垂直平分线；
②作线段的垂直平分线，与直线交于点；
③以点为圆心，为半径作圆；
④则为的外接圆；
⑤在优弧上取一点，连结，．则可得．
根据小芸设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，完成上面的作图过程；（不写画法，保留作图痕迹）
(2)的依据是_______．
【技巧归纳】
已知圆心半径直接定规画圆；过三点作圆作弦垂直平分线找圆心；已知直径取中点为圆心，半长为半径作图，保留痕迹
【变式4-1】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知．
(1)尺规作图：作的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若的半径为10，点到BC的距离为6，求BC的长．
【变式4-2】（2025·内蒙古通辽·中考真题）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
下列不属于该尺规作图依据的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
题型5 三角形的外接圆
【例9】（25-26九年级上·山东日照·期中）根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定的外心的是（ ）
A．B．
C．D．
【例10】（24-25九年级上·河北廊坊·期中）已知是的内心，，为平面上一点，点恰好又是的外心，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【技巧归纳】
作三角形任意两边垂直平分线，交点即为外心，以外心到顶点长为半径画外接圆；解题常借助外心性质求半径、角度与线段长
【变式5-1】（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为 ．
【变式5-2】（2025·贵州铜仁·一模）如图，已知点是的外心，，连结，，则的度数是 ．
题型6 求三角形外心坐标
【例11】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（ ）
A．B．C．D．
【例12】（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（ ）
A．B．C．D．
【技巧归纳】
设外心坐标，利用到三顶点距离相等列方程求解，也可求两边垂直平分线解析式，联立交点即为外心坐标
【变式6-1】（25-26九年级上·江苏淮安·月考）如图，在平面直角坐标系中，，则的外心坐标为
【变式6-2】（24-25九年级下·江苏连云港·月考）如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则的外心坐标是 ．
题型7 求三角形外接圆的半径
【例13】（24-25九年级上·湖北恩施·月考）如图是由6个边长为1的小正方形组成的图形，若点A，B，C在同一个圆上，则圆的半径为（ ）
A．5B．C．D．
【【例14】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，A，B，C是上的三点，是等边三角形．若，则的半径是（ ）
A．B．C．D．
【技巧归纳】
可作两边垂直平分线找外心算距离；直角三角形斜边一半即为半径，也可用正弦定理列式直接求解外接圆半径
【变式7-1】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）若直角三角形的两直角边长分别为3和4，则它的外接圆的半径为 ．
【变式7-2】（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）如图，正三角形的边长为，则它的外接圆的半径为 ．
一、单选题
1．（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ）
A．①B．②C．③D．④
2．（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）下列说法正确的是（ ）
A．任意三点可以确定一个圆
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．圆内接四边形对角互补
3．（25-26九年级上·山东东营·阶段检测）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（ ）
A．B．3C．D．22
4．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）下列三角形的外心一定在该三角形外部的是（ ）
A．B．C．D．
5．（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）如图，△ABC顶点都在网格格点上，△ABC外接圆的圆心的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图为的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是△ABC的______．
7．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，△ABC外接圆的圆心坐标为______．
8．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，正方形网格中，三点均在格点上，那么△ABC的外接圆圆心是点__________．
9．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）已知△ABC中，，点O为△ABC的外心，且，则度数为_________．
10．（2026·上海静安·三模）已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________．
三、解答题
11．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，弧AB是某个圆的一部分，请你用直尺和圆规确定圆心的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
12．（25-26九年级上·北京·课后作业）已知线段．
(1)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？
(2)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？
(3)能画出半径为的圆，使它经过A，B两点吗？
13．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、、C，点为坐标原点．（网格中小正方形的边长为1）
(1)该圆弧所在圆的圆心的坐标为______；
(2)的半径为______；（结果保留根号）
(3)点在______；（填“上”、“内”或“外”）
(4)扇形PAC刚好是某圆锥的侧面展开图，该圆锥底面半径为____．
14．（2026·河南·一模）如图1和图2，△ABC是等边三角形．
(1)请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出△ABC的外接圆⊙O．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)点P在上（点P不与点A、C重合），在图2中连接、、，求证：．
关键词
学习目标导航
确定圆、不在同一直线、垂直平分线、外接圆、外心、分类讨论。
1. 理解“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的定理，掌握其作图方法（作两条弦的垂直平分线，交点为圆心）。
2. 知道三角形的外接圆、外心等概念，能根据三角形类型判断外心的位置（锐角三角形内部，直角三角形斜边中点，钝角三角形外部）。
3. 了解“过同一直线上的三个点不能作圆”的理由。
4. 经历“确定圆心”的探究过程，体会分类讨论和转化思想，培养推理能力与几何作图能力。
学习重点：“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的定理及其作图方法。
学习难点：理解为什么“不在同一直线上”这一条件是必需的（即共线三点不能作圆），以及外心位置与三角形形状的关系。
示意图
点和圆的位置关系
经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心．从三角形外心的定义知:三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．
如图,分别作出线段AB的垂直平分线l1和线段BC的垂直平分线l2,设它们的交点为O,则OA＝OB＝OC．于是以点O为圆心,OA(或OB、OC)为半径,便可作出经过A、B、C三点的圆．因为过A、B、C三点的圆的圆心只能是点O,半径等等于OA,所以这样的圆只有一个．
1）经过一个已知点A可画无数个圆。
2）经过已知两点A，B作圆，可画无数个，它们的圆心在线段AB的垂直平分线上
3）经过同一直线上三个点A、B、C的圆是不存在的。
4）经过不再同一直线上的三个点A、B、C可画一个圆，而且只能作一个圆。
已知：如图1，在中，．
求作：的外接圆．
作法：如图2．
（1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；
（2）作直线，交于点O；
（3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．