第17讲 中心对称及其性质（5类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新九年级数学新教材人教版含答案

这是一份第17讲 中心对称及其性质（5类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新九年级数学新教材人教版含答案，共19页。试卷主要包含了中心对称等内容，欢迎下载使用。
内容导航
01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 中心对称图形的识别
题型2 求关于原点对称的点的坐标
题型3 已知中心对称图形求对称中心的坐标
题型4 平面直角坐标系中作旋转图形与中心对称图形
题型5 根据中心对称的性质求面积、长度、角度
04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
知｜识｜框｜架

知｜识｜精｜讲

知识点01 中心对称与中心对称图形
1.中心对称
（1）中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．
（2）中心对称是指两个图形的位置关系，涉及到两个图形，如图所示，△ABC与△A’B’C’关于点O对称.
（3）中心对称与轴对称的区别与联系：
（4）中心对称的性质：中心对称是一种特殊的旋转变换，具有旋转的一切性质，成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，成中心对称的两个图形是全等图形.
（5）确定对称中心的方法：
1.连接任意一组对称点，连线的中点就是对称中心；
2.连接任意两组对称点，这两条线段的交点就是对称中心.
（6）中心对称作图
1.连接原图形的关键点与对称中心；
2.延长所连接的线段，在延长线上分别找出关键点的对称点，使对称点到对称中心的距离和关键点到对称中心的距离相等；
3.将对称点按照原图形的顺序依次连接即可得到原图形关于对称中心对称的图形.
2.中心对称图形
（1）中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
（2）中心对称与中心对称图形的区别与联系：
【易错提醒】
中心对称与中心对称图形易错警示：中心对称指**两个图形**位置关系；中心对称图形指**一个图形**自身性质。性质：对应点连线过对称中心且被平分。注意：对称中心是**点**，非直线，勿与轴对称混淆。
即时即练1．（25-26九年级上·湖南湘西·月考）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的定义：一个图形绕某个点旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形即可判断出．
【详解】
解：根据中心对称图形的定义，以上图形中是中心对称图形的是．
2．（2025七年级上·全国·专题练习）八年级某数学兴趣小组在一次综合实践活动中，为研究中心对称图形的性质，对于已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，，，得到，如图， 则下列结论不成立的是（ ）
A．点A与点是对称点B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查中心对称的定义和性质，掌握中心对称的定义“把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心”，是求解本题的关键．利用中心对称的定义和性质求解即可．
【详解】A、与关于点O成中心对称，
点A与是一组对称点，故该选项正确，不符合题意；
B、由中心对称的性质可知：对应点到对称中心的距离相等，
，故该选项正确，不符合题意；
C、，是对顶角，
∴，故该选项正确，不符合题意；
D、与不是对应角，是，
不成立，故该选项错误，符合题意；
故选：D．
3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，D是的边BC的中点，连接AD并延长至点E，使，连接BE．
(1)图中哪两个图形关于点D成中心对称（不用说明理由）？
(2)若的面积为4，求的面积．
【答案】(1)与关于点D成中心对称
(2)8
【分析】本题考查了中心对称的定义，解题的关键是了解中心对称的定义，难度较小．
（1）直接利用中心对称的定义写出答案即可；
（2）根据等底等高确定的面积，根据成中心对称的图形的两个图形全等确定三角形的面积，从而确定的面积．
【详解】（1）解：与关于点成中心对称．
（2）解：∵是的边的中点，
∴，
∴与为等底等高的三角形，
∴．
又∵与关于点成中心对称，
∴，
∴．
题型1 中心对称图形的识别
【例1】（25-26九年级下·山东青岛·开学考试）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此逐一判断即可．
【详解】解：左边起，第一幅图是轴对称图形，不是中心对称图形，
第二幅图既是轴对称图形，也是中心对称图形；
第三幅图是轴对称图形，不是中心对称图形，
第四幅图不是轴对称图形，是中心对称图形，
故既是中心对称图形又是轴对称图形的有1个．
【例2】（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意．
【技巧归纳】
中心对称图形：绕某点旋转180°后能与自身重合。判断时，将图形旋转半圈，看是否与原图重合。常见图形：平行四边形、圆、正偶数边形。注意轴对称图形不一定中心对称（如等腰三角形）。也可找对称中心：对应点连线交点。线段是中心对称。
【变式1-1】（25-26九年级下·北京·开学考试）未来将是一个可以预见的时代．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意．
【变式1-2】（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）博物馆是承载中华文脉的殿堂，其标志设计既蕴藏传统美学，又含着几何智慧．下列博物馆标志中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据中心对称图形的定义，将每个选项的图形绕某点旋转，判断是否能与自身重合即可解答．
【详解】解：选项 A、B、D绕某点旋转后，不能与自身重合，不是中心对称图形．选项C：绕某点旋转后，能与自身重合，是中心对称图形．即C选项符合题意．
题型2 求关于原点对称的点的坐标
【例3】（24-25九年级上·云南西双版纳·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点中心对称的点的坐标是______．
【答案】
【分析】关于原点中心对称的两个点，横、纵坐标分别互为相反数．
【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点关于原点中心对称的点的坐标为，
∴点关于原点中心对称的点的坐标是．
【例4】（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_________．
【答案】
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可求得对应点的坐标．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为．
故答案为：．
【技巧归纳】
点(a,b)关于原点对称得(-a,-b)，横纵坐标都变相反数。口诀：横纵全变号。可用于中心对称图形坐标转换。若一个点关于原点对称，则两点连线过原点且被原点平分。验证时两点中点坐标为(0,0)。注意与关于坐标轴对称的区别。
【变式2-1】（25-26九年级上·河南许昌·期末）平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则________．
【答案】
【分析】在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为.
【详解】解：由题意知，，，
.
【变式2-2】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则__ ．
【答案】4
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，解二元一次方程组．
根据关于原点对称的点的坐标特征，点A的横坐标与点B的横坐标互为相反数，点A的纵坐标与点B的纵坐标互为相反数，列出方程并求解．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，且，
即，
即，
解得，
∴．
故答案为：．
题型3 已知中心对称图形求对称中心的坐标
【例5】（24-25九年级上·天津·月考）如图，在平面直角坐标系中，若与关于点成中心对称，则对称中心点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，根据旋转的性质，连接对应点，与的交点即为对称中心，然后根据平面直角坐标系写出点E的坐标即可．
【详解】解：如图，连接，与相交于点E，
点E即为对称中心，．
故选：A．
【例6】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，和关于点E成中心对称，则点E坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用成中心对称的两个图形的对称点的连线的交点就是对称中心，可确定出点E的位置，观察可得点E的坐标．
【详解】解：连接，
∵和关于点E成中心对称 ，
∴交于点E，
∴点．
故答案为：A．
【技巧归纳】
对称中心是对应点连线的中点。若已知一对对应点A、A'，则中心为AA'中点，坐标((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)。也可求两组对应点连线交点。中心对称图形中对称中心唯一。验证时中心到各对应点距离相等。注意与旋转中心区别。
【变式3-1】（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，和关于点P成中心对称，则点P的坐标是________．
【答案】
【分析】本题考查中心对称，掌握相关知识是解决问题的关键．根据中心对称的性质，旋转中心是各组对应点连线的交点，据此解答即可．
【详解】解：根据中心对称的性质，旋转中心是各组对应点连线的交点，如图，．
故答案为：．
【变式3-2】（24-25九年级上·辽宁盘锦·月考）如图，在单位长度为1的平面直角坐标系网格中，与的顶点都在格点上，且与关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是_______．
【答案】
【分析】本题考查了中心对称图形的性质，正确理解中心对称图形的性质是解题的关键．根据中心对称图形中，对应点连线被对称中心平分，即得答案．
【详解】如图，连接，，相交于点E，点E即为对称中心，
则对称中心点E的坐标是．
故答案为：．
题型4 平面直角坐标系中作旋转图形与中心对称图形
【例7】（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，的顶点坐标分别为，，．
(1)将向右平移个单位长度，画出平移后的；
(2)画出关于轴对称的；
(3)将绕原点旋转，画出旋转后的；
(4)在、、中： ___________与___________成轴对称； ___________与___________成中心对称，且对称中心的坐标为___________．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)图见解析
(4)，；，，
【分析】本题考查平移作图，轴对称作图，旋转作图，轴对称图形和中心对称图形的辨认，掌握好相应的作图技巧是关键．
（1）描出平移后的点、、，连接成三角形即可；
（2）关于轴对称的点。横坐标相等，纵坐标互为相反数，描出点、、，连接成三角形即可；
（3）绕原点旋转的点，横纵坐标都互为相反数，描出点、、，连接成三角形即可；
（4）结合图形进行判断即可．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
（3）解：如图所示：
（4）解：由图可知，与成轴对称，与成中心对称，对称中心为．
故答案为：，；，，．
【例8】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，
(1)将绕点顺时针旋转得到，点A、B、C旋转后的对应点分别为，画出旋转后的图形；写出点的坐标是 ；的形状是 ．
(2)若将经过平移后得到，点A、B、C平移后的对应点分别为，则线段和的关系是 ；
(3)已知P为x轴上一点，若的面积为6，直接写出点的坐标 ．
【答案】(1)作图见解析，点的坐标为；是等腰直角三角形
(2)且
(3)或
【分析】（1）利用绕原点顺时针旋转的点的坐标写出的坐标，从而得到；
（2）利用点平移的坐标特征写出的坐标，从而得到；
（3）设,则，利用三角形的面积公式求出x的值，即得点P的坐标．
【详解】（1）解：将绕点顺时针旋转90°得到，
点A、B、C旋转后的对应点分别为，
点的坐标是；
的形状是等腰直角三角形．
；等腰直角三角形．

（2）解：将经过平移后得到，
点A、B、C平移后的对应点分别为，
则线段和的关系是且．
故答案为：且．
（3）解：∵P为x轴上一点，
∴设，
则，
∵的面积为6，，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，
，
当时，
，
∴点的坐标为或．
故答案为：或．
【技巧归纳】
旋转：按角度和方向，用旋转公式求对应点坐标；中心对称：各点关于原点（或某点）取相反坐标。画出关键点变换后的位置，再顺次连接。注意图形全等。若绕任意点，先平移再旋转。作图后验证对应边相等、对应角相等。
【变式4-1】（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，三个顶点的坐标分别为．
(1)画出向左平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的；
(2)画出关于原点的中心对称图形；
(3)P为x轴上的一个动点．当有最小值时，求这个最小值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了平移作图，中心对称作图，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握平移和中心对称的性质．
（1）分别将点向左平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到点，再顺次连接即可；
（2）分别作出点关于原点对称的点，再顺次连接即可；
（3）取点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，此时为最小值，再由勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，即为所求．
（3）解：取点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，
此时为最小值，
由勾股定理得，
∴这个最小值为．
【变式4-2】（25-26八年级上·山东烟台·期末）在直角坐标系中，的顶点坐标分别为．
(1)请在图中画出：
(2)画出关于原点成中心对称的；
(3)将向上平移4个单位长度后得到，请在图中画出；
(4)将绕原点按逆时针方向旋转后得到，请在图中画出．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】本题考查了平移作图、作中心对称图形以及旋转作图，解题关键是掌握作图的关键步骤，即描点与连线．本题先确定对应点的坐标，再描点连线即可作图．
（1）先确定对应点的坐标，再描点连线即可作图．
（2）先确定对应点的坐标，再描点连线即可作图．
（3）先确定对应点的坐标，再描点连线即可作图．
（4）先确定对应点的坐标，再描点连线即可作图．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）如图所示：
（3）如图所示：
（4）如图所示：
题型5 根据中心对称的性质求面积、长度、角度
【例9】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，和关于点成中心对称，若，，求的长．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，中心对称图形的性质，根据中心对称图形的性质可得，，求出的长，进而得到的长，利用勾股定理求出的长，则可求出的长．
【详解】解：∵和关于点成中心对称，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【例10】（25-26九年级上·广西钦州·期中）如图，已知和．
(1)若和关于点O成中心对称，请通过画图找出它们的对称中心O；
(2)在（1）的条件下，若，，，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)的周长为18
【分析】本题考查中心对称的性质，找对称中心．
（1）连接，，交点即为点O；
（2）由和中心对称，可得，，，三条边长度相加即可．
【详解】（1）解：如图，点O即为所求；
（2）解：∵和关于点O成中心对称，
∴，，，
∴的周长为.
【技巧归纳】
中心对称图形中，对称点关于中心对称，对应线段平行且相等，对应角相等，面积被对称中心平分。利用这些性质可求线段长、角度，或证明全等。如平行四边形对角线互相平分，面积相等。对称中心是对应点中点，可建方程。
【变式5-1】（2026九年级下·江西新余·专题练习）已知抛物线：的顶点为A−1,1，与y轴交于点B．
(1)求m，n的值；
(2)如图，抛物线与关于点B成中心对称，与x轴交于点D，求抛物线的解析式及点D的坐标；
(3)记抛物线，组合得到的新图象为L3，若L3与直线y=−x+b有三个交点，直接写出b的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）抛物线的顶点为A−1,1，利用待定系数法即可求解；
（2）根据中心对称的性质求出顶点坐标，然后利用顶点式求函数解析式即可，再利用二次函数的性质求交点坐标即可；
（3）联立解析式，利用一元二次方程的根的判别式进行求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为A−1,1，
，
．
（2）解：由（1）知，，
，
设抛物线的顶点为，则点与点关于点B对称，
，
∴点的坐标为1,3，
∴抛物线的解析式为，
令，
解得：（不合题意，舍去），
∴点的坐标为；
（3）解：当直线y=−x+b与抛物线只有一个交点时，
令，
即，
，
解得：，
当直线y=−x+b与抛物线只有一个交点时，令，
即，
，
解得，
如图，根据图象可得，
∴若L3与直线y=−x+b有三个交点，则的取值范围为．
【变式5-2】（25-26七年级上·上海静安·期末）已知长方形，，，边长为（）的正方形的顶点与点重合，边、分别与、重合（如图所示）．将正方形沿着射线方向平移，设平移距离为．
(1)当点恰好落在线段上时，直线、分别与长方形的边交于点、、（如图所示）．下列编号①-④中，两个图形能关于某点成中心对称的是___________，面积相等的是__________；（在横线上填入相应的编号）
①三角形与三角形；②三角形与三角形；
③三角形与三角形；④长方形与长方形．
(2)在（1）的条件下，当时，求的值；
(3)在平移过程中，当正方形的顶点落在线段上时，求的值．
【答案】(1)①②③；①②③④
(2)
(3)或
【分析】（1）根据“中心对称图形”的定义，对选项依次判断；再利用“中心对称图形面积相等”以及“大图形面积相等，减去同样面积的部分，剩下的面积也相等”的逻辑，判断各组图形的面积是否相等；
（2）由平移距离，用表示出长方形和的边长，结合（1）的“面积相等”关系列方程，求解得；
（3）分“在上”“在上”两种情况进行讨论，根据面积相等列方程，用表示，再计算．
【详解】（1）解：长方形是中心对称图形，且对称中心在长方形的对角线上，
①三角形与三角形；②三角形与三角形；③三角形与三角形，都可以组成长方形，
∴①②③两个图形能关于某点成中心对称，
∴①②③中的两个三角形的面积相等；
①三角形与三角形；②三角形与三角形的面积相等，
∴四边形和四边形的面积相等，
又③三角形与三角形的面积相等，
则四边形和四边形的面积分别减去三角形与三角形的面积之后的图形面积相等，
即④长方形与长方形的面积相等，
答：①②③；①②③④．
（2）解：依题意，，，，
由（1）可得长方形与长方形的面积相等，
，
解得：．
答：．
（3）解：如图，当在上时，
依题意，，，，，
，，，
同理可得长方形与长方形的面积相等，
，
解得：，
；
当在上时，如图，
，，，
由（1）可得长方形与长方形的面积相等，
，
解得：，
．
综上所述，的值为或．
答：或．
一、单选题
1．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形，中心对称图形的定义，逐项分析求解即可．
【详解】解：A． 该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B． 该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C． 该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
2．（2026·辽宁铁岭·一模）已知点A的坐标为，若点A与点 B关于坐标原点O 中心对称，则点 B的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：关于坐标原点中心对称的点的坐标特征为横，纵坐标均互为相反数，
∵点A的坐标为，
∴点B的坐标为.
3．（2026·湖北孝感·二模）如图，在平面直角坐标系中，A−1,0，，，请确定一点，使得以点，B，，为顶点的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，则点的坐标可能是（ ）
A．B．−1,1C．1,1D．
【答案】C
【分析】首先需要明确平行四边形是中心对称图形，只有特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）才是轴对称图形，普通平行四边形仅为中心对称图形，不是轴对称图形，据此逐项验证即可．
【详解】解：平行四边形是中心对称图形，只有特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）才是轴对称图形，普通平行四边形仅为中心对称图形，不是轴对称图形，
∵A−1,0，，
选项A：当点D的坐标为时，连接点A、B、C、D，则该四边形无法构成平行四边形，因此不是中心对称图形，故A不符合题意；
选项B、当点D的坐标为−1,1时，点A、B、D的横坐标均为，则这三点在同一条直线x=−1上，无法构成四边形，故B不符合题意；
选项C、当点D的坐标为1,1时，
∵线段在直线x=−1上，且，线段CD在直线上，且，
∴AB∥CD且，
四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
、，
平行四边形ABCD不是菱形，也不是矩形、正方形，
该四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故C符合题意；
选项D、当点D的坐标为时，
同理可得：四边形ABCD是平行四边形，
、，
，
平行四边形ABCD是矩形，
该四边形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故D不符合题意．
4．（2026·江西上饶·三模）如图，正方形ABCD和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是5和3，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．154B．165C．4D．
【答案】C
【分析】由正方形ABCD和正方形的对称中心都是点O，可得四边形ABFE，四边形，四边形，四边形的面积相等，与△CGH的面积相等，再进一步求解即可.
【详解】解：如图，连接，
∵正方形ABCD和正方形的对称中心都是点O，
∴四边形ABFE，四边形，四边形，四边形的面积相等，与△CGH的面积相等，
∴阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形面积的，
∴阴影部分的面积是.
5．（2026·陕西西安·三模）在平面直角坐标系中，将抛物线C关于原点中心对称后得到抛物线（a为常数，），若抛物线的最小值为1，则抛物线C的顶点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出已知抛物线的参数和顶点坐标，再根据中心对称的性质求抛物线的顶点坐标，据此列式计算，即可作答．
【详解】解：依题意，
∵，
∴抛物线开口向上，顶点纵坐标为抛物线的最小值，
由题意最小值为，
可得 ，
解得a=1，
∴已知抛物线的顶点坐标为，
∵ 抛物线关于原点中心对称后得到该抛物线，
因此两个抛物线的顶点也关于原点中心对称，
∵点关于原点中心对称的点坐标为，
设抛物线的顶点为，
则，，
解得m=−2，
因此抛物线的顶点坐标为−2,−1．
二、填空题
6．（25-26八年级下·重庆·期中）若点与点关于原点对称，则点P的坐标是________．
【答案】
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴根据关于原点对称的点的坐标性质，可得，n=−3，
∴点P的坐标是．
7．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在正方形方格中，已有三个小正方形被涂上阴影，将一个空白的小正方形涂上阴影，使它与现有三个带有阴影的小正方形一起组成中心对称图形的情况有______种．
【答案】3
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，依据中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：如图所示，涂黑一个小正方形，使四个涂黑的小正方形构成的图案是中心对称图形，则不同的涂法有3种．
8．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）如图，与关于点成中心对称，若，，，则的长为_____．
【答案】
【分析】根据中心对称的性质可得点是AD和的中点，从而求出AC的长，再在直角三角形中利用勾股定理求出BC的长，进而求出的长；
【详解】解：与关于点成中心对称，
点是AD和的中点，
，
，
，
，
是直角三角形，
在直角三角形中，，
由勾股定理得：，
．
9．（2026·山西临汾·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点B在x轴负半轴上，是边长为2的等边三角形，将以原点为中心作中心对称，得到△A′OB′，则点的坐标是____________．
【答案】
【分析】先过点作x轴的垂线，利用等边三角形的性质和勾股定理求出点的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征求出点的坐标．
【详解】解：过点作轴于点．
因为是边长为2的等边三角形，
所以OA=OB=2．
因为AC⊥OB，
所以．
在Rt△AOC中，由勾股定理得．
因为点在第二象限，所以点的坐标为．
因为△A′OB′是以原点为中心作中心对称得到的，所以点与点关于原点对称．
所以点的坐标为．
10．（21-22八年级上·山东济宁·阶段检测）如图，直线，垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点B，于点．若，，则阴影部分的面积之和为_____．
【答案】
【分析】过点作于点，过点作于点，证明四边形是矩形，则，同理可知，四边形是矩形，则，由中心对称，得到，，图形①与图形②面积相等，即可得到答案．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，
∵于点．
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
同理可知，四边形是矩形，
∴，
∵曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，
∴，，图形①与图形②面积相等，
∴．
三、解答题
11．（25-26八年级下·江西景德镇·期中）如图，和关于点成中心对称，若AC=2，∠B=30°，，求的长．
【答案】
【分析】根据中心对称的性质得到，CE=BC，，根据30度角的性质得到，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：∵△ABC和关于点成中心对称，
，CE=BC，，
，∠B=30°，，
，
∴CE=4，
，
．
12．（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，请你仔细观察图①中三个网格中的阴影部分构成的图案，按要求回答下列问题：
(1)图①中的三个图案都具有一个共同的特征：都是_____图形（填“轴对称”或“中心对称”）
(2)请你在图②、图③的网格中分别选择两个小正方形涂上阴影，使阴影部分构成的图案都是中心对称图形（要求不能重复）
【答案】(1)轴对称
(2)解：如图所示，
【分析】（1）根据轴对称图形的定义进行解答即可；
（2）根据中心对称的定义进行解答即可．
【详解】（1）解：图①中的三个图案都具有一个共同的特征：都是轴对称图形；
（2）略
13．（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
(1)以A点为旋转中心，将绕点A顺时针旋转得到，画出，并写出点C1的坐标．
(2)作出关于坐标原点O成中心对称的，并写出点的坐标．
(3)判断是否可由绕某点M旋转得到．若是，请直接写出旋转中心M的坐标．
【答案】(1)图形见解析；
(2)图形见解析；
(3)是，
【分析】（1）分别作出点B、C绕点A顺时针旋转得到的对应点，再与点A首尾顺次连接即可；
（2）分别作出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可；
（3）作线段的垂直平分线，与线段AA2的垂直平分线（y轴）的交点即为旋转中心M．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
由图可知，；
（2）如图所示，即为所求；；
（3）是由绕点M旋转得到，
如图所示，是由绕点，顺时针旋转得到的．
14．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，O是边上一点，△EFD和关于点O成中心对称，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，求证：四边形是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了中心对称图形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定．
（1）根据中心对称图形的性质得到EF=AB，，推出，即可证明四边形是平行四边形；
（2）连接．先证得四边形BCFD是平行四边形，求得，得到BD=BC，推出四边形BCFD是菱形．推出，即可证明四边形是菱形．
【详解】（1）证明：和关于点O成中心对称，
，
，，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：连接，
和关于点O成中心对称，
B，O，F三点共线，，
四边形BCFD是平行四边形，
，
，
即，
，
∴∠ABC=∠ACB，
，
，
四边形BCFD是菱形，
，
又四边形是平行四边形，
∴▱ABEF是菱形．
15．（2026·辽宁铁岭·一模）如图，抛物线的顶点为，交y轴于点，将抛物线绕原点旋转得到抛物线，抛物线的顶点为，交y轴于点，与相交于点和点B（点在y轴左侧）．
(1)求点，，的坐标（用含的式子表示）；
(2)顺次连接，，B，四点，当四边形的面积为时．
①求的值；
②将抛物线，位于直线上方的图象（包含，B两点）记为，图象L对应的函数为，当时，函数的最大值与最小值的差等于，求的值．
【答案】(1)，，
(2)①；②的值为3
【分析】（1）把解析式配方，化为顶点式，得出，把代入解析式，得出，根据关于原点中心对称的点的特征得出，即可．
（2）①先求出的解析式为，联立两个抛物线的解析式，解方程组求出，，根据四边形的面积为列方程求出值即可；
②根据得出，根据二次函数当性质，分类讨论得出值即可．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，，，
∴，
∵将抛物线绕原点旋转得到抛物线，
∴，．
（2）解：①∵，
∴抛物线的解析式为，
联立、的解析式得，，
∴，
整理得，，
∵，
∴，
解得：，
当时，，当x=−4时，，
∴，，
∵，，
∴，
∵四边形的面积为，
∴，即，
解得：．
②∵，
∴的解析式为，的解析式为，，，
∵将抛物线，位于直线上方的图象（包含，B两点）记为，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
当，时，此时，，最小值为，
当时为最大值时，
∵函数的最大值与最小值的差等于，
∴，
解得：，（舍去），
当时为最大值时，
∴，
解得：，（舍去），
当时，，
∴，
∴时，不符合题意，
当时，，
∴，
当x=−52时，，
此时函数的最大值与最小值的差不能等于，此种情况不存在，
当时，，，
同理可得，此时函数的最大值与最小值的差大于；
综上所述，的值为3．关键词
学习目标导航
中心对称、对称中心、对应点、中心对称图形、全等、性质。
1. 理解中心对称的概念，能识别两个图形是否关于某点成中心对称，掌握对称中心的确定方法。
2. 掌握中心对称的基本性质：对应点连线经过对称中心且被对称中心平分；对应线段平行且相等；旋转角为180°。
3. 能按要求作出简单图形关于某点中心对称的图形，会寻找对称中心。
4. 理解中心对称图形的概念，能区分中心对称与中心对称图形，体会数学中的对称美。
学习重点:中心对称的概念及其基本性质，中心对称图形的识别与作图。
学习难点:理解中心对称与中心对称图形的区别与联系，以及利用中心对称性质解决几何问题（如证明线段相等、平行等）。
区别
中心对称
轴对称
有一个对称中心
有一条对称轴
图形绕对称中心旋转180°
图形沿对称轴翻折
旋转后与另一个图形重合
翻折后与另一个图形重合
联系
都是两个图形之间的关系，并且变换前后的两个图形全等
中心对称
中心对称图形
区别
针对两个图形
针对一个图形
两个图形位置上的关系
具有某种性质的一个图形
对称点在两个图形上
对称点在一个图形上
对称中心在两个图形之间
对称中心在图形上或图形内部
联系
如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称．