第20讲 垂直于弦的直径（9类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新九年级数学新教材人教版含答案

这是一份第20讲 垂直于弦的直径（9类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新九年级数学新教材人教版含答案，共19页。
内容导航
01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 利用垂径定理判断正误
题型2 利用垂径定理求角度
题型3 利用垂径定理求线段长度
题型4 利用垂径定理求坐标
题型5 利用垂径定理求平行弦问题
题型6 利用垂径定理求同心圆问题
题型7 垂径定理推论
题型8 垂径定理的实际应用
题型9 利用垂径定理求最值
04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
知｜识｜框｜架

知｜识｜精｜讲

知识点01 垂径定理及推论
1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、且平分弦所对的两条弧。
证明：连AO、BO
∵CD⊥AB ∴∠AEC=∠CEB=90°
又∵OE=OE，OA=OB ∴△OAE≌△OBE（HL）
∴AE=EB，∴AD=BD AC=CB
2）知二推三（推论）
= 1 \* GB3 ①CD过圆心（直径/半径）； = 2 \* GB3 ②CD垂直弦AB； = 3 \* GB3 ③CD平分AB； = 4 \* GB3 ④AC=CB； = 5 \* GB3 ⑤AD=BD
垂径定理重要推论：上述5个条件中，任意2个条件成立，则其余3个条件必定成立，即“知二推三”。
3）重要公式：设半径为r，AB=a，OE=d，根据勾股定理：
圆中常用的辅助线：连OB，作OE垂直弦AB，构造出直角三角形。
【易错提醒】垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对两条弧；平分非直径弦的直径垂直该弦。 易错：忽略弦是直径时，平分弦不一定垂直弦
即时即练1．如图，⊙O的半径是，AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，垂足为P，若，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
2．在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出，，则圆形工件的半径为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若，，则⊙O的直径为_________．
题型1 利用垂径定理判断正误
【例1】（25-26九年级上·辽宁营口·期中）下列命题正确的是（ ）
A．直径是弦，弦是直径B．半圆是弧
C．平分弦的直径垂直于弦D．长度相等的弧是等弧
【例2】（2024·湖南·模拟预测）如图，是的直径，为弦，于点E，连接，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【技巧归纳】
紧扣垂径定理前提，看清弦是否为直径，辨析平分弦、垂直弦、平分弧的逻辑关系，逐条比对条件判断命题对错
【变式1-1】（24-25九年级下·北京海淀·阶段练习）如图，是的弦，是的直径，于点E．在下列结论中，正确的是 ．
①；②；③；④；⑤．
【变式1-2】（2025·吉林长春·一模）如图，是的直径，弦于点G，点F是上一点，且满足，连接并延长交于点E，连接，给出下列结论：
①；
②；
③当时，；
④当时，的面积是．
上述结论中，正确结论的序号是 ．
题型2 利用垂径定理求角度
【例3】（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，在中，半径垂直弦，D为上的点，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【例4】（25-26九年级上·浙江·月考）如图，在中，弦垂直平分半径，点C是圆上的一点，且，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【技巧归纳】
借助垂径定理得到等弧、等弦，利用等弧对应等圆心角、等圆周角，结合直角、三角形内角关系推导所求角度大小
【变式2-1】（25-26九年级上·陕西延安·月考）如图，点A、B、C、D都在上，连接、，，则的度数为 ．
【变式2-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，的度数是，的度数是，且，，则的度数为 ．
题型3 利用垂径定理求线段长度
【例5】（25-26九年级上·浙江衢州·月考）如图，是的弦，若的半径，圆心到弦的距离，则弦的长为（ ）
A．9B．8C．7D．6
【例6】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，弦于点E．若，，则的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
∵是的直径，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选C．
【技巧归纳】
过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，用垂径定理平分弦，结合勾股定理列式，求解半径、弦长、弦心距等线段长度
【变式3-1】（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，是的直径，垂直于弦于点，，则的长是 ．
【变式3-2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，是圆的弦，直径于点，，，则线段的长为 ．
题型4 利用垂径定理求坐标
【例7】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在带有正方形网格的平面直角坐标系中，一条圆弧经过三点，那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A．B．C．D．
【例8】（23-24九年级上·河南信阳·期末）如图，半径为5的经过M，N两点，若已知两点坐标分别为，，则A点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【技巧归纳】
过圆心向弦作垂线，用垂径定理得线段等量，构造直角三角形借助勾股算水平、竖直距离，结合已知点推算对应坐标
【变式4-1】（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图所示，与轴交于点，，与轴的正半轴交于点．若，则点的坐标为 ．
【变式4-2】（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在第一象限，与轴交于，两点，点的坐标为，的半径为，则点的坐标为 ．
题型5 利用垂径定理求平行弦问题
【例9】（25-26九年级上·广东广州·期中）若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（ ）
A．B．C．或D．或
【例10】（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（ ）
嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．”
淇淇说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．”
A．嘉嘉正确，淇淇错误B．嘉嘉错误，淇淇正确
C．嘉嘉正确，淇淇也正确D．嘉嘉错误，淇淇也错误
【技巧归纳】
先分两弦在圆心同侧、异侧分类讨论，用垂径定理求出弦心距，再相加或相减得到两条平行弦间的距离
【变式5-1】（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为 ．
【变式5-2】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）已知的半径为，弦，，，则两弦之间的距离为 ．
题型6 利用垂径定理求同心圆问题
【例11】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，半径为5和的两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于，两点，若，则的大小为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【例12】（24-25九年级上·陕西西安·月考）如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是 ．
【技巧归纳】过圆心作公共弦垂线，用垂径定理平分弦，分别在大小圆构造直角三角形，借助勾股定理列式求解线段差值或长度
【变式6-1】（23-24九年级上·安徽铜陵·期中）如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于C，D两点．求证：．
【变式6-2】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点．
(1)求证：；
(2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值．
题型7 垂径定理的推论
【例13】（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，的直径平分弦．若，则为（ ）
A．B．C．D．
【例14】（25-26九年级上·山东潍坊·期中）如图，为的直径，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【技巧归纳】
先明确推论成立前提，平分弦时弦不能是直径，由垂直、平分弦、平分弧中任意两个条件，推导剩余结论，据此判断或计算
【变式7-1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，C为圆上一点是弧的中点，与交于点E，若E是的中点，则的长为 ．
【变式7-2】（2025·河南·三模）如图，三角形内接于，，连接并延长交于点D，连结，，．
(1)求证：；
(2)猜想与的位置关系，并说明理由．
题型8 垂径定理的实际应用
【例15】（2025·四川南充·一模）如图甲，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图乙，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，被水面截得的弦长为4米，点C是运行轨道的最低点，点C到弦的距离为1米，则的半径长为（ ）
A．1米B．米C．2米D．米
【例16】（25-26九年级上·河北唐山·月考）一个圆弧形对开门的平面示意图及相关尺寸如图所示，则该圆弧门所在圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
【技巧归纳】
将实际拱形、桥洞等模型转化为圆和弦，作弦心距构造直角三角形，用垂径定理搭配勾股定理列式求解相关尺寸
【变式8-1】（25-26九年级上·全国·期末）云南傣族竹筒饭融糯米香、青竹香于一体，是最具民族特色的风味食品．如图1是一个竹筒饭容器，如图2是该竹筒容器的截面示意图．若竹筒开口宽为，这个竹筒所能装食物的最大深度是，则竹筒截面的半径为 ．
【变式8-2】（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·月考）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为 ．
题型9 利用垂径定理求最值
【例17】（25-26九年级上·山西朔州·期中）如图，是上的一动点，与交于点．若，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．5
【例18】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，C、D是以为直径的上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦始终保持不变，M是弦的中点，过点C作于点P．若，则最大值是（ ）
A．1B．C．2D．2.5
【技巧归纳】
定点与圆上动点连线最值依托圆心分析，结合垂径定理得最短弦为过定点垂直于连心线的弦，最长弦为直径，据此列式求值
【变式9-1】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图是由两个正方形组成的轴对称图案，测得正方形的边长分别为和．现用一个半径为r的圆形纸片将其完全覆盖，则r的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【变式9-2】（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，是的直径，，点A在上， ，B为弧的中点，P是直径上一动点， 则的最小值为 ．
一、单选题
1．（2026·广东广州·二模）如图，⊙O的直径，AB是弦，，垂足为M，，则AB的长为（ ）
A．4B．8C．D．
2．（2026·四川泸州·二模）如图，工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是，测得钢珠顶端离零件表面的距离为，则这个小孔的直径AB是（）．
A．B．C．D．
3．（2026·四川南充·中考真题）如图，AB为⊙O直径，弦于E，，则OE长为（ ）
A．1B．C．2D．
4．（2026·陕西咸阳·二模）如图，有一个圆弧形的门洞，，上的最高点C到水平地面AB的距离为3 m，则所在圆的半径为（ ）
A．5 mB．C．D．
在中，由勾股定理得： ，
5．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，内接于⊙O，AB=AC，点D在⊙O上，平分AB，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦AB交小圆于两点，若，则____．
7．（2026·广东佛山·三模）如图为一条排水管的截面，若半径，水面宽，则排水管内水的最大深度为________；
8．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知⊙O的半径为，弦，弦，AB∥CD，则这两条平行弦AB，之间的距离为________．
9．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，AB是半径为的⊙O的弦，于点C，交⊙O于点D，若弦AB为，则______．
10．（2026·安徽阜阳·三模）已知AB是⊙O的直径，弦，垂足为点E，连接，，，则弦的长为________．
三、解答题
11．（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，⊙O的直径AB垂直于弦，垂足为点E，F为AB上一点，．求与的大小．
12．（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，．
(1)直接写出BD的长为___________；
(2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长．
13．（25-26九年级上·江西赣州·期末）如图，AB是⊙O的直径，是半圆的三等分点，请仅用无刻度的直尺，按要求作图．（保留作图痕迹）．
(1)在图1中，作的中点；
(2)在图2中，作的中点P．
14．（2026·内蒙古通辽·三模）如图，，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求⊙O的半径．
15．（2026·河南周口·模拟预测）如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，点C为运行轨道的最低点（即C是弧AB的中点）．
(1)如图2，若⊙O被水面截得的弦AB长为8米，点C到弦AB所在直线的距离为2米，求半径．
(2)如图3，在水面的变化过程中，若连接CO并延长分别交AB于点D，交⊙O于点，连接BE，延长交BE于点，且⊙O的半径为5，恰好于点，求此时⊙O被水面截得的弦AB的长．（精确到0.1，）
关键词
学习目标导航
垂径定理、平分弦、平分弧、直径、弦心距、计算、推理。
1. 理解垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
2. 掌握垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
3. 能运用垂径定理及推论进行简单的证明和计算（如求弦长、半径、拱高等）。
4. 经历垂径定理的探索与证明过程，体会从特殊到一般、转化等数学思想，培养逻辑推理能力。
学习重点：垂径定理及其推论的理解与应用，特别是利用定理解决与弦、半径、弦心距相关的计算问题。
学习难点：垂径定理的证明（通过构造等腰三角形和直角三角形），以及根据具体问题准确作出辅助线（连半径或作弦心距），构造直角三角形求解。