第13讲 中心对称（三种题型）-初中人教版八升九数学暑假衔接（教师版+学生版）

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一．中心对称
（1）中心对称的定义
把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．
（2）中心对称的性质
①关于中心对称的两个图形能够完全重合；
②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
二．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
三．关于原点对称的点的坐标
关于原点对称的点的坐标特点
（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．
（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．
注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．
【考点剖析】
一．中心对称（共16小题）
1．（2023春•江夏区校级期末）下列说法中正确的是（ ）
A．对角线互相垂直且平分的四边形是矩形
B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
C．对角线相等且垂直的四边形是正方形
D．经过平行四边形对角线交点的直线平分该平行四边形的面积
2．（2023•思明区校级二模）凸透镜成像的原理如图所示，AG∥l∥HC．若缩小的实像是物体的 ，则物体到焦点F1的距离与焦点F2到凸透镜的中心线GH的距离之比为 ．（焦点 F1 和 F2 关于O点对称）
3．（2023•金水区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝20，AC＝15，点D，E分别是AB、AC的中点，点G，F在BC边上（均不与端点重合），DG∥EF．将△BDG绕点D顺时针旋转180°，将△CEF绕点E逆时针旋转180°，拼成四边形MGFN，则四边形MGFN周长l的取值范围是 ．
4．（2021秋•武汉期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，求证：四边形ADCF是矩形．
5．（2023•株洲）如图所示，在矩形ABCD中，AB＞AD，AC与BD相交于点O，下列说法正确的是（ ）
​
A．点O为矩形ABCD的对称中心
B．点O为线段AB的对称中心
C．直线BD为矩形ABCD的对称轴
D．直线AC为线段BD的对称轴
6．（2023•任丘市二模）如图由6×6个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点A，B，C均在格点上，O是AC与网格线的交点，将△ABC绕着点O顺时针旋转180°．以下是嘉嘉和淇淇得出的结论，下列判断正确的是（ ）
嘉嘉：旋转后的三角形的三个顶点均在格点上；
淇淇：旋转前后两个三角形可形成平行四边形
A．只有嘉嘉对B．只有淇淇对C．两人都对D．两人都不对
7．（2023•房山区二模）下列图形中，点O是该图形的对称中心的是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023•海港区一模）如图．在平面直角坐标系中▱ABCD的顶点分别为A（1，2），B（4，2），C（7，5）．
（1）点D的坐标为 ．
（2）当正比例函数y＝kx的图象平分▱ABCD面积时，k的值为 ．
9．（2023•碑林区校级模拟）如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠B＝60°，点P在AD上，且AP＝2，若直线l经过点P，将该平行四边形的面积平分，并与平行四边形的另一边交于点Q，则线段PQ的长度为 ．
10．（2022秋•利川市期末）如图，将△ABC绕点O旋转180°，得到△A'B'C'，当点O不在△ABC三边所在直线上时，求证：四边形BCB'C'是平行四边形．
11．（2023春•瑞安市月考）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（ ）​
A．B．C．D．
12．（2023•古冶区二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（﹣6，4），点B，C在x轴上，将正方形ABCD平移后，点O成为新正方形的对称中心，则正方形ABCD的平移过程可能是（ ）
A．向右平移8个单位长度，再向下平移4个单位长度
B．向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度
C．向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度
D．向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度
13．（2023•西安一模）如图，直线l平分正方形ABCD的面积，直线l分别与AB、CD交于点E、F，BH⊥直线l于 H，连接AH，若AB＝2，则AH长的最小值为 ．
14．（2023•舟山一模）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．动点P沿线段AC以5cm/s的速度从点A向点C运动，另有一动点Q与点P同时出发，沿线段BC以相同的速度从点B向点C运动．作PD⊥AB于点D，再将△APD绕PD的中点旋转180°，得到△A′DP；作QE⊥AB于点E，再将△BQE绕QE的中点旋转180°，得到△B′EQ．设点P的运动时间为xs．
（1）如图（2）当A′点落在BC边上时x的值为 ；
（2）如图1，在点P，Q运动中，当点A′在△B'EQ内部时x的取值范围为 ．
15．（2022秋•惠济区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠B＝60°，过平行四边形的对称中心点O的一条直线与边AD、BC分别交于点E、F，设直线EF与BC的夹角为α．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）填空：
①当α的度数是 时，四边形AFCE为菱形；
②当α的度数是 时，四边形AFCE为矩形；
16．（2023•滁州二模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝8，点E为AD边上一点，且AE＝2，在BC边上存在一点F，CD边上存在一点G，线段EF平分菱形ABCD的面积，则△EFG周长的最小值为 ．
二．中心对称图形（共7小题）
17．（2023•南宁三模）下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
18．（2023•江夏区校级模拟）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
19．（2023•梁溪区模拟）给出下列4种图形：①线段，②等边三角形，③矩形，④正六边形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ．（在横线上填写图形前的标号即可）
20．（2023•富锦市校级三模）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
21．（2022•吉林二模）图1、图2、图3都是由边长为1的小菱形构成的网格，已有两个小菱形涂上了黑色，请你再涂黑两个小菱形，使得整个涂色部分图形满足下列条件．
（1）图1中，整个涂色部分图形为轴对称图形，但不是中心对称图形；
（2）图2中，整个涂色部分图形为中心对称图形，但不是轴对称图形；
（3）图3中，整个涂色部分图形既是中心对称图形，又是轴对称图形．
22．（2023春•南京期末）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
23．（2021秋•建安区期中）数学兴趣小组活动时，提出了如下问题：如图1，在△ABC中若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决方法：延长AD到E．使得DE＝AD．再连接BE（或将ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD）．把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
迁移应用：请参考上述解题方法，证明下列命题：
如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
（1）求证：BE+CF＞EF；
（2）若∠A＝90°，探索线段BE，CF，EF之间的等量关系，并加以证明．
三．关于原点对称的点的坐标（共9小题）
24．（2023•沁阳市模拟）在平面直角坐标系中，点（a﹣3，4）关于原点的对称点为（5，﹣b），则ab的值为（ ）
A．﹣8B．8C．6D．﹣12
25．（2023•曲阜市二模）在平面直角坐标系中，已知P（﹣3，5）和点Q（3，m﹣1）关于原点对称，则m＝ ．
26．（2022秋•锦江区期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 ；
（2）若点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为 ；
（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．
27．（2023春•温州期末）在直角坐标系中，点A（1，4）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣4）B．（﹣1，4）C．（4，1）D．（﹣1，﹣4）
28．（2023•游仙区模拟）点M（﹣2，6）关于坐标原点的中心对称点为（ ）
A．M'（﹣6，2）B．M'（2，﹣6）C．M'（﹣1，3）D．M'（3，﹣1）
29．（2023•福田区校级三模）若点P（5，2﹣b）关于原点的对称点为Q（a﹣2，5），则﹣2a+b＝ ．
30．（2023•绵阳三模）若点A（1，m）与点B（﹣1，1﹣|x|）关于原点O成中心对称，则m的最小值为 ．
31．（2022秋•罗湖区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣2），点P是x轴上的一个动点．
（1）A1，A2分别是点A关于原点的对称点和关于y轴对称的点，直接写出点A1，A2的坐标，并在图中描出点A1，A2．
（2）求使△APO为等腰三角形的点P的坐标．
32．（2023•市南区校级二模）如图，将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，然后再关于原点中心对称，则最后三个顶点的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣7），（2，﹣2），（﹣3，﹣4）
B．（1，7），（﹣2，2），（4，3）
C．（1，7），（2，2），（3，4）
D．（1，7），（2，﹣2），（3，3）
【过关检测】
一、单选题
1．（2023·四川凉山·统考中考真题）点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河南信阳·校考三模）把一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后，再按图3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图形（ ）

A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形B．既是轴对称图形又是中心对称图形
C．是中心对称图形，但不是轴对称图形D．是轴对称图形，但不是中心对称图形
3．（2023·河北唐山·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，点，在轴上，将正方形平移后，点成为新正方形的对称中心，则正方形的平移过程可能是（ ）

A．向右平移8个单位长度，再向下平移4个单位长度
B．向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度
C．向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度
D．向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度
4．（2023秋·河北保定·九年级校考期末）已知点与点关于对称，则？指的是（ ）
A．1B．3C．5D．2
5．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，老师让同学们利用棋子在棋盘上拼出一个中心对称图形（颜色忽略），为了增加难度，加入了方向角，则下一个棋子应该放在中心点的（ ）

A．西北方向的处B．西南方向的处C．东南方向的处D．西南方向的处
6．（2023·江苏·模拟预测）在三张透明纸上，分别有、直线l及直线l外一点P、两点M与N，下列操作能通过折叠透明纸实现的有（ ）
①图1，的角平分线
②图2，过点P垂直于直线l的垂线
③图3，点M与点N的对称中心
A．①B．①②C．②③D．①②③
7．（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A．点A与点是对称点B．
C．D．
8．（2022秋·山西大同·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，画关于点O成中心对称的图形时，由于紧张对称中心选错，画出的图形是，请你找出此时的对称中心是（ ）
A．B．C．D．
9．（2022秋·九年级单元测试）在平面直角坐标系中的位置如图所示，把各点的横坐标、纵坐标都乘以，依次连接这些点，所得到的图形是（ ）

A． B． C． D．
10．（2023·河北沧州·统考二模）如图由个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点，，均在格点上，是与网格线的交点，将绕着点顺时针旋转．以下是嘉嘉和淇淇得出的结论，下列判断正确的是（ ）

嘉嘉：旋转后的三角形的三个顶点均在格点上；
淇淇：旋转前后两个三角形可形成平行四边形
A．只有嘉嘉对B．只有淇淇对C．两人都对D．两人都不对
二、填空题
11．（2022秋·九年级单元测试）在平行四边形、等边三角形、圆、线段中，是中心对称图形的有______．
12．（2023·湖北咸宁·模拟预测）平面直角坐标系中，一点关于原点的对称点的坐标是______．
13．（2023·内蒙古包头·校考三模）数学中很多图形拥有对称之美，请你在所学习的几何图形中，写出一个既是中心对称图形又是轴对称图形的图形：_____．
14．（2018秋·九年级单元测试）对于平面图形上的任意两点，，如果经过某种变换（如：平移、旋转、轴对称等）得到新图形上的对应点，，保持，我们把这种对应点连线相等的变换称为“同步变换”．对于三种变换：
①平移、②旋转、③轴对称，
其中一定是“同步变换”的有________（填序号）．
15．（2022秋·九年级单元测试）如图，与成中心对称，是的中位线，是的中位线，已知，则____．
16．（2023秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）已知点关于原点对称的点为，点关于轴对称的点为，点在第四象限，那么的取值范围是______．
17．（2020秋·吉林白城·九年级统考期末）如图，将绕点旋转得到，设点的坐标为，则点的坐标为 ___________．

18．（2023·山东潍坊·昌邑市实验中学校考二模）在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是___________．

三、解答题
19．（2023·山东济宁·统考三模）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图：
(1)作出关于坐标原点成中心对称的；
(2)作出以点A为旋转中心，将绕点A顺时针旋转得到的；
(3)点的坐标为________．
20．（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，的顶点坐标为，，．

(1)画出向右平移个单位后的；
(2)将绕原点旋转，画出旋转后的；
(3)的面积为________．
21．（2023·广西贵港·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．

(1)将向上平移4个单位长度得到，请画出；
(2)请画出关于轴对称的；
(3)请写出点关于原点对称的点的坐标．
22．（2023·安徽蚌埠·模拟预测）如图，三角形是三角形经过某种变换后得到的图形，分别观察点与点，点与点，点与点的坐标之间的关系．
(1)若三角形内任意一点的坐标为，点经过这种变换后得到点，根据你的发现，点的坐标为______．
(2)若三角形先向上平移个单位，再向右平移个单位得到三角形，画出三角形并求三角形的面积．
(3)直接写出与轴交点的坐标______．
23．（2023·山东潍坊·昌邑市实验中学校考二模）如图1，两个正方形拼接成一个“L”型的图形，现用一条直线将图形分为面积相等的两部分．小颖在研究时发现了三种不同的分割方法，图2是其中一种方法．

(1)请在下面图形中再画出另外两种分割方法；

(2)若小正方形的边长为2，大正方形的边长为4．小颖在利用绘图软件研究分割方法时，将图1放置在平面直角坐标系中，如图3所示，此时图2所示的分割直线AB的表达式为．小颖发现：上述三种不同的分割直线都经过同一个点．请你证明此发现；

(3)小颖继续研究，又发现了一种分割方法，如图4所示．请根据此图，简述其作图思路；

(4)通过上述探究过程，谈谈你的收获．（两条即可）
24．（2023·陕西汉中·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，．

(1)作出关于x轴对称的 ，点A、B、C的对应点分别是 、、；
(2)作出关于原点O成中心对称的，点A、B、C的对应点分别是、、．
25．（2023·安徽滁州·统考二模）如图，已知A，B，C是平面直角坐标系上的三个点．

(1)请画出关于原点O对称的；
(2)将向右平移8个单位得到，请画出；
(3)与是否也关于某个点成中心对称？如果是，请写出它们对称中心的坐标，如果不是，请说明理由．