人教版数学九上《二次函数》期末专项训练第09讲 二次函数中平行四边形的存在性问题专题探究（2份，原卷版+解析版）

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平行四边形存在性
1.知识储备：①平行四边形是中心对称图形
②中心对称图形的性质：对称中心平分中心对称图形内通过该点的任意线段，且使中心对称图形的面积被平分
③中点公式：
2.方法策略：
（1）有3个定点，找第4个点形成平行四边形时：
①设第4个点的坐标
②以3个定点组成的3条线段为对角线分类讨论
③以中心对称图形的性质为等量关系列式求解
例，如图所示，平面直角坐标系内有A、B、C三点，在平面内找第4个点，构成平行四边形；
有2个定点，且另外两个动点均在特殊的位置上时，方法策略同上。
【类题训练】
1．综合与实践
如图，抛物线y＝2x2﹣4x﹣6与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一动点．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）如图2，当点D在第四象限时，连接BD，CD和BC，得到△BCD，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；
（3）点E在x轴上运动，以点B，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形，请借助图1探究，直接写出点E的坐标．
【分析】（1）求出当y＝0时x的值即可求出A、B的坐标，求出当x＝0时y的值即可求出点C的坐标；
（2）如图，过点D作DH⊥x轴于点H，作DG⊥y轴于点G，连接OD．根据S△BCD＝S△OCD+S△OBD﹣S△OBC推出，据此求解即可；
（3）分图3﹣1，3﹣2，3﹣3，3﹣4四种情况利用平行四边形的性质讨论求解即可．
【解答】解：（1）把y＝0代入y＝2x2﹣4x﹣6中，
得2x2﹣4x﹣6＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（3，0），
把x＝0代入y＝2x2﹣4x﹣6中，得y＝﹣6，
∴点C的坐标是（0，﹣6）；
（2）设点D的坐标是（m，2m2﹣4m﹣6），
如图，过点D作DH⊥x轴于点H，作DG⊥y轴于点G，连接OD，
∴DG＝m，DH＝﹣2m2+4m+6，
∵点B的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣6），
∴OB＝3，OC＝6，
∵S△BCD＝S△OCD+S△OBD﹣S△OBC，
∴，
化简，得，
∵﹣3＜0，
∴当时，△BCD的面积最大为，
∴，
∴点D的坐标是；
（3）如图3﹣1所示，当四边形CDBE是平行四边形时，
则CD∥BE，CD＝BE，
∴点D的纵坐标为﹣6，
令y＝2x2﹣4x﹣6＝﹣6，
解得：x＝2或x＝0（舍去），
∴D（2，﹣6），
∴BE＝CD＝2，
∴E（1，0）；
如图3﹣2所示，当四边形CDEB是平行四边形时，可得E（5，0）；
如图3﹣3所示，当四边形CBDE是平行四边形时，
设点D的坐标是（m，2m2﹣4m﹣6），点E的坐标为（n，0），
∴2m2﹣4m﹣6＝6，
解得m＝1+或m＝1﹣（舍去），
∵点B的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣6），
∴BC＝＝3，
∵OD＝BC＝3，
∴OD＝＝3，
解得n＝，
∴；
如图3﹣4所示，当四边形CBDE是平行四边形时，可求 ；
综上所述，点E的坐标为（1，0）或（5，0）或或．
2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若以点A为圆心，R为半径的圆与BC相切于点D，求切点D的坐标，以及R的值；
（3）若点E在x轴上，点F在抛物线上，是否存在以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）过点A作AD⊥BC，交OC于点G，垂足为D 根据A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），得出∠AOG＝∠BOC＝∠ADB＝90°，则∠OBC＝∠OCB＝∠GAO＝45°，根据＝，得出OG＝1，求出直线AG的函数表达式为y＝x+1，BC的函数表达式为y＝﹣x+3，联立即可求出D（1，2）最后根据sin45°＝，求出；
（3）根据平行四边形对角线互相平分的性质，进行分类讨论即可．
【解答】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴，
解得：，
∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）过点A作AD⊥BC，交OC于点G，垂足为D，
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴OA＝1，OB＝OC＝3，
∵AB⊥OC，
∴∠AOG＝∠BOC＝∠ADB＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝∠GAO＝45°，
在Rt△AOG中，＝，
∴，
∴OG＝1，
∴G（0，1），
设直线AG的函数表达式为y＝kx+d，把点A（﹣1，0）和点G（0，1）代入得，，
解得：，
∴直线AG的函数表达式为y＝x+1，
设直线BC的函数表达式为y＝mx+n，
把点B（3，0）和点C（0，3）代入得，，
解得：，
∴直线BC的函数表达式为y＝﹣x+3，
由题意得：，
解得：，
∴D（1，2），
在Rt△ABD中，＝，
∴，
∴；
（3）存在以B、C、E、F为顶点的平行四边形．
设点F（t，﹣t2+2t+3），E（m，0），
根据题意可得B（3，0），C（0，3），
当BF为对角线时，
﹣t2+2t+3+0＝0+3，
解得：t1＝0（舍），t2＝2，
∴F（2，3）；
当BE为对角线时，
﹣t2+2t+3+3＝0+0，
解得：，，
③当BC为对角线时，
﹣t2+2t+3+0＝0+3，
解得：t1＝0（舍），t2＝2，
∴F（2，3）；
综上：点F的坐标分别为（2，3）或）或．
3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与平面直角坐标系交于点A（0，﹣4），B（﹣4，0），C（1，0）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图2，作直线AB，点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交AB于点E，过点P作PD⊥AB于点D，求PE+PD的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）中PE+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移2个单位，点P'为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点A'，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点P'，A'，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为y＝x2+3x﹣4；
（2）设直线AB解析式为y＝kx+b1，把A（0，﹣4），B（﹣4，0）代入可得直线AB解析式为y＝﹣x﹣4，设点P为（t，t2+3t﹣4），则E为（t，﹣t﹣4），根据PD＝PE，可得PE+PD＝PE+PE＝（1+）PE，进而求得PE+PD＝﹣（1+）（t+2）2+4+2，最后利用二次函数求最值的方法，求出最大值及点P坐标；
（3）将抛物线y＝x2+3x﹣4向左平移2个单位得抛物线y＝x2+7x+6，对称轴是直线x＝﹣，即可得A'（0，6），P'（﹣4，﹣6），设M（﹣，n），N（r，r2+7r+6），分三种情况：①当A'P'、MN为对角线时，A'P'、MN的中点重合，②当A'M、P'N为对角线时，A'M、P'N的中点重合，③当A'N、P'M为对角线时，A'N、P'M的中点重合，求得点N的三个坐标．
【解答】解：（1）把点A（0，﹣4），B（﹣4，0），C（1，0）代入y＝ax2+bx+c，
则得，
∴，
∴该抛物线的函数表达式为y＝x2+3x﹣4．
（2）设直线AB为y＝kx+b1则，
把点A（0，﹣4），B（﹣4，0）代入y＝kx+b1，
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣4．
∵PE∥y轴，且PD⊥AB，
∴∠DPE＝∠ABC，
∴PD＝PE•cs∠DPE＝PE•cs∠ABC，
∵OA＝OB＝4，
∴∠ABC＝45°，
∴PD＝PE，
∴PE+PD＝PE+PE＝（1+）PE，
设点P为（t，t2+3t﹣4），则E为（t，﹣t﹣4），
∴PE＝﹣t﹣4﹣t2﹣3t+4）＝﹣t2﹣4t，
∴PE+PD＝（1+）PE＝﹣（1+）（t2+4t）＝﹣（1+）（t+2）2+4+2，
∵a＝﹣（1+）＜0，
∴当t＝﹣2时，PE+PD有最大值4+2，
此时，点P的坐标为（﹣2，﹣6）．
（3）∵将抛物线y＝x2+3x﹣4向左平移2个单位得抛物线y＝（x+2）2+3（x+2）﹣4＝x2+7x+6，
∴新抛物线对称轴是直线x＝﹣＝﹣，
在y＝x2+7x+6中，令x＝0得y＝6，
∴A'（0，6），
将P（﹣2，﹣6）向左平移2个单位得P'（﹣4，﹣6），
设M（﹣，n），N（r，r2+7r+6），
①当A'P'、MN为对角线时，A'P'、MN的中点重合，
∴，
解得r＝﹣，
∴N（﹣，）；
②当A'M、P'N为对角线时，A'M、P'N的中点重合，
∴，
解得r＝，
∴N（，）；
③当A'N、P'M为对角线时，A'N、P'M的中点重合，
∴，
解得r＝﹣，
∴N（﹣，）；
综上所述，N的坐标为：（﹣，）或（，）或（﹣，）．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C：y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，点C、点D关于抛物线C，的对称轴对称．
（1）求抛物线C，的函数表达式及点D的坐标；
（2）将抛物线C，沿水平方向向右平移1个单位得到抛物线C1，C1与y轴交于点E，点D平移后的对应点为F，P为抛物线C，的对称轴上的动点．请问在抛物线C，上是否存在点Q，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式求得抛物线中a、b的值，进而求得C点D点坐标；
（2）根据平面直角坐标系中函数图象平移的规律，左加右减，上加下减的规律，得到C1的解析式，结合已知条件一点的坐标平移的规律，左减右加，求得E点F点的坐标，设出P点Q点的坐标，根据平行四边形的性质对角线互相平分和中点坐标公式，求得Q和P的坐标，分三种情况求解．
【解答】解；（1）∵抛物线C：y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，
令y＝0得：ax2+bx﹣8＝0，其两根为：﹣2和4，
∴﹣2+4＝﹣，﹣2×4＝，
解得：a＝1，b＝﹣2，
∴抛物线C的函数表达式：y＝x2﹣2x﹣8，
∵y＝x2﹣2x﹣8与y轴交于C点，
∴x＝0时，y＝﹣8，则C（0．﹣8），
∵y＝x2﹣2x﹣8对称轴为x＝1，点C、点D关于抛物线y＝x2﹣2x﹣8的对称轴对称，
∴D（2，﹣8）；
（2）根据已知将抛物线C：y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9沿水平方向向右平移1个单位得到抛物线C1，
∴抛物线C1：y＝（x﹣1﹣1）2﹣9＝（x﹣2）2﹣9即：C1：y＝（x﹣2）2﹣9，
∵C1：y＝（x﹣2）2﹣9与y轴交于点E，
则x＝0时，y＝﹣9，
∴E（0，﹣9），
∵D（2，﹣8）向右平移1个单位后的对应点为F，
∴F（3，﹣8），
∵P为抛物线C：y＝x2﹣2x﹣8的对称轴x＝1上的动点，
∴设P（1，m），
∵Q在抛物线C：y＝x2﹣2x﹣8上，
设Q（n，n2﹣2n﹣8），
则E（0，﹣9），F（3，﹣8），P（1，m），Q（n，n2﹣2n﹣8），
当以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时有三种情况：
根据平行四边形的性质，两条对角线的交点也是两条对角线的中点，
①以PF、EF为邻边，此时PE、QF为对角线，
则PE的中点：（，）即（，），
则QF的中点：（，）即（，），
∴＝，＝，
解得：n＝﹣2，m＝1，
则Q（﹣2，0）；
②以PE、EF为邻边，此时QE、PF为对角线，
同理可得QE中点（，），PF中点（2，），
∴＝2，＝，
解得：n＝4，m＝0，
则Q（4，0）；
③以PE、PF为邻边，此时FE、PQ为对角线，
同理可得0+3＝1+n，﹣9﹣8＝m+n2﹣2n﹣8，
解得：n＝2，m＝﹣9，
则Q（2，﹣8），
综上所述：Q（﹣2，0），（4，0），（2，﹣8）．
5．综合与探究
如图1，抛物线与x轴交于点A（1，0），B（5，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2，若P是直线BC下方抛物线上的一动点，连接PB，PC，过点P作 PD⊥BC于点D，求△PBC面积的最大值，并求出此时点P的坐标和线段PD的长；
（3）若E是抛物线上的任意一点，过点E作EQ∥y轴，交直线BC于点Q，抛物线上是否存在点E，使以E，Q，O，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．
​
【分析】（1）将A（1，0）、B（5，0）代入y＝ax2+bx+，列方程组并且解该方程组求出a、b的值，即可得到该抛物线的函数表达式为y＝x2﹣3x+；
（2）先求得C（0，），则OC＝，BC＝＝，再求得直线BC为y＝﹣x+，作PF∥y轴，交BC于点F，设P（x，x2﹣3x+），则F（x，﹣x+），所以PF＝﹣x2+x，由＝sin∠DFP＝sin∠OCB＝＝，得PD＝PF，于是得S△PBC＝BC•PD＝﹣（x﹣）2+，可求得△PBC面积的最大值是，此时P（，﹣），PD的长是；
（3）由EQ∥OC，可知当EQ＝OC＝时，以E，Q，O，C为顶点的四边形是平行四边形，设点Q的横坐标为m，则Q（m，﹣m+），E（m，m2﹣3m+），所以EQ＝|m2﹣3m++m﹣|＝|m2﹣m|，则|m2﹣m|＝，解方程求出m的值即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+经过点A（1，0）、B（5，0），
∴，解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣3x+．
（2）抛物线y＝x2﹣3x+，当x＝0时，y＝，
∴C（0，），OC＝，
∵∠BOC＝90°，OB＝5，
∴BC＝＝＝，
设直线BC的函数表达式为y＝kx+，则5k+＝0，解得k＝﹣，
∴直线BC的函数表达式为y＝﹣x+，
如图2，作PF∥y轴，交BC于点F，设P（x，x2﹣3x+）（0＜x＜5），则F（x，﹣x+），
∴PF＝﹣x+﹣（x2﹣3x+）＝﹣x2+x，
∵∠PDF＝∠BOC＝90°，∠DFP＝∠OCB，
∴＝sin∠DFP＝sin∠OCB＝＝＝，
∴PD＝PF，
∴S△PBC＝BC•PD＝××（﹣x2+x）＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，S△PBC最大＝，
当x＝时，y＝﹣×﹣3×+＝﹣，PD＝×（﹣×+×）＝，
∴△PBC面积的最大值是，此时点P的坐标是（，﹣），PD的长是．
（3）存在，
如图3，∵EQ∥OC，
∴当EQ＝OC＝时，以E，Q，O，C为顶点的四边形是平行四边形，
设点Q的横坐标为m，则Q（m，﹣m+），E（m，m2﹣3m+），
∵EQ＝|m2﹣3m++m﹣|＝|m2﹣m|，
∴|m2﹣m|＝，
由m2﹣m＝，解得m1＝，m2＝；
由m2﹣m＝﹣，解得m1＝，m2＝，
综上所述，存在符合条件的点E，点Q的横坐标为或或或．
6．如图，已知抛物线经过点A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线于点M．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）已知点F（0，1），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？
（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）待定系数法求解可得；
（2）先利用待定系数法求出直线BD解析式为y＝x﹣4，则、，由QM∥DF且四边形DMQF是平行四边形知QM＝DF，据此列出关于m的方程，解之可得；
（3）易知∠ODB＝∠QMB，故分①∠DOB＝∠MBQ＝90°，利用△DOB∽△MBQ得，再证△MBQ∽△BPQ得，即，解之即可得此时m的值；②∠BQM＝90°，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，易得点Q坐标．
【解答】解：（1）由抛物线过点A（﹣2，0）、B（8，0）可设解析式为y＝a（x﹣8）（x+2），
将点C（0，4）代入，得：4＝﹣16a，
∴，
则抛物线解析式为；
（2）由题意知点D坐标为（0，﹣4），
设直线BD解析式为y＝kx+b，
将D（0，﹣4）、B（8，0）代入，得：，
∴，
∴直线BD解析式为，
∵QM⊥x轴，P（m，0），
∴、，
则，
∵D（0，﹣4）、F（0，1），
∴DF＝5，
∵DF∥QM，
∴当时，四边形DMQF是平行四边形，
解得：m＝6或m＝﹣2，
即m＝6或m＝﹣2时，四边形DMQF是平行四边形；
（3）如图所示：
∵QM∥DF，
∴∠ODB＝∠QMB，
分以下两种情况：
①当∠DOB＝∠MBQ＝90°时，△DOB∽△MBQ，
∴，
∵∠MBQ＝90°，
∴∠PBQ+∠MBP＝90°，
∵∠BPQ＝∠MPB＝90°，
∴∠BMP＝∠MBP＝90°，
∴∠PBQ＝∠BMP，
∴△MBQ∽△BPQ，
∴，即，
解得：m1＝6或m2＝8，
当m＝8时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，
∴m＝6，
∴点Q的坐标为（6，4）；
②当∠BQM＝90°时，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，
此时m＝﹣2，
∴点Q的坐标为（﹣2，0）；
综上，点Q的坐标为（6，4）或（﹣2，0）时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似．
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是直线AC上方抛物线上任意一点，过点P分别作y轴、x轴的平行线，交直线AC于点Q，R，求QR的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）中QR取得最大值的条件下，将该抛物线向右平移个3个单位，点B平移后的对应点为D，E为新抛物线对称轴上任意一点，在新抛物线上确定一点F，使得以点P，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点F的坐标．
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式；
（2）运用待定系数法可得直线AC的表达式为y＝x+3，可证得△OAC为等腰直角三角形，得出∠CAO＝45°，由平行线性质可得∠PRQ＝∠COA＝45°，进而可得△PQR为等腰直角三角形，，设点P的坐标为（t，﹣t2﹣2t+3）（其中﹣3＜t＜0），则点Q（t，t+3），PQ＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t＝﹣（t+）2+，利用二次函数最值可得当时，PQ有最大值，即可得出答案；
（3）将抛物线y＝﹣x2﹣2x+3向右平移3个单位后的新抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4，新抛物线y＝﹣（x﹣2）2+4的对称轴为直线x＝2，点B（1，0）平移后的对应点为D（4，0），设E（2，m），F（n，﹣n2+4n），分三种情况：①当PF、DE为对角线时，②当DF、EP为对角线时，③当EF、DP为对角线时，分别计算出参数n的值，即可求出F点坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图，PQ∥y轴，PR∥x轴，
在y＝﹣x2﹣2x+3中，令x＝0，得y＝3．
∴点C的坐标为（0，3），
∴OC＝3，
∵A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∴OA＝OC，
∴△OAC为等腰直角三角形，
∴∠CAO＝45°．
设直线AC的表达式为y＝kx+m（k≠0），
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴，
解得：，
∴直线AC的表达式为y＝x+3，
∵PR∥x轴，
∴∠PRQ＝∠COA＝45°．
又∵PQ∥y轴，
∴△PQR为等腰直角三角形，
∴QR2＝PQ2+PR2＝2PQ2，
即．
设点P的坐标为（t，﹣t2﹣2t+3）（其中﹣3＜t＜0），则点Q（t，t+3），
∴PQ＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t＝﹣（t+）2+．
∵﹣1＜0，
∴当时，PQ有最大值．
∴QR的最大值为．
此时，点P的坐标为；
（3）由题意得：将抛物线y＝﹣x2﹣2x+3向右平移3个单位后的新抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4＝﹣x2+4x，点B（1，0）平移后的对应点为D（4，0），
∵新抛物线y＝﹣（x﹣2）2+4的对称轴为直线x＝2，
∴设E（2，m），F（n，﹣n2+4n），
由（2）知P，
分情况讨论：
①当PF、DE为对角线时，则﹣+n＝2+4，
解得：n＝，
∴F1（，﹣）；
②当DF、EP为对角线时，n+4＝﹣+2，
解得：n＝﹣，
∴F2（﹣，﹣）；
③当EF、DP为对角线时，n+2＝﹣+4，
解得：n＝，
∴F3（，）；
综上所述，点F的坐标为：F1（，﹣），F2（﹣，﹣），F3（，）．
8．如图，二次函数的图象交x轴于点A（﹣2，0），B（8，0），交y轴于点C（0，4），连接AC，BC，点P是线
段OB上一动点，过点P作直线PD∥AC，交y轴于点D，交线段BC于点E，交x轴上方二次函数的图象于点F．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当点P为线段DE的三等分点时，求点P的坐标；
（3）在线段OB上是否存在点P，使得四边形AEFC为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由点P为线段DE的三等分点，则PE＝2PD或PD＝2PE，即或．即可求解；
（3）计算，得到，再计算平行四边形的面积，即可求解．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象交x轴于点A（﹣2，0），B（8，0），
∴设二次函数的表达式为y＝a（x+2）（x﹣8）．
将点C（0，4）代入y＝a（x+2）（x﹣8），得a（0+2）（0﹣8）＝4，
解得：．
∴二次函数的表达式为；
（2）∵A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），
∴OA＝2，OC＝4，OB＝8．
∴，．
∵，，
∴tan∠ACO＝tan∠CBO．
∴∠ACO＝∠CBO．
∴∠ACB＝∠ACO+∠BCO＝∠CBO+∠BCO＝90°．
∵PD∥AC，
∴∠PEB＝∠ACB＝90°，∠ACO＝∠ODP．
∴．
设OP＝m，则OD＝2m．
∴，PB＝8﹣m．
∵，
∴，
∴．
∵点P为线段DE的三等分点，
∴PE＝2PD或PD＝2PE，
即或．
∴或．
∴点P的坐标为或；
（3）不存在，理由：
理由：假设在线段OB上存在点P，使得四边形AEFC为平行四边形，则．
连接FC，FB，OF，如解图2所示．
则．
∴．
设，
则．
整理，得d2﹣8d+20＝0．
∵Δ＝（﹣8）2﹣4×1×20＝﹣16＜0，
∴该方程无实数解．
∴假设不成立．
∴在线段OB上不存在点P，使得四边形AEFC为平行四边形．
9．如图，抛物线y＝（a≠0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），作直线BC．
​​
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上存在点D，作DE⊥x轴交BC于点E，作DF⊥DE，使DF＝OB，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．当矩形DEGF的面积最大时，求点D的坐标；
（3）点P的坐标为（0，2），点Q的坐标为（2，3），点M在抛物线上，点N在直线BC上，当以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标．
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3；
（2）求出B（4，0），直线BC函数表达式为y＝﹣x+3，由DF＝OB，得DF＝2，设D（m，﹣m2+m+3），可得S矩形DEGF＝2（﹣m2+3m）＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣2）2+6，根据二次函数性质可得答案；
（3）设M（p，﹣p2+p+3），N（q，﹣q+3），又P的坐标为（0，2），点Q的坐标为（2，3），①当MN，PQ为对角线时，MN，PQ的中点重合，，②当MP，NQ为对角线时，，③当MQ，NP为对角线时，，即可解得答案．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2+x+c得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3；
（2）在y＝﹣x2+x+3中，令y＝0得0＝﹣x2+x+3，
解得x＝﹣1或x＝4，
∴B（4，0），
由B（4，0），C（0，3）得直线BC函数表达式为y＝﹣x+3，
∵DF＝OB，
∴DF＝2，
设D（m，﹣m2+m+3），则E（m，﹣m+3），
∴DE＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∴S矩形DEGF＝2（﹣m2+3m）＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣2）2+6，
∵﹣＜0，
∴当m＝2时，S矩形DEGF取最大值，最大值为6，
此时D的坐标为（2，）；
（3）设M（p，﹣p2+p+3），N（q，﹣q+3），
又P的坐标为（0，2），点Q的坐标为（2，3），
①当MN，PQ为对角线时，MN，PQ的中点重合，
∴，
解得或，
∴N（，）或（，）；
②当MP，NQ为对角线时，
，
方程组无实数解，这种情况不存在；
③当MQ，NP为对角线时，
，
解得或，
∴N（，）或（，）；
综上所述，N的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．
10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．抛物线的对称轴交抛物线于点D，交直线BC于点E．
（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；
（2）P（n，0）是x轴上一动点，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点F，交抛物线于点G．
①是否存在点P，使以D、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求n的值，若不存在，请说明理由；
②如图2，点M在直线PQ上（点M在x轴上方），且PM＝3.5个单位长度，若线段PM与直线BC和抛物线都有交点，请直接写出n的取值范围．
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，令y＝0，求出x的值即可；
（2）①求出D点坐标，E点坐标，进而得到当D、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形时，DE∥GF且DE＝GF，分点G在点F的上方和点G在点F的下方，两种情况进行求解即可；
②求出当y＝3.5时，对应的直线BC的自变量的值以及抛物线对应的点的横坐标，利用数形结合的思想，进行求解即可．
【解答】解：（1）依题意：点C的坐标为（0，3），即OC＝3，
∵OB＝OC，
∴OB＝3，即点B的坐标为（3，0），
将点B（3，0）代入抛物线y＝﹣x2+mx+3中，
∴﹣32+3m+3＝0，
解得m＝2，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
令﹣x2+2x+3＝0，
解得：x＝﹣1或x＝3，
∴点A的坐标为（﹣1，0）；
（2）①存在点P，使以D、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形，n的值为2或n＝，理由如下：
设直线BC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
∵B（3，0），C（0，3），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），
∴E（1，2），DE＝2，
假设存在点P（n，0），使以D、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形，则DE∥GF且DE＝GF，
∴DE＝GF＝2，
若点G在点F的上方，
﹣n2+2n+3﹣（﹣n+3）＝2，即n2﹣3n+2＝0，
得n＝1（舍）或n＝2，
若点G在点F的下方，
（﹣n+3）﹣（﹣n2+2n+3）＝2，即n2﹣3n﹣2＝0，
得n＝，
综上，存在三个满足条件的点P，n＝2或n＝；
②∵直线BC：y＝﹣x+3，
当y＝3.5时：3.5＝﹣x+3，
解得：x＝﹣0.5，
∵抛物线：y＝﹣x2+2x+3，
当y＝3.5时：3.5＝﹣x+2x+3，
解得：x＝1±；
如图：线段PM与直线BC和抛物线都有交点时，
n的取值范围为：﹣0.5≤n≤1﹣或1+≤n≤3．