专项训练04 二次函数中的等腰三角形、直角三角形存在性问题（暑假复习巩固培优）新九年级数学新教材人教版

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【知识点1 二次函数中的等腰三角形存在性问题】
1. 分类原则：按"谁做顶角顶点"分三类
- 若已知两点A、B，动点P在抛物线上，则分三种情况讨论：
- ① PA = PB：P在AB的垂直平分线上；
- ② AP = AB：以A为圆心、AB为半径的圆上；
- ③ BP = BA：以B为圆心、AB为半径的圆上。
- 这即为"两圆一线"法，能直观判断存在性个数。
2. 核心解法：设参列距离公式
- 设动点坐标P(t, at2+bt+c) ；
- 用两点间距离公式（平方形式）表示三条边：
PA2=(t-xA)2+(yP-yA)2,PB2=(t-xB)2+(yP-yB)2,AB2为定值
- 分别令PA2=PB2、PA2=AB2、PB2=AB2，解方程即可。
3. 检验剔除：三点不共线且不重合
- 所求得的P必须满足：
- 不与A或B重合（否则退化为线段）；
- A、B、P不共线（否则构不成三角形）；
- 多解时注意分类讨论的边界条件（如圆与抛物线相切时只有唯一解）。
【知识点2 二次函数中的直角三角形存在性问题】
1. 分类标准：按直角顶点分类（三足鼎立）
已知两点A、B，找动点P构成直角△ABP，分三类讨论：
- ①∠A = 90°：过点A作AB的垂线，P在该垂线上；
- ②∠B = 90°：过点B作AB的垂线，P在该垂线上；
- ③∠P = 90°：以 AB 为直径作圆，P在圆上（直径所对圆周角为90°）。
> 口诀：两垂一圆，三类讨论，不重不漏。
2. 解题方法：代数法（万能通法）
设动点坐标P(t, at2+bt+c)，用两点间距离公式表示三边平方：
- dPA2 = (t-xA)2 + (yP-yA)2
- dPB2 = (t-xB)2+ (yP-yB)2
- dAB2 = (xA-xB)2 + (yA-yB)2 （定值）
然后利用勾股定理分三类列方程：
- dPA2+ dAB2= dPB2 （∠A = 90°）
- dPB2 + dAB2= dPA2 （∠B = 90°）
- dPA2 + dPB2 = dAB2 （∠P = 90°）
解方程求t，注意剔除P与A或B重合的点。
3. 几何法：两垂一圆（快速定位）
- 两垂：分别过A、B作AB的垂线，与抛物线交点即为P。
- 一圆：以AB为直径作圆，与抛物线交点即为P。
- 适用场景：快速判断存在性个数或画草图，最终求坐标仍推荐代数法（计算更精确）。
【题型1 二次函数的综合题专训之等腰三角形存在性问题】
1．如图，关于x的二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴相交于点C．
(1)求二次函数的表达式和线段的长；
(2)在抛物线对称轴上找一点P，使为等腰三角形？直接写出点P的坐标．
【答案】(1)；；
(2)或或．
【分析】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
（1）代入和，解方程组即可；令，求出点的坐标，利用两点间距离公式求解即可；
（2）当为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①；②；③，分别求解即可．
【详解】（1）解：把和代入可得，
解得：，
∴二次函数的表达式为：；
令抛物线，则，
∴，
∴；
（2）存在．
理由：∵，
∴设，
∵，，
∴，，
∵，为等腰三角形，
∴当时，，
解得：，此时；
当时，，
解得，此时；
当时，，
解得：，此时；
综上所述，或或．
2．如图，抛物线（a、c为常数，）与x轴交于点两点，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P是抛物线上的一个动点，连接，若是以为底边的等腰三角形，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为或．
【分析】本题考查用待定系数法解抛物线的解析式、抛物线与坐标轴的交点、求直线的解析式、直线与抛物线的交点、等腰三角形的性质、二元一次方程组的解法等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
（1）将点A，B代入抛物线解析式中，转化为解二元一次方程组，解方程组，即可解答；
（2）求出点C的坐标，可判断出是等腰直角三角形．由是以为底边的等腰三角形，可知，连接，即平分．
过点P作轴于点D，轴于点E，则．
设点P的坐标为，则，求出m值，即可解答．
【详解】（1）解：将代入，
得
解得
该抛物线的函数表达式为．
（2）当时，，则点C的坐标为，
是等腰直角三角形．
由是以为底边的等腰三角形，可知，连接，
点P，O在线段的垂直平分线上，则，即平分．
过点P作轴于点D，轴于点E，则．
设点P的坐标为，则，
，
解得，
点P的坐标为或．
【题型2 二次函数中的直角三角形存在性问题】
3．如图，抛物线经过点，，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点P为对称轴上的一点，若使最小，求出此时点P的坐标：
(3)设抛物线的顶点为D，轴于点E，在y轴上是否存在点M使得是直角三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由
【答案】(1)
(2)
(3)或或或
【分析】（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式；
（2）连接交对称轴于点P，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即最小，求出直线解析式为，得出当时，，即可得出答案；
（3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以D为直角顶点；③以M为直角顶点；设点M的坐标为，根据勾股定理列出方程，求出t的值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：如图1中，连接交对称轴于点P，
根据对称性可知：，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时最小，即最小，
设直线解析式为，则，
解得，
∴直线解析式为，
∵对称轴为直线，
∴当时，，
∴点P坐标．
（3）在y轴上存在点M，能够使得是直角三角形．
理由如下：
∵，
∴顶点D的坐标为，
∵，
∴，
设点M的坐标为，则：
，，
①当A为直角顶点时，由勾股定理，得，
即，
解得，
所以点M的坐标为；
②当D为直角顶点时，由勾股定理，得，
即，
解得，
所以点M的坐标为；
③当M为直角顶点时，由勾股定理，得，即
，
解得或，
所以点M的坐标为或；
综上可知，在y轴上存在点M，能够使得是直角三角形，此时点M的坐标为或或或．
4．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，该抛物线过点．
(1)求该抛物线的解析式及点A、点B的坐标；
(2)如图1，连接AC，抛物线的对称轴上是否存在点M，使是直角三角形？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，；
(2)存在，的坐标为或或或．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，勾股定理等，解题的关键是分类讨论思想的应用．
（1）把代入可得，故抛物线的解析式为，令解得或，从而；
（2）求出，抛物线的对称轴为直线，设，可得，，，分三种情况，用勾股定理列方程可解得答案．
【详解】（1）解：把代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
在中，令得：，
解得：或，
，；
（2）解：抛物线的对称轴上存在点，使是直角三角形，理由如下：
在中，令，得，
，
，
∴抛物线的对称轴为直线，
设，
，
，，，
①当为斜边时，，
解得：或，
或，
②当为斜边时，，
解得：，
，
③当为斜边时，，
解得：，
综上所述，的坐标为或或或．
【题型3 二次函数的综合题专训之等腰直角三角形存在性问题】
5．如图，将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形．
(1)求的值；
(2)在新抛物线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)1
(2)在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为
【分析】本题考查了二次函数的平移、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）找出关于a的一元二次方程；（2）找出点C的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题时，巧妙的利用了抛物线的对称性来寻找点C的位置．
（1）根据平移的性质找出平移后的抛物线的解析式，分别求出点A，B的坐标，根据为等腰直角三角形即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a值；
（2）作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，根据等腰直角三角形的判定定理找出为等腰直角三角形，由抛物线的对称性结合点B的坐标即可得出点C的坐标．
【详解】（1）解：∵将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，
∴新抛物线的解析式为，
∴新抛物线的顶点为，
∴，
当时，，
∴点B的坐标为，即，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，解得：或0（舍去），
∴a的值为1；
（2）解：存在，理由如下：
如图，作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，则，，，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴、为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
由（1）得点B的坐标为，对称轴为直线，
∴点C的坐标为，
故在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为．
6．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．若点在线段上运动（点不与点重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点．设点的横坐标为．
(1)求拋物线的函数表达式．
(2)若，求的值．
(3)在点的运动过程中，是否存在使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在请说明理由．
【答案】(1)抛物线解的函数表达式为
(2)
(3)或
【分析】本题考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判断与性质等知识：
（1）根据题意设代入，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）设，得，，求出，，根据列方程，求出方程的解即可；
（3）先证明是等腰直角三角形，得，再分和两种情况列出关于的方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，
∴设
代入，得
解得：
∴抛物线解的函数表达式为；
（2）解：设直线的解析式为，
把,代入解析式得，
，
解得，
∴直线的解析式为；
∵点P的横坐标为m，
∴点P的坐标为
∴，，
∴；，
∵，
∴，
整理得，，
解得，或（不合题意，舍去）
∴；
（3）解：由②知，，，
∵，
∴，
又轴，
∴
∴，
若是等腰直角三角形，则有：
①当时，连接，如图，
∴，
∵
∴
∴轴，
∴
∴，
解得，或（不合题意，舍去）
②当时，如图，连接则作于点K，
则且轴，
∴
∵
∴
∴，
∵
∴
解得，或（不符合题意，舍去），
综上，当或时，为等腰直角三角形

1．如图，已知抛物线的图像与轴相交于、两点，顶点为，对称轴与轴交于点，点在线段上（不与、重合），过点作轴的平行线交对称轴左侧的抛物线于点．
(1)求抛物线的解析式及顶点 C的坐标；
(2)若是以为底的等腰三角形，直接写出点 E 的坐标．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据抛物线的对称轴为直线，得出，根据等腰三角形的性质得出，从而得出，把代入得：，求出或，即可得出点E的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点A和点B，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为：，
当时，，
∴顶点C的坐标为；
（2）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵轴，
∴，
∵是以为底的等腰三角形，
∴，
∴，
把代入得：，
解得：或，
∵点E在抛物线对称轴的左侧，
∴．
2．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点
(1)求抛物线的表达式；
(2)若在抛物线上存在点，使得，是以为直角边的直角三角形，求出所有点的坐标
【答案】(1)
(2)或或
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，解方程组，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据题意求出，用待定系数法求函数解析式即可
（2）先求出直线的解析式，分两种情况讨论当时，当时，分别求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴，，
，
将代入得，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：将代入得，
，
直线的解析式为，
抛物线对称轴与轴交于点，
当时，，
，
设，则，，，
当时，由，
，
即，
解方程组得或，
点的坐标为；
当时，，
，
即，
解方程组得或，
点的坐标为或，
综上所述，点的坐标为或或．
3．综合与探究
如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．若点P在线段上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．设点P的横坐标为m．
(1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数解析式．
(2)在点P的运动过程中，是否存在m使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，，
(2)存在，m的值为3或2
【分析】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，求一次函数解析式，等腰直角三角形的性质等知识：
（1）令，求出x的值，得点A，B的坐标，令，得y的值，可得点C坐标，再设直线的解析式为，把代入并求出k的值即可；
（2）分和两种情况利用勾股定理列出关于m的方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）解：当时，，
解得或，
∴，，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，
将点代入可得，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：存在m使得为等腰直角三角形，理由如下：
∵点P的横坐标为m，且，
∴点P的坐标为，
∴，，
∴，
，
；
∵，，
∴，
∴；
当时，则，
∴，
∴，即，
解得或（舍）或（舍）；
当时，，
∴，
∴，即，
解得或（舍）；
综上所述：m的值为3或2．
1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在直线上找一点Q，使得为等腰三角形，写出Q点坐标．
【答案】(1)；
(2)Q点坐标为或或或．
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法求解即可得；
（2）设点的坐标为，利用两点之间的距离公式可得，，的值，再分、和三种情况，分别建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：将点代入二次函数得：，
解得，
则这个二次函数的表达式为；
（2）解：设点的坐标为，
∵，
∴，，，
①当时，为等腰三角形，
则，即，
解得或（此时点与点重合，不符合题意，舍去），
当时，，
所以此时点的坐标为；
②当时，为等腰三角形，
则，即，
解得或，
当时，，即，
当时，，即；
③当时，为等腰三角形，
则，即，
解得，
此时，
所以此时点的坐标为，
综上，点的坐标为或或或．
2．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线，其中点，点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点在线段上运动（点不与点，重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，是否存在点使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点的坐标为或
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程，掌握这些知识点的应用是解题的关键．
（）把点， 点代入即可求解；
（2）分当时和当时两种情况分析即可；
【详解】（1）解：∵抛物线过点，点，
∴，解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（2）存在，理由：
令，则，
解得，
∴，，
设直线的解析式为，
∵，，
∴，，解得，
∴，直线的解析式为，
设点E的坐标为，则，，
∵轴，
∴，
∴；
当时，，如图，
∴，即解得：，（舍去），
∴此时；
当时，如图，作于点，则有，
∴，解得：，（舍去），
∴此时；
综上可知：点的坐标为或．
3．如图，抛物线与直线相交于两点，抛物线与x轴的另一个交点是点C．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点P是抛物线上的一个动点（不与重合），过点P作轴于点D，交直线于点E，连接，是否存在点P，使为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；否则，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在点P，使为直角三角形，且点P的坐标为或
【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、函数图象上点的坐标特点、勾股定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式、全面分类是解题的关键；
（1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点C的坐标，然后设点，则，，利用两点间的距离公式表示出，再分三种情况：当、、时，利用勾股定理列出方程求解即可．
【详解】（1）解：把代入直线，得，
∴，
把代入抛物线的解析式可得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式是；
（2）解：对于，当时，，
解得，
∴，
设点，则，，
∴，，，
若为直角三角形，
则当时，，
∴，即
解得：或（舍去）；
此时点P的坐标为；
当时，，
∴，即
解得：；
此时点P的坐标为；
当时，，
∴，
解得：（舍去）；
综上，存在点P，使为直角三角形，且点P的坐标为或．