专项训练03 二次函数中线段、周长、面积最值问题（暑假复习巩固培优）新九年级数学新教材人教版

这是一份专项训练03 二次函数中线段、周长、面积最值问题（暑假复习巩固培优）新九年级数学新教材人教版，共19页。

【知识点1 二次函数中线段最值问题】
1. 线段本质分两类（看方向）
- 竖直/水平线：直接作差（|y1-y2| 或 |x1-x2|）。
- 斜线：必用“相似比”或“三角函数”转化为竖直/水平线的倍数（化斜为直）。
2. 解法选择看动点（定与动）
- 几何法（两定一动）：作对称点，化折为直（将军饮马）。
- 代数法（多动点）：设参数t表示长度，建立二次函数，配方求顶点（y=a(t-h)2+k ）。
3. 求最值前验范围（定义域）
- 顶点在范围内：直接取顶点最值。
- 顶点在范围外：根据开口方向，取离对称轴最近的端点（区间单调性）。
【知识点2 二次函数中周长最值问题】
1. 定边与动边（拆解周长）
- 有定长边：周长最值 = 定长 + 动线段和最值（转为“线段和最值”问题）。
- 全动边：设动点参数，用两点间距离公式或“化斜为直”表示各边，建立周长函数。
2. 转化策略（两大方向）
- 共线转化（几何法）：遇折线（如PA+PB），利用对称、平移，化折为直（将军饮马模型）。
- 函数建模（代数法）：设参数t 表示各边长度（竖/斜线段），建立周长C(t)的二次函数，配方求顶点。
3. 隐含约束（勿忘定义域）
- 动点受抛物线范围限制（如x在m到n之间）。
- 验证顶点是否在取值范围内；若不在，则取离对称轴最近的端点值。
【知识点3 二次函数中面积最值问题】
1. 面积表示三套路（选对方法）
- 公式法：底×高÷2（底边在坐标轴上，或水平/竖直边可直接作底）。
- 割补法（铅锤法）：过动点作竖直线，面积 = 水平宽 × 铅锤高 ÷ 2（最常用）。
- 补形法：大减小（矩形/梯形减空白），适用于斜三角形或不规则图形。
2. 函数建模与配方法（核心操作）
- 设动点参数t（如横坐标），代入上述套路表示面积S(t)。
- 化简为二次函数标准式 S = a(t-h)2 + k。
- 开口向下：顶点处取最大值；开口向上：顶点处取最小值（结合区间）。
3. 临界区间定生死（定义域）
- 动点横坐标受抛物线范围限制（如x1 < t < x2 ）。
- 顶点在区间内：顶点即最值点。
- 顶点在区间外：面积随区间单调，取离对称轴最远（或最近）的端点。
【题型1 二次函数中求线段最值的问题】
1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点和点．经过点A的直线与该二次函数图象交于点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的解析式及点C的坐标；
(2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线上方时，过点P作轴于点E，与直线交于点D，设点P的横坐标为m．m为何值时线段的长度最大，并求出最大值．
2．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接．D是在第一象限内的抛物线上的一个动点，连接，交线段于点E．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点E在该抛物线的对称轴上，求的长；
(3)过点D作y轴的平行线，交于点F，求的最大值．
【题型2 利用二次函数求线段和最值的问题】
3．如图，二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)求点的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上找一点C，使得最小，并求出C点的坐标；
4．如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点为该抛物线对称轴上的一点，当最小时，求点的坐标．
【题型3 利用二次函数求线段差最值的问题】
5．如图，已知抛物线过点，且它的对称轴为．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点P是抛物线对称轴上的一点，当的面积为21时，求点P的坐标；
(3)在（2）条件下，当点P在上方时，M是抛物线上的动点，求的最大值．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，A在B的左侧，与y 轴交于点C，点P为直线上方抛物线上一动点．
(1)求直线的解析式；
(2)过点作y轴的平行线交于点M，求线段时点的坐标；
(3)过作轴，交于M，当的值最大时，求的坐标和的最大值．
【题型4 利用二次函数求周长最值的问题】
7．如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上．设动点坐标为．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当为何值时矩形的周长有最大值？最大值是多少？
8．已知，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
(1)求点A、B、C三点的坐标；
(2)过点A作交抛物线于点P，求四边形的面积；
(3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【题型5 利用二次函数求面积最值的问题】
9．如图，抛物线经过，，三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，求点P的坐标；
(3)动点M在第四象限内的抛物线上，求四边形ACMB面积最大时点M的坐标．
10．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A(-3,0),B(1,0),C(0,3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点B到直线的距离；
(3)点P在第二象限的抛物线上运动，求当的面积最大时，点P的坐标以及最大面积．

1．（2025·广东中山·一模）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，已知抛物线过点，点．
（1）该抛物线的顶点坐标为 ．
（2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接，，则面积的最大值为 ．
3．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点．
(1)求二次函数的解析式．
(2)若点是这个二次函数图象在第二象限内的一点，过点作轴的垂线与线段交于点，求线段长度的最大值．
4．如图，二次函数的图像与x轴交于和两点，交y轴与点，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图像过点B，D．
(1)求二次函数解析式；
(2)求出顶点坐标和点D的坐标；
(3)二次函数的对称轴上是否存在的一点M，使的周长最小？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
(4)若是线段上任意一点，过点作轴交抛物线于点P，则点P坐标为多少时，最长？
1．如图1，抛物线的图象是一条抛物线，图象与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上的点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，经过点的直线与抛物线交于点，与轴交于点．
(1)求此二次函数的表达式和顶点的坐标；
(2)点是线段上一动点，点是线段上一动点，且，求的最小值．
3．如图，抛物线经过，，三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，求点P的坐标；
(3)动点M在第四象限内的抛物线上，求四边形ACMB面积最大时点M的坐标．
4．如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，顶点为点．
(1)求点，，的坐标；
(2)对称轴上有一点，当最小时，求点的坐标；
(3)二次函数图象上是否存在点，使得，若存在请直接写出点的坐标，若不存在请说明理由．
5．如图，已知抛物线经过点，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)已知点是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标．
(3)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积S的最大值及此时点的坐标．
6．如图，抛物线的顶点为，与 x 轴交于 A、B 两点，且 B，与y 轴交于点 C ．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)对称轴上是否存在点 N ，使的周长最小，若存在，请求出点坐标，若 不存在，请说明理由；
(3)在直线的下方抛物线的图象上能否找到一点 P ，使四边形的面积最大？若能，请求出面积的最大值及点 P 的坐标；若不能，请说明理由．